Sistemas de equações lineares com três variáveis

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1 18 Sistemas de equações lineares com três variáveis Sumário 18.1 Introdução Sistemas de duas equações lineares Sistemas de três equações lineares Exercícios

2 Unidade 18 Introdução 18.1 Introdução Neste capítulo vamos estudar os sistemas de equações lineares com três variáveis tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico. Uma equação linear nas variáveis x, y e z é uma equação da forma ax + by + cz = d, (18.1) onde a, b, c, d R são constantes, sendo pelo menos um dos números a, b ou c diferentes de zero. As constantes a, b e c são os coecientes e a constante d é o termo independente da equação (18.1). Um sistema de n equações lineares a três variáveis é um conjunto de n equações do tipo (18.1): a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d a n x + b n y + c n z = d n. (18.) Um terno ordenado de números reais (x 0, y 0, z 0 ) é uma solução do sistema (18.) se a k x 0 + b k y 0 + c k z 0 = d k, para todo k = 1,,..., n. Como os pontos do espaço são representados por ternos ordenados de números reais, em relação a um sistema de eixos ortogonais O, dizemos também que um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) é uma solução do sistema (18.) quando o terno ordenado de suas coordenadas (x 0, y 0, z 0 ) é uma solução. O conjunto de todas as soluções de (18.) é o conjunto solução do sistema. Dizemos que o sistema (18.) é determinado quando possui uma única solução; indeterminado quando possui mais de uma solução; impossível quando não possui soluções. 18. Sistemas de duas equações lineares com três variáveis No Capítulo 17 vimos que cada uma das equações do sistema (18.) é a equação de um plano.

3 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 Para n = 1, o conjunto solução do sistema (18.) é o plano representado pela equação a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1. Para n =, o conjunto solução S do sistema: { a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d (18.) é o conjunto dos pontos que pertencem, simultaneamente, aos planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 e π : a x + b y + c z = d. Ou seja, S = π 1 π. O estudo do sistema (18.) será feito analisando as equivalências entre as possíveis posições relativas dos planos π 1 e π e as possíveis relações algébricas dos coecientes e dos termos independentes das equações do sistema. Do ponto de vista algébrico, as possibilidades para os vetores normais n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n = (a, b, c ) aos planos π 1 e π, respectivamente, e os termos independentes d 1 e d são: (A1) Existe λ R tal que n = λ n 1 e d = λ d 1 ; (A) Existe λ R tal que n (A) Os vetores n e n 1 = λ n 1, mas d λ d 1 ; não são colineares. Por outro lado, pela Proposição 7 do Capítulo 17, há exatamente três posições relativas possíveis entre os planos π 1 e π : (G1) π 1 e π são coincidentes: π 1 = π ; (G) π 1 e π são paralelos: π 1 π = ; (G) π 1 e π se intersectam ao longo de uma reta l: π 1 π = l. As posições relativas (G1), (G) e (G) entre os planos π 1 e π são equivalentes, respectivamente, às alternativas algébricas (A1), (A) e (A) para os vetores n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n = (a, b, c ) e os termos independentes d 1 e d das equações do sistema (18.). Proposição 1 (A1)= (G1) Se n = λ n 1 e d = λd 1, a equação do plano π é obtida multiplicando por λ ambos os membros da equação do plano π 1. Consequêntemente, um ponto que satisfaz a primeira deve, necessariamente, satisfazer a segunda e, reciprocamente. Portanto, um ponto pertence ao plano π 1 se, e só se, pertence ao plano π. Ou seja, os planos π 1 e π coincidem e o conjunto solução do sistema é: S = π 1 = π (Figura 18.1). Demonstração

4 Unidade 18 Sistemas de duas equações lineares... π π 1 P n1 n Figura 18.1: S = π 1 = π (A)= (G) Suponhamos que n = λ n 1 P = (x, y, z) pertence ao plano π 1 se, e só se, e d λd 1. Então, um ponto a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 λa 1 x + λb 1 y + λc 1 z = λd 1 a x + b y + c z = λd 1. (18.4) Como d λd 1, temos, por (18.4), que P π. Logo, π 1 π =, ou seja, π 1 e π são planos paralelos e S = (Figura 18.). n n 1 π 1 π Figura 18.: S =, pois π 1 π (A)= (G) Neste caso, a hipótese implica que n 1 n = (b 1 c b c 1, a c 1 a 1 c, a 1 b a b 1 ) (0, 0, 0). Sem perda de generalidade, suponhamos que a última coordenada D = a 1 b a b 1 do produto vetorial n 1 n é diferente de zero. O sistema (18.) pode ser escrito na forma: a 1 x + b 1 y = d 1 c 1 z a x + b y = d c z. 4

