1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que:

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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: retas; planos; interseções de retas e planos; posições relativas entre retas e planos; distância entre pontos, retas e planos. Professor Sato a Lista de exercícios. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que: (a) passa pelos pontos A(0,, ) e B(,, ). (b) passa por P(,, ) e é paralela ao vetor u = (,, 0). (c) passa por M(0, 0, 0) e é paralela a reta r : x = y = z.. Decida, { justificando, quais { dos seguintes pares { de equações representa uma reta x y = 0 x + y x = x y + z = a) b) c) y z = 0 x + y z = 6x y + z = 6.. Determine a posição relativa entre as retas x = t x = 5 + t r : y = t e s : y = 6 + t. z = + t z = + t Se houver interseção determine-a!. Calcule a distância do ponto C(,, ) à reta determinada pelos pontos A(, 0, ) e B(0,, ). 5. Determine os pontos em que a reta r : intercepta os planos coordenados. 6. Determine d de forma que a reta r : intersecte o eixo z, justificando seu raciocínio. { x + y z = 0 x + y + z = 0 { x + y z + d = 0 x y + z 6 = 0 7. Obter as equações paramétricas da reta que passa por M(8, 0, ) e que é paralela: a) à reta r : x = y + = z +. b) ao eixo Ox. c) ao eixo Oy. d) ao eixo Oz. 8. Considere o triângulo de vértices A(,, ), B(,, 7) e C( 5,, ). Determine a equação da: (a) mediana relativa ao lado AB. (b) bissetriz do ângulo interno B. (c) altura relativa ao lado AC.

2 (d) mediatriz do lado AC. 9. Obter a projeção ortogonal de P sobre a reta r e o simétrico de P em relação a reta r se P(,, ) e r tem equações paramétricas x = t, y = 5t 7 e z = 0. Calcule a distância de P a r. 0. Mostre que: (a) r = x = y + = z 5 x = t + 7 y = t + z = t +. Mostre que as retas r : calcule a distância entre elas. x = t + e s : y = t 9 z = t e s : x = y + = z 5 { x + y + z 6 = 0 y z + = 0 e s :. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que: são retas reversas. são retas coplanares. x = 7t y = t z = t + 5 (a) passa por P(,, ) e é perpendicular ao plano π : x y + = 0. são paralelas e (b) passa por A(, 0, ) e é paralela aos planos α : x+y +z + = 0 e β : x y +z = 0.. Determine a equação do plano que contém A(, 0, ) e a reta interseção dos planos α : x + y z = 0 e β : x y + z + = 0, por dois processos distintos.. Seja r a reta interseção dos planos α : x y + z = 0 e β : x + y z =. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(, 0, ) e intersecta r ortogonalmente. 5. Encontre, por um processo distinto do empregado na resolução do exercício anterior, a equação da reta que passa pelo ponto A(,, ) e que é perpendicular à reta r de equações paramétricas x = + t, y = + t e z = t. 6. Dizer, em cada caso, o que é interseção r π, da reta r e do plano π: (a) r : x = y + x + = y = z 6 = z + 5 (c) r : x + = y = z e π : x + y + z = 0. e π : x y + z 5 = 0. e π : x + y z + 6 = Para que valor de m a reta r : x+ = y = z+ m 8. Para que valores de a e b a reta: é paralela ao plano x y + 6z + 7 = 0?

3 (a) r : x = + t y = t z = + t x = + t y = 5 t z = + t está contida no plano α : ax + y z + b = 0? é perpendicular ao plano α : ax + by + z 5 = 0? 9. Se P(5,, ) e π : x y + z + = 0, obter a projeção ortogonal de P sobre π e o simétrico de P em relação a π. 0. Determine a equação do plano que passa pelo ponto M(,, ) e é paralelo as retas x = + t x = 5 + t r : y = t e s : y = t. z = 7 + t z = t +. Determine a equação do plano que contém as retas x = + t x = + t r : y = + t e s : y = + t. z = t z = t. Dadas as retas r : x = y = z + e s : x = y = z +, obter: (a) a reta perpendicular comum a ambas. (b) o plano que contém r e s.. Encontre a equação do plano que contém a reta r : s : x = y = z e é perpen-. Obtenha a equação do plano que contém a reta r : x dicular ao plano π : x + y z 5 = Obtenha o ângulo entre a reta r e o plano π se: x = 7t (a) r : y = + t e π : x + y + z + 6 = 0. z = + t { x + y + z 6 = 0 e π : x + y + z + = 0. y z + = 0 x = t + y = t + z = t e que é paralelo a reta = y + = z 6. Esboce o poliedro cujas faces estão contidas nos planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y = e x + y + z = 0.

