Geometria Espacial no Cabri 3D

Transcrição

1 Geometria Espacial no Cabri 3D Na Geometria Plana temos algumas facilidades na abordagem do estudo, pois existem modelos concretos onde os alunos podem se basear, como por exemplo, as superfícies pelas quais escrevemos. Na transição do estudo da Geometria Plana para Geometria Espacial não temos estes exemplos mais práticos, com o intuito de facilitar a visualização em três dimensões, usamos o Cabri 3D neste trabalho. Autor: Ulysses da Cruz Marcílio

2 Cubo

3 Cubo Um cubo é um Poliedro Regular com seis faces quadradas Planificação do Cubo no Cabri 3D Passo 01: Crie um quadrado, do jeito que preferir, de acordo com as informações contidas na Janela Ajuda de Ferramentas. Passo 02: Crie um cubo, a partir deste quadrado. O Cabri 3D possui uma ferramenta que planifica os poliedros, esta é a Abrir Poliedro. Para abrir um Poliedro, primeiramente é necessário selecionar a ferramenta, depois clicar sobre o poliedro. Para abrir mais completamente o poliedro, use a ferramenta Manipulação, e arraste uma das faces com o mouse. Para abrir uma face somente segure a tecla Shift, e para abrir as faces em múltiplos de 15º, segure a tecla Ctrl. Passo 03: Com a ferramenta Abrir Poliedro, clique sobre o cubo, abrindo até as faces ficarem coplanares.

4 Esfera eixo Definição: Podemos fazer uma extrapolação da definição de círculo para o conceito de esfera. O círculo é o lugar geométrico do plano onde os pontos cuja distância até o centro é menor ou igual ao raio. A esfera é o conjunto de pontos do espaço, tais que a distância até o centro é menor ou igual ao Raio R. A esfera também é um sólido de revolução, pois pode ser gerada pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. eixo

5 Cone Definição: Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano P 1, e um ponto V fora de P 1. Chama-se cone à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo. VH: altura da base VA: geratriz VO: eixo do cone

6 Cilindro Definição: Na figura, temos dois planos paralelos e distintos, P 1 e P 2 um círculo R contido em P 1 e uma reta r que intercepta P 1 e P 2, mas não R. Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento CC', paralelo à reta r (C pertence a P 2 ) Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos CC' congruentes e paralelos a r.

7 Clépsidra e Anticlépsidra Definição: Observe a figura, temos um cilindro e dois cones. Quando o cilindro é equilátero, ou seja, com altura igual ao diâmetro da base, chamamos de clépsidra o sólido obtido pelos dois cones em seu interior. E chamamos de anticlépsidra sólido obtido pelo cilindro menos os dois cones.

8 Cálculo do Volume da Esfera pelo Princípio de Cavalieri P' h h R 2R h r 2R 2R

9 Cálculo do Volume da Esfera pelo Princípio de Cavalieri Princípio de Cavalieri: O Princípio de Cavalieri estabelece que dois sólidos com mesma altura tem o mesmo volume, se as secções planas de mesma altura tem mesma área. Sabendo que na figura abaixo o cilindro é eqüilátero, ou seja, a altura é igual a 2R, vamos calcular o volume da esfera pelo Princípio de Cavalieri. Área do círculo obtido na intersecção do plano P' com a esfera r² + h² = R² r² = R² - h² πr² = π (R² - h²) Área do círculo obtido na intersecção do plano P' com a anticlépsidra πr² - πh² πr² - πh² = π (R² - h²) Note que a área do círculo obtido na intersecção do plano P' com a esfera é igual a área da secção deste mesmo plano com a anticlépsidra. Pelo princípio de Cavalieri, compreende-se que o volume da esfera é igual ao volume da anticlépsidra.

10 Referências Bibliográficas CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução a geometria espacial. 93p. Rio de Janeiro: SBM, (Coleção do Professor de Matemática) COTRET, Sophie; COTRET; Pierre René. Cabri 3D Users Manual. 41p. Montreal, Québec: Janeiro MALANGA, Umberto César Chacon. Matemática: Livro III. 107p. São José dos Campos: Poliedro, ROCHA, Rafael Nunes. Geometria Analítica com o Cabri 3D.São Carlos: Departamento de Matemática / UFSCar, p. Trabalho de Graduação B. CHARTWELL-YORKE MATHEMATICS ICT. Cabri 3D Interactive Geometry Software. Disponível em < Consultado em 05/07/06.