5 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 Sendo o determinante D = a 1 b a b 1 0 da matriz do sistema acima diferente de zero, ele pode ser resolvido de forma única para cada valor de z: x = 1 D [(d 1 c 1 z)b (d c z)b 1 ] y = 1 D [(d c z)a 1 (d 1 c 1 z)a ]. Portanto, os planos π 1 e π se intersectam ao longo da reta x = 1 (d D 1b d b 1 ) + 1 (b D 1c b c 1 )t l : y = 1 (d D a 1 d 1 a ) + 1 (a D c 1 a 1 c )t; t R, z = t que é paralela ao vetor u = ( 1 D (b 1c b c 1 ), 1 D (a c 1 a 1 c ), 1 ). Multiplicando o vetor u por D, obtemos que l é uma reta paralela ao produto vetorial n 1 n (Figura 18.). n 1 π π 1 n u l Figura 18.: S = π 1 π = l Reciprocamente, (G1)= (A1), (G)= (A) e (G)= (A), porque as condições (G1), (G) e (G) se excluem mutuamente e as alternativas (A1), (A) e (A) esgotam todas as possibilidades. Suponhamos, por exemplo, que vale (G1), isto é, que os planos π 1 e π coincidem. Então, existe λ R tal que n = λ n 1 e d = λd 1, pois, caso contrário, valeria (A) ou (A). Mas se valesse (A), teríamos que π 1 e π seriam paralelos, uma contradição, e se valesse (A), π 1 e π se intersectariam ao longo de uma reta, novamente uma contradição. 5

6 Unidade 18 Sistemas de duas equações lineares... Observação Além de ser descrita por suas equações paramétricas ou simétricas, como vimos no Capítulo 16, a equivalência (A) (A) nos dá outra maneira de representar analiticamente uma reta no espaço. Ou seja, uma reta r pode ser caracterizada como o conjunto dos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas são as soluções do sistema a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d, se os vetores n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n = (a, b, c ), normais aos planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 e π : a x + b y + c z = d, não são múltiplos um do outro. Neste caso, n 1 n é um vetor paralelo à reta r. Para determinar as equações paramétricas de r, basta obter um ponto A qualquer que satisfaz ao sistema. Feito isso, r = {A + t ( n 1 n ) ; t R}. Exemplo 1 Determine o conjunto solução S dos sistemas. { x + y + z = (a) 1 x + 1 y + z = 1. Solução. As equações correspondem aos planos π 1 : x + y + z = perpendicular ao vetor n 1 = (1, 1, ) e π : 1x + 1 y + z = 1 perpendicular ao vetor n = ( 1, 1, 1). Como n = 1 n 1 e 1 = d = 1 d 1 = 1, os planos são coincidentes e, portanto, S = π 1 = π. Logo, o sistema é indeterminado, com um número innito de soluções. { x + y + z = 1 (b) 1 x + y + z = 0. Solução. Nesse sistema, as equações correspondem aos planos π 1 : x + y + z = 1 e π : 1 x + y + z = 0, normais aos vetores n 1 = (1,, ) e n = ( 1, 1, 1), respectivamente. Sendo n = 1 n 1 e 0 = d 1 d 1 = 1 1 = 1, os planos π 1 e π são paralelos. Logo, o sistema não possui solução, isto é, o sistema é impossível. 6