4 7. Verificar se os pontos dados determinam um plano? Justifique e, em caso positivo, determine sua equação: (a) A(, 0, ), B(,, ) e C(0,, ). (b) A(,, ), B(7,, ) e C(, 5, ) (c) A(,, ), B(, 0, ), C(, 0, 0) e D (0,, 0). 8. Obtenha um vetor unitário normal ao plano π : x y + z + = Determine a equação do plano: (a) que passa por Q(, 0, ) e é paralelo ao plano π : x y 5z + = 0. (b) que passa por A e é perpendicular à reta AB, se A(,, 6) e B(,, ). (c) que passa por P(,, ) e é paralelo aos vetores u = i + j + k e v = i j + k. (d) que passa por A(, 0, ) e B(, 0, ) e é perpendicular ao plano y = z. (e) que passa por A(,, 0) e é perpendicular aos planos α : x y z 6 = 0 e β : x + y + z = Obtenha o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A(,, 0) e B(0, 7, ).. Mostre que os planos α : x + y z =, β : x y z + = 0 e γ : x y + z = 0 concorrem em um único ponto e determine-o.. Obtenha a equação do plano: (a) perpendicular a α : x y + z = 0 e β : x + 5y + z = 0 e que dista 6 da origem. (b) que é perpendicular à reta r, interseção de α e β e passa por A(,, 0).. Determine o ponto do eixo dos Oz que é equidistante de M(,, 0) e π : x y+6z 9 = 0.. Duas faces de um cubo estão sobre α : x + y + z = 0 e β : x + y + z + 5 = 0. Calcule seu volume. 5. Uma esfera é tangenciada pelos planos α : x + y + z = 0 e β : x + y + z = 0. Determine seu volume. 6. Determine o ângulo entre os planos: (a) π : x + y + z 0 = 0 e π : x + y z + = 0. (b) π : x y + = 0 e π : x y z = Determine a e b de modo que α : ax + by + z + = 0 e β : x 5y z + 5 = 0 sejam paralelos.

5 8. Determine m de modo que π : mx + y z = 0 e π : x + my + z = 0 sejam perpendiculares. 9. Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a α : x y 6z = e β : x y 6z = estão, nesta ordem, em uma razão. 0. Determine m e p para que o plano π : 5x + my + z + p = 0 pertença ao feixe planos de equação x y + z 5 + k(x y z 7) = 0.. Encontre a equação do plano que contém a reta interseção de α : x y + z + 9 = 0 e β : x + z = 0 e que: (a) contém a origem. (b) contém o ponto A(,, ). (c) é perpendicular ao plano xy. (d) é paralelo ao eixo z. (e) é paralelo ao eixo y. (f) é perpendicular ao plano yz. (g) dista unidades da origem. (h) é perpendicular ao plano π : x + y z 6 = 0.. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o plano π que contém (a) o ponto A (,, ) e é paralelo ao plano xy. (b) o ponto B (,, ) e é paralelo ao plano yz. (c) o ponto C (,, 5) e é paralelo ao plano xz. (d) o ponto D (0,, 5) e o eixo Ox. (e) o ponto E (,, ) e o eixo Oy. (f) o ponto F (,, ) e o eixo Oz.. Verifique se os pontos A (, 7, ) e B (,, ) pertencem ao plano de equações paramétricas: x = + α + β, y = α β e z = + α β.. Encontre as equações normal e geral do plano π de equações paramétricas: x = +α+β, y = α + β e z = α + β. 5. Esboce e o tetraedro definido pelo plano π : x y+6z = 0 e os planos coordenados. Em seguida calcule seu volume. 5