. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança da base E para a F, onde E = { e 1, e, e }, F = { f1, f, f }, nos casos: f1 = e 1 + e + e, f1 = e 1 e, (a) f = e 1 e + e, ; (b) f = e 1,. f = e 1 + e, f = 4 e 1 e.. Sendo v = 4 f1 + f f, determine v em função de e 1, e e e nos casos do Exercício 1.. Sendo E = { e 1, e, e }, F = { f1, f, f } bases com: f1 = e 1 e, f = e + e, f = 7 e, e w = e 1 + e + e, determine as coordenadas de w na base F. 4. Sejam E = { e 1, e, e }, F = { f1, f, f }, G = { g 1, g, g } bases tais que: e 1 = f 1 1 f, g 1 = e 1 + e + e, e = 1 f 1 + g = e 1 + e, f, g = e 1. e = f, Determine todas as possíveis matrizes de mudança de base envolvendo E, F e G. 5. Seja E = { ı, j, k} uma base ortonormal. Sendo u = 1 ( ı + j k), v = 1 ( j + k) e w = 1 6 ( ı j + k), prove que F = { u, v, w} é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a = ı j k em relação à base F. 6. Verifique em cada um dos casos abaixo se as bases dadas têm mesma orientação: e f e f1 e f1 e f f e 1 f e 1 (a) (b) FIGURA 1. Figuras para a questão 6 7. Verifique em cada um dos casos abaixo se as bases E = { e 1, e, e }, F = { f1, f, f } têm a mesma orientação: f1 = e 1 e e, f1 = e 1 + e + e, (a) f = e 1 e, ; (b) f = e 1 e + e,. f = e, f = e 1 + e e.

2 8. Sendo E = { e 1, e, e } e F = {α e 1, β e, γ e } bases positivas, qual a relação entre os números α, β e γ? 9. Mostre que, sendo E = { u, v, w} e F = { u, v, r} bases de orientações opostas e r// w, então r = λ w com λ < 0 (isto é, r e w têm sentidos opostos). Em particular, se r e w têm normas iguais, temos λ = 1 e portanto r = w. Nos exercícios seguintes as coordenadas dos vetores são dadas em relação a uma base ortonormal positiva. 10. Calcule o momento em relação ao ponto O da força f = ( 1,, 4), aplicada ao ponto P tal que OP = (1, 1, 1) (esse momento é igual a OP f ). 11. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule AB AC. 1. Calcule a área do triângulo ABC, sendo AC = ( 1, 1, 0) e AB = (0, 1, ). 1. Dados u = (1, 1, 1) e v = (0, 1, ), determine uma base ortonormal positiva { a, b, c} tal que: (i) a// u e a tem mesmo sentido que u; (ii) b é combinação linear de u e v, e sua primeira coordenada é positiva. 14. Resolva o sistema: { x ( ı + j + 4 k) = 9, x ( ı + j k) = ı + k. 15. Determine x tal que x ( ı + k) = ( ı + j k) e x = Sabe-se que x é ortogonal a (1, 1, 0) e a ( 1, 0, 1), tem norma e, sendo θ a medida do ângulo entre x e (0, 1, 0), tem-se cos θ > 0. Determine x. 17. Prove que se u e v são linearmente independentes e w u = w v = 0 então w = 0. Interprete esse resultado geometricamente. 18. Seja u = 0. Prove que se u v = 0 e u v = 0 então v = 0. Interprete esse resultado geometricamente. 19. Prove que a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB mede: AB AC. AB 0. Calcule a distância do ponto C à reta que passa por dois pontos distintos A e B. 1. Sendo u = 6, v = e v u = 7, calcule u v sabendo-se que u e v formam um ângulo obtuso.. Seja v = ( a + α b) ( a + b), α R, onde a =, b = 1 e θ = π 4 e b. Calcule α para que tenhamos v = 1. é o ângulo entre a. Seja M o ponto de encontro das diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD. Sendo BM = (0, 1, ) e AC = (,, ), calcule a área do paralelogramo ABCD e a distância do ponto M à reta AB. 4. Seja O um ponto. Considere os pontos R, S, T tais que OR = (1, 7, 9), OS = (14, 6, 9) e OT = (t + 11, t 7, 10). Determine a menor área possível para o triângulo RST, onde t percorre R.

3 5. Sejam AB = (1, 0, 1) e CB = (0, 0, ). (a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo. (b) Determine proj BC AB. (c) Calcule o comprimento da altura relativa da hipotenusa do triângulo retângulo ABC. 6. Sejam B = { ı, j, k} uma base ortonormal positiva e E = { e1, e, e } uma base de modo que e 1 = (1, 0, 1) B, e = (, 0, 1) B e e = (1, 1, 1) B. Determine uma base F = { f1, f, f } ortonormal, de mesma orientação que E tal que e 1 f1 = 0 e [ e 1, e, f ] = 0. Calcule u v, sendo u = ( 1 1, 0, )E e v = (1,, 1) F. 7. Dados a = (0, 1, 1), b = (0, 1, 0), c = (1, 1, 0), determine o vetor unitário u tal que u é ortogonal a c, proj a u = (0, 1, 1 ) e u b > 0. Determine os vetores v de norma 8, sabendo que o ângulo entre v e a é π radianos e que os vetores a, c, v são linearmente dependentes. 8. Consideremos os vetores x = (1,, 1), v = (0,, 4), u = (1, 0, ) e a = (0, 0, ). Calcule o volume do tetraedro ABCD e a altura relativa à base determinada por AB e AC, sabendo-se que AB = proj v x, AC = 1, AC// u, AC u < 0 e (proj a AB) AC = BD. 9. A medida em radianos do ângulo entre u e v é π 6 e w é ortogonal a u e a v. Sendo u = 1, v = 1, w = 4 e { u, v, w} uma base positiva, determine [ u, v, w]. 0. Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é