7 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 (c) { x + y + z = 0 x + y + z =. Solução. As equações do sistema representam os planos π 1 : x + y + z = 0 e π : x+y +z = perpendiculares aos vetores n 1 = (1, 1, ) e n = (1, 1, 1), respectivamente. Como os vetores n 1 e n não são múltiplos, temos que π 1 π = l é uma reta paralela ao vetor v = n 1 n = (1, 1, 0). Fazendo x = 0 nas equações, obtemos y = 4 e z =. Logo, A = (0, 4, ) l. Assim, l = S = {(t, 4 + t, ) ; t R} e, portanto, o sistema é indeterminado, com um número innito de soluções. Mostre que, para todo m R, a solução do sistema abaixo é uma reta r m : mx + y + z = 1 (18.5) x + my + z =. Exemplo Obtenha, caso exista, m R de modo que a reta r m seja perpendicular ao plano π : x z = 0. Caso armativo, determine o ponto P de interseção da reta r com o plano π. Solução. Sejam n 1 = (m, 1, ) e n planos π 1 : mx + y + z = 1 e π : x + my + z =. Como u = n1 n = = (1, m, 1) os vetores normais aos 1 m e 1 m 1 e + e m m = (1 m, m +, m 1) (0, 0, 0), temos, pela Proposição 1, que a solução do sistema é uma reta r m paralela ao vetor u, para todo m R. Para que a reta r m seja perpendicular ao plano π, o vetor u deve ser um múltiplo do vetor v = (1, 0, 1), normal a π. Logo, u v = 0, ou seja, u m + m v = e 1 1 m m e + 1 m m e = (m, m( m), m ) = (0, 0, 0). Segue que m = e u = (14, +, 41) = (, 0, ). Fazendo x = 0 e m = em (18.5), obtemos o sistema 7

8 Unidade 18 Sistemas de três equações lineares... y + z = 1 y + z, cuja solução é y = 1 e z = 0. Logo, A = (0, 1, 0) r e as equações paramétricas de r são x = t r : y = 1 ; t R z = t. Seja r π = {P }. Então, P = (t, 1, t) e as coordenadas x = t, y = 1 e z = t de P satisfazem à equação de π : x z = t t = 0 t = 0. Assim, P = A = (0, 1, 0) π A u r é o ponto de interseção de r com π (Figura 18.4). Figura 18.4: r π, com r π = {A} 18. Sistemas de três equações lineares com três variáveis Consideremos agora um sistema de três equações lineares com três variáveis x, y, z: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d. (18.6) As equações do sistema (18.6) representam os planos π k : a k x+b k y+c k z = d k, normais aos vetores n k = (a k, b k, c k ), k = 1,,. Do ponto de vista geométrico, existem oito possibilidades para a posição relativa entre os planos π 1, π e π : (G1) Os três planos coincidem: π 1 = π = π ; 8

9 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 (G) Dois dos planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles: π 1 = π e π π 1 = ; (G) Os planos são paralelos dois a dois: π π = ; π 1 π =, π 1 π = e (G4) Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta ao longo de uma reta l: π 1 = π e π π 1 = l; (G5) Dois dos planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas l 1 e l : π 1 π =, π 1 π = l 1 e π π = l ; (G6) Os três planos são distintos e se intersectam ao longo de uma reta l: π 1 π, π 1 π, π π e π 1 π π = l; (G7) Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas paralelas entre si: π 1 π = l 1, π π = l, π 1 π = l, l 1 l l ; (G8) Os três planos têm um único ponto em comum: π 1 π π = {P }; Por outro lado, sob o ponto de vista algébrico, há apenas oito alternativas possíveis a respeito dos vetores linha n i d i, i = 1,,, das equações do sistema (18.6): (A1) Existem λ, µ R tais que n d = µd 1 ; (A) Existem λ, µ R tais que n d µd 1 ; (A) Existem λ, µ R tais que n d µd 1 e d µ λ d ; (A4) Existe λ R tal que n múltiplos; (A5) Existe λ R tal que n múltiplos; = λ n 1 = (a i, b i, c i ) e os termos independentes = λ n 1, n = µ n 1, d = λd 1 e = λ n 1, n = µ n 1 e d = λd 1, mas = λ n 1 e n e d = λd 1, mas n 1 = µ n 1, mas d λd 1, e n não são = λ n 1, mas d λd 1 e n 1 e n não são (A6) Nenhum dos vetores n 1, n e n é múltiplo do outro, mas existem λ, µ R tais que n = λ n 1 + µ n e d = λd 1 + µd ; (A7) Os vetores n 1, n e n são dois a dois não colineares, mas existem λ, µ R tais que n = λ n 1 (A8) Os vetores n 1, n e n são LI. + µ n e d λd 1 + µd ; 9

