g 2 2 = ( 5) = = 9 g = 3 cm

Transcrição

1 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 01 a) Considere esta figura: g = ( 5) + = = 9 g = 3 cm b) Ab = π r = 4π cm c) Al = π r g = π 3 = 6π cm d) At = Ab + Al = 4π + 6π = 10π cm e) A SM = r h = 5 = 5 cm f) V = 1 3 Ab h = 1 3 4π 5 = 4 π 5 3 cm 3 g) A área lateral é igual à área do setor circular de ângulo θ: π rad πg θ rad Al θ π 3 = π 6π θ = 4 3π rad Respostas: a) 3 cm b) 4π cm c) 6π cm d) 10π cm e) 5 cm f) 4 π 5 3 g) 4 3π rad cm 3 1

2 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 0 Observe a figura: 6 = h + 3 h = 7 h = 3 3 cm V = 1 3 π = 9π 3 cm3 Resposta: C

3 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 03 Considere a figura: ( 3) = h + h = 9 h = 3 cm A SM = 3 3 ( 3) = 3 3 cm Portanto: A SM 3 = ( 3 3 cm ) 3 = 9 cm Resposta: 9 cm 3

4 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 04 Considere a figura: Do AOE, temos: ( 10) = 1 + h 10 = 1 + h h = 3 O volume do sólido será a soma dos volumes do cilindro, de raio da base 1 e altura, com o volume do cone, de mesmo raio da base e altura 3. V = π π 1 3 V = 3π Resposta: E 4

5 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 05 Sendo H e h as alturas do cilindro e do cone, respectivamente, e sabendo que os volumes de ambos são iguais, temos: V cilindro = V cone r π H = 1 3 π r h H h = 4 3 3H h = 4 Portanto, a altura do cone será 3 4 da altura do cilindro. Resposta: A 5

6 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 06 Volume do frasco: V F = V cilindro + V cone V F = π π 4 3 (para π = 3) V F = 480 cm 3 = 480 ml Dado que 4 h equivalem a 40 min, o volume de medicação aplicada foi de 1,5 ml/min 40 min = 360 ml. Portanto, o volume restante no frasco foi de: 480 ml 360 ml = 10 ml Resposta: A 6

7 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 07 Sendo h a altura do cone e da pirâmide e sabendo que ambos têm o mesmo volume, vem: V cone = V pirâmide 1 3 π r. h = 1 3 b h b r = π b r = π Resposta: C 7

8 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 08 C1 será um cone de raio da base c e altura b. V C1 = 1 3 π c b C será um cone de raio da base b e altura c V C = 1 3 π b c Assim: V V C1 C = 1 π c 3 1 π b 3 b c = c b = tg β Resposta: D 8

9 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 09 V cone = π 1 3 π a b = π a b = 1 (I) E como b a = 3 (II) Resolvendo (I) e (II), temos: a = e b = 3 Pelo teorema de Pitágoras: g a = + b g = g = 10 Resposta: D 9

10 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 10 Geratriz do cone: g = = 5 cm Área lateral: Al = π r g = π 4 5 = 0π cm A área do setor circular de ângulo θ será igual à área lateral calculada do cone. 360º π 5 θ 0π θ = 88º Portanto, a medida do ângulo central do setor circular é 88º. Resposta: D 10

11 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 11 Área do setor circular: 360º π 10 5º As As = 70π A área alteral do cone (de geriatriz igual a 10) construído deverá ser igual à área do setor circular. Portanto: π 10 = 70π r = 7 Logo, o cone deverá ter geriatriz igual a 10 e raio da base igual a 7. Resposta: B 11

12 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 1 g = h + r (I) Pelos dados do problema: r = h + g g = r h (II) Além disso: V = 18π 1 3 π r h = 18π r h = 3 18 (III) Substituindo (II) em (I), vem: (r h) = h + r 3r = 4rh h = 3r 4 Substituindo esse resultado em (III), temos: r 3r 4 = 3 18 r3 = 51 r = 8 m Assim: h = 3r 4 8 h = 6 m Portanto, os valores do raio da base e da altura são 8 m e 6 m, respectivamente Resposta: B 1

13 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 13 O volume do álcool será igual à soma dos volumes do cone de raio da base 5 cm e altura 6 cm com o cilindro de mesmo raio da base e altura h; portanto: π π = + π 5 h 3 65 = h 575 = 5h h = 3 cm Logo, a altura H será: H = 30 3 = 7 cm Resposta: B 13

14 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 14 Considere a figura: Pelo teorema de Pitágoras, temos: (r + 4) = (r + ) + r r 4r 1 = 0 r = 6 ou r = (não convém) Portanto, os valores do raio, da altura e da geratriz são, respectivamente, iguais a 6 cm, 8 cm e 10 cm. A área total é a soma das áreas lateral e da base: At = Al +Ab At = π π 6 At = 96π m Resposta: 96π m 14

15 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 15 a) Seja o cone equilatero de raio r e, portanto, de geratriz g = r. A medida θ, em rad, é: θ = π r θ = π r Figura fora de escala. Portanto, o desenvolvimento da superficie lateral é um semicírculo. b) Pelo item a, o cone em questão será equilátero. Oraio dele será: r = 6 = 3 cm Cálculo da altura do cone: 6 = h + 3 h = 3 3 cm Portanto, o seu volume será: V = 1 3 π V = 3 9π 3 cm Respostas: a) O desenvolvimento da superficie lateral é um semicírculo. 3 b) 9π 3 cm 15

16 Matemática Unidade III Geometria espacial Série 11 - Cone circular reto 16 Considere a figura: S = r = S l l r (I) O volume do sólido gerado será igual à soma do volumes do cone de raio r e altura x e do cone de raio r e altura (l x). Portanto: V s = 1 3 π r x π r (l x) V s = 1 3 π r l (II) Substituindo (I) em (II), vem: V S = 1 3 π S l l 4πS V S = 3l Resposta: A 16