CONE Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

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1 CONE Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região. CLASSIFICAÇÃO Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo. 1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. 4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. 5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base. 6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. 7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. 8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. Observações sobre um cone circular reto Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Observação Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Portanto, vale a relação: g = H + r ELEMENTOS CONE Em um cone, podem ser identificados vários elementos: A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone): ÁREA LATERAL A = π. r.g L

2 A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone): b) volume do cone. c) a área lateral do cone. ÁREA TOTAL ( ) A = π. r g + R T 4. Calcule o volume do sólido representado pela figura. 4 cm 8 cm V = VOLUME πr.h CONE EQUILÁTERO Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base. 6 cm 5. Calcule a área total de um cone reto de 4 cm de altura e 15π cm de área lateral. 6. A área total de um cone reto de 5 cm de raio da base é de 100π cm. Calcular a altura do cone. 7. Calcule a área da base de um cone reto de 6 cm de altura e 10 cm de geratriz. 8. Calcule o raio da base de um cone reto cuja geratriz mede 1 cm e cuja área total é de 90π cm. 9. Determinar a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm sendo 1 cm o diâmetro de sua base. CARACTERÍSITICA CONE EQUILÁTERO g = r 10. Determinar a medida do diâmetro da base de um cone de revolução cuja geratriz mede 65 cm, sendo 56 cm a altura do cone. ÁREA TOTAL CONE EQUILÁTERO A = π R T VOLUME CONE V = π r.h EXERCÍCIOS 11. UFSCAR GABARITO a) 500 ml b) 87,5% Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. EXERCÍCIOS 1. se o raio da base de um cone reto é 6 cm e a altura do cone é 8 cm, qual é a medida de sua geratriz?. Se o raio da base de um cone é 5 cm e sua altura é 1 cm, calcule seu volume.. Um cone reto está inscrito num cubo cuja aresta mede 6 cm. Calcule: a) a área da base do cone. - - a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em ml, ingerido pelo casal. Adote π =. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

3 1. ENEM GABARITO B Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 8,6m, considerando π =,14, a altura H será igual a: base é 8πcm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: a) 64 π b) 48π c) π d) 16π e) 8π 16. ACAFE GABARITO B Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o projeto de um depósito para estocar a ração de seus animais. A figura abaixo mostra o esboço do depósito criado pelo engenheiro. a) m b) 4 m c) 5 m d) 9 m e) 16 m 1. ENEM GABARITO E A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. a) 96 π m b) 4 π m c) 64 π m d) 48 π m e) 7 π m Disponível em: Acesso em: 1 maio 010. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. 14. UFRGS GABARITO D A superfície lateral de um cone de altura H, quando planificada, gera um semicírculo de raio 10. O valor de H é: a) b) c) 5 d) 5 e) FATEC GABARITO A A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa 17. UEL GABARITO E Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral? a) 0 π b) 0 π c) 40 π d) 50 π e) 60 π ACAFE GABARITO C Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100π ml, a altura h é igual a: 10cm a) 0cm b) 16cm c) 1cm d) 8cm e) 4cm h

4 19. UFPA GABARITO B Num cone reto, a altura e m e o diâmetro da base mede 8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 5π b) 6π c) 0π d) 16π e) 1π 0. GABARITO D Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A b razão entre as dimensões do paralelepípedo é e o a volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é: a) 144 b) 19 c) 40 d) 88 e) 6. UEMA GABARITO B O volume de um cone equilátero, que tem como área da base A B = 1 π m, é: a) 7 π m b) 4 π m c) 6 π m d) 8 π m e) 40 π m 4. FEMPAR GABARITO A Se a base de um cone de revolução de raio igual a cm for equivalente a secção meridiana, a sua altura medirá, em cm: a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) GABARITO A Um abajur em formato de cone eqüilátero está sobre uma escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre esta um círculo de luz (veja figura abaixo). Se a altura do abajur, em relação à mesa, for H = 7 cm, a área do círculo iluminado, em cm, será igual a a) 4π. b) 70π. c) 50π. d) 5π. e) 80π.. FUVEST GABARITO D Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um a) π b) π c) 4π d) 5π e) 7π 5. CEFET GABARITO D A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de sua base. Se a geratriz mede 15 cm, o seu volume é, em cm³, igual a : a) 70 5 π b) 7 5 π c) π d) 90 5 π e) 7 5 π 6. CESGRANRIO GABARITO D No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:

5 a) h b) 1 h e 0 min c) 1 h d) 50 min e) 0 min 7. ITA GABARITO C Sabendo-se que um cone circular reto tem dm de raio e 15π dm de área lateral, o valor de seu volume em dm é: a) 9π b) 15π c) 1 π d) 6 π e) 0π 8. UFPA GABARITO A Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da base a 6 cm e de geratriz 5 cm? a) 1π b) 4π c) 6 π d) 48 π e) 96π 9. UFOP-MG GABARITO D Se o raio da base de um cone de revolução mede cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm, então seu volume, em cm, mede: a) 15π b) 10π c) 9 π d) 1 π e) 14π 0. UFPR GABARITO A A geratriz de um cone mede 1 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm é: a) 100π b) 00π c) 00 π 5π d) 0π e) 1. UESC-BA GABARITO A Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área lateral, em cm, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a: a) 4π b) 14π c) 1π d) 4 e) 1-5 -