10 Unidade Sistemas de três equações lineares Proposição Demonstração As posições relativas G1 G8 entre os três planos π1, π e π representados pelas equações correspondentes do sistema (18.6) equivalem, respectiva mente, às alternativas algébricas A1 A8 para os vetores linha i = (ai, bi, ci ) e os termos independentes di, i = 1,,, das equações do sistema (18.6). As equivalências Ai Gi, i = 1,..., 5, seguem diretamente das equivalências (Aj) (Bj), j = 1,,, da Proposição 1, aplicadas aos pares de planos π1 e π, π1 e π, π e π, do sistema (18.6). (Figuras 18.5 a 18.9). k n k n n 1 Figura 18.5: G1: n π1 = π = π π 1 k n π1 π π π π1 1 Figura 18.6: G: π1 = π e π1 k π Figura 18.7: G: π1 k π, π1 k π π 1 k n ` π k π e π1 π = ` Figura 18.9: G5: π 1 `1 π1 π1 = π e π π1 Figura 18.8: G4: π π1 π π ` π1 k π, π1 π = `1 k ` = π π Resta, ainda, mostrar as equivalências Ai Gi, i = 6, 7, 8. 10

11 Sistemas de equações lineares com três variáveis A6 = G6 Suponhamos que os vetores 1, n e n são dois a dois não colineares. Pela implicação G = A da Proposição 1, os planos π1 e π se intersectam ao longo de uma reta `. Sejam P = (x, y, z) um ponto da reta ` = π1 π e λ, µ R. Então: a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 n 1 π π1 ` π e Unidade a x + b y + c z =π1d π π = ` Figura 18.10: G6: = λa1 x + λb1 y + λc1 z = λd1 e µa x + µb y + µc z = µd = (λa1 + µa )x + (λb1 + µb )y + (λc1 + µc )z = λd1 + µd. Se, além disso, existem λ, µ R tais que = λn1 + µn e d = λd + µd1, então a x + b y + c z = d e, portanto, P π. Logo, ` π. Como os planos π1 e π, pela Proposição 1, também se intersectam ao longo de uma reta e ` π1 π, obtemos que π1 π = `. Então, π1 π π = ` (Figura 18.10). A7 = G7 Pelo provado acima, π1 e π se intersec ` tam ao longo de uma reta `1 n n1 n1 e essa reta não intersecta o plano π, pois, por hipótese, ` existem λ, µ R tais que ` π1 = λn1 +µn, mas d 6= `1 λd1 + µd. Logo, π1 π π π =. π Sejam ` e ` as retas tais que π π = ` e π1 Figura 18.11: G7: π1 π = `1, π π = `, π1 π = `, π = `. Como π1 π `1 k `, ` k ` e `1 k ` π =, segue que `1 ` = `1 ` = ` ` =, ou seja, as retas `1, ` e ` são duas a duas paralelas. A8 = G8 Como os vetores 1, n e n são LI, temos que 6 0. [ 1, n, n ] = hn1 n, n i = 11 18

12 Unidade 18 Sistemas de três equações lineares... Em particular, nenhum desses vetores é múltiplo do outro. Logo, pela Observação, π 1 π = r é uma reta paralela ao vetor n 1 n. E, sendo n 1 n, n 0, temos, pela Proposição 1 do Capítulo 17, que r π consiste de um único ponto P. Logo π 1 π π 18.1). = {P } (Figura l l P n1 n π 1 l 1 π Figura 18.1: Posição G8 π n Uma vez que as posição relativas G1 G8 dos planos π 1, π e π se excluem mutuamente e as alternativas algébricas A1 A8 esgotam todas as possibilidades, as implicações Gi = Ai, para todo i = 1,..., 8, são também verdadeiras. Suponhamos, por exemplo que vale G8, isto é, que π 1 π π consiste de um único ponto. Então, nenhum dos vetores n 1, n e n é múltiplo do outro, pois, caso contrário, satisfariam a uma das condições dadas por A1 A5 e o sistema seria, portanto, impossível ou indeterminado. Não pode ocorrer também que um dos vetores n 1, n e n seja combinação linear dos outros dois, pois, neste caso, teríamos, pelas implicações A6 = G6 e A7 = G7, que o sistema seria indeterminado ou impossível. Assim, como nenhum dos vetores n 1, n e n é combinação linear dos outros dois, obtemos que eles são LI. Observação 4 Um sistema de três equações lineares com três incógnitas é homogêneo quando todos os termos independentes são iguais a zero: a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a x + b y + c z = 0 a x + b y + c z = 0. (18.7) Note que um sistema linear homogêneo sempre possui a solução trivial (x, y, z) = (0, 0, 0). Então, decorre da Proposição, que o sistema (18.7) possui apenas a solução trivial se, e só se, o determinante da matriz A do sistema é diferente de zero, isto é, se, e só se, os seus vetores linha são LI. 1

13 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 Equivalentemente, o sistema homogêneo possui uma solução não trivial se, e só se, det A = 0. Neste caso, o conjunto solução são os pontos do plano π 1 que passa pela origem, quando π 1 = π = π, e são os pontos da reta r = π 1 π π que passa pela origem, nos outros casos, onde π i : a i x+b i y+c i z = 0, i = 1,,, são os planos representados pela equações do sistema. Antes de darmos alguns exemplos, provaremos a seguinte aplicação geométrica da equivalência A8 G8. Por quatro pontos não coplanares no espaço passa uma única esfera. Proposição 5 Se existir uma esfera S de centro P 0 e raio R > 0 que passa pelos pontos não coplanares A, B, C e D, devemos ter d(a, P 0 ) = d(b, P 0 ) = d(c, P 0 ) = d(d, P 0 ) = R, ou seja, o centro P 0 da esfera S é um ponto equidistante dos pontos A, B, C e D. Sejam π 1 o conjunto dos pontos equidistantes de A e B, π o conjunto dos pontos equidistantes de A e C e π o conjunto dos pontos equidistantes de A e D. Pelo Exemplo, do Capítulo 1, π 1 é o plano perpendicular ao vetor AB que passa pelo ponto médio do segmento AB, π é o plano normal ao vetor AC que contém o ponto médio do segmento AC e π é o plano perpendicular ao vetor AD que contém o ponto médio do segmento AD. Como os pontos A, B, C e D não são coplanares, os vetores AB, AC e AD são LI. Logo, pela equivalência A8 G8, os planos π 1, π e π se intersectam num único ponto P 0. Assim, a esfera S de centro P 0 e raio R = d(a, P 0 ) é a única esfera que passa pelos pontos não coplanares A, B, C e D. Demonstração Analise o sistema, exibindo o seu conjunto solução. x y z = 1 x y + z = 0 x y + z =. Solução. Sejam n 1 = (,, ), n = (1,, ) e n = (1, 1, 1) os vetores normais dos planos π 1 : x y z = 1, π : x y + z = 0 e Exemplo 1

14 Unidade 18 Sistemas de três equações lineares... π : x y + z = representados pelas equações do sistema. Estes vetores são LI, pois = det( n 1, n, n ) = det = 5. Logo, o sistema tem uma única solução P = (x, y, z), cujas coordenadas podem ser obtidas, por exemplo, usando a regra de Cramer: x= 1 1 det 0, y = 1 1 det 1 0 e z = 1 1 det Calculando os determinantes, obtemos: x = 5, y = 16 5 e z = 5. Vamos obter agora uma solução geométrica mais simples do sistema. Pela Observação, π 1 π = r é uma reta paralela ao vetor u = n 1 n = (1, 9, ). Fazendo z = 0 nas equações dos planos π 1 e π, obtemos x = 1 e y = 1 (. Logo, A = 1, 1 ), 0 é um ponto da reta r, cujas equações paramétricas são, portanto, x = 1t + 1, y = 9t + 1 e z = t; t R. Substituindo as coordenadas de um ponto P = (1t + 1, 9t + 1 ), t da reta r na equação do plano π, obtemos que P r π se, e só se, ( (1t + 1) 9t + 1 ) + (t) =. Logo, t = ( 6 10 e, portanto, P = 7 + 1, , ) ( = 5 5, 16 5, ). 5 Exemplo 4 Determine a interseção entre os planos π 1 : x + y + z =, π : x y z = 0 e π : x y z =. Solução. Sejam n 1 = (1, 1, 1), n = (1, 1, 1) e n = (, 1, 1) vetores normais aos planos π 1, π e π, respectivamente. Como n 1 n = (0,, ) (0, 0, 0), obtemos, pela Observação, que π 1 e π se intersectam ao longo de uma reta r paralela ao vetor n 1 n. Fazendo y = 0 nas equações dos planos π 1 e π, obtemos x = 1 e z = 1. Então, o ponto A = (1, 0, 1) pertence à reta r, cujas equações paramétricas são 14

15 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade 18 x = 1, y = t e z = t + 1; t R. Substituindo as coordenadas de um ponto P = (1, t, t + 1) da reta r na equação do plano π, obtemos 1 t (t + 1) =, para todo t R. Logo, r π e, portanto, π 1, π e π se intersectam ao longo da reta r. Observe que n = n 1 + n e que d = d 1 + d, onde d 1 =, d = 0 e d = são os termos independentes das equações dos planos π 1, π e π. Logo, n 1, n, n, d 1, d e d satisfazem à alternativa A6. Portanto, pela Proposição, os planos π 1, π e π se encontram na posição relativa G6, ou seja, π 1 π π é uma reta. Obtenha os possíveis valores para α e β de modo que os planos π 1 : x + αy + z = 1, π : x y + z = 0 e π : x y + z = β. (a) se intersectem, dois a dois, ao longo de três retas paralelas; (b) se intersectem ao longo de uma reta. Solução. Sejam n 1 = (, α, 1), n = (1, 1, ) e n = (1, 1, 1) os vetores normais aos planos π 1, π e π. É fácil vericar que, qualquer que seja o valor de α R, nenhum desses vetores é múltiplo do outro. Para eles serem LD, devemos ter: α 1 det 1 1 = 4 + α = 0, ou seja, α = Então, para α =, n 1 é combinação linear de n e n, isto é, existem a, b R tais que n 1 = a n + b n (,, 1) = a(1, 1, ) + b(1, 1, 1) a + b =, a b =, a + b = 1. Resolvendo o sistema a + b = a + b = 1, obtemos a = 1 e b = 5. Logo, n 1 = 1 n + 5 n. Finalmente, analisando os termos independentes d 1 = 1, d = 0 e d = β das equações que representam os planos π 1, π e π, respectivamente, obtemos, Exemplo 5 15

16 Unidade 18 Sistemas de três equações lineares... pela equivalência A6 G6, que π 1, π e π se intersectam ao longo de uma reta se, e só se, 1 = d 1 = 1 d + 5 d = β = 5 β, ou seja, se, e só se, β =. Então, pela equivalência A7 G7, os planos se intersectam, dois 5 a dois, segundo retas paralelas umas às outras se, e somente se, β 5. Exemplo 6 Encontre a equação da esfera S que passa pelos pontos A = (1,, ), B = (1, 4, 1), C = (,, 1) e D = (0, 4, 1). Solução. Sejam π 1, π e π os conjuntos dos pontos equidistantes dos pontos A e B, A e C, e A e D, respectivamente. Então, π 1 é o plano normal ao vetor AB = (,, 4) que passa pelo ponto médio M AB = (0,, 1) do segmento AB, π é o plano normal ao vetor AC = (4, 4, 4) que contém o ponto médio M AC = (1, 0, 1) do segmento AC, e π é o plano perpendicular ao vetor AD = (1,, ) que passa pelo ponto médio M AD = ( 1 ),, do segmento AD. Assim, π 1 : x+y4z =, π : 4x4y4z = 0 e π : x+yz =. Como os vetores AB e AC não são colineares, π 1 π é uma reta paralela ao vetor AB AC = (4, 8, 16). Fazendo z = 0 nas equações dos planos π 1 e π, obtemos x = y = 1 ( 1. Logo, E =, 1 ), 0 é um ponto da reta r e, portanto x = 4t + 1, y = 8t + 1 são equações paramétricas da reta r. e z = 16t; t R, O centro P 0 da esfera S é o ponto onde a reta r intersecta o plano π. Para obtermos P 0, devemos substituir as coordenadas x = 4t + 1, y = 8t + 1 e z = 16t, de um ponto da reta r, na equação do plano π : x + y z = ( : 4t + 1 ) ( + 8t + 1 ) (16t) = 8t = 1 1 = 0 t = 0. ( 1 Então, P 0 =, 1 ), 0 é o centro, (1 ) ( 1 ) R = d(a, P 0 ) = (0 ) = 4 = 7 é o raio e ( x 1 ) ( + y 1 ) + z = 7 é a equação da única esfera S que passa pelos pontos não coplanares A, B, C e D. 16

17 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade Exercícios 1. Determine todos os pontos de interseção dos planos (a) π 1 : x + y = e π : x + y z = 0; (b) π 1 : x + y + z = 1 e π : x + y z = 1; (c) π 1 : x y + z = 0 e π : 4x y z = 1.. Sejam os planos π 1 : x y + az = b e π : ax + y + z = 1. Descreva a posição relativa entre os planos π 1 e π em termos de a e b.. Ache o conjunto solução do sistema e determine em qual dos casos, G1 a G8, ele se enquadra: x + y + z = 1 (a) x + y + z = x 4y + z = 6. x + y + 5z = 1 (c) x + y + z = x y + z = 0. x + y + z = (b) 4x + y + z = x + y + = 0. x + y + z = 1 (d) x + y + z = 1 x + y + z =. 4. Considere os planos π 1 : ax + by + z = 0, π : x y + z = e π : x + y z = 1. Obtenha todos os valores de a e b, caso existam, de modo que a interseção dos planos π 1, π e π seja: (a) um único ponto; (b) uma reta; (c) o conjunto vazio. 5. Que relação deve haver entre λ, α e γ para que o sistema 4x y + z = λ x + y + z = α x + 4y + z = γ possua solução? 6. Mostre que o sistema abaixo possui uma única solução quaisquer que sejam a, b, c, d R: 17

18 Unidade 18 Exercícios x + y + z = b x + 9y + z = c ax + y + z = d. 7. Encontre os números reais λ, α e γ a m de que o conjunto solução do sistema λx + αy + z = γ x + y z = γ x + y + z = γ seja uma reta que passa pelo ponto A = (0, 1, 1). 8. Determine os valores de λ R para os quais o sistema abaixo tem uma única solução e obtenha essa solução em função do parâmetro λ: λx y z = 1 x y + z = x y =. 9. Ache a equação da esfera S que passa pelos pontos A = (, 5, 1), B = (5, 1, 1), C = (1, 1, ) e D = (7,, 1). 10. Considere os planos π 1 : mx ny + z = e π : nx my + nz = 4, onde m, n R. Determine m, n R, de modo que (a) π 1 e π sejam paralelos; (b) π 1 π seja uma reta que passa pelo ponto A = (0, 0, ) e é perpendicular ao vetor v = (, 1, 1). 11. Ache as equações das esferas de raio igual a A = (, 0, 5), B = (1,, 1) e C = (1, 0, 1). 0 que contêm os pontos 1. Considere os pontos A = (1,, 1), B = (, 4, ) e o plano π : x y +z = 1. Determine: (a) o conjunto dos pontos equidistantes de A e B; (b) o ponto C = (x, y, z) pertencente a π tal que CA = CB = 11 e x + y z < 0; (c) a área do triângulo de vértices A, B e C, e o plano que contém esse triângulo. 18

19 Sistemas de equações lineares com três variáveis Unidade Prove as implicações G6 = A6 e G7 = A7, usando apenas a Proposição 1 e a Observação. 14. Encontre todas as soluções do sistema de três equações lineares com quatro incógnitas x, y, z e t, em função da variável t: x + y + z + t = 7 x + y z + t = 0 x + y + z + 5t = Dê uma condição algébrica necessária e suciente para que quatro planos no espaço se intersectem (a) ao longo de uma reta; (b) dois a dois ao longo de quatro retas paralelas. 16. Sejam n 1 Prove que o sistema = (a 1, b 1, c 1 ), n = (a, b, c ) e n a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 = (a, b, c ) vetores LI. a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d a 4 x + b 4 y + c 4 z = d 4 admite solução se, e somente se, existem constantes α, β, γ R tais que o vetor n 4 = (a 4, b 4, c 4 ) e o escalar d 4 satisfazem: n 4 = α n 1 + β n + γ n e d 4 = αd 1 + βd + γd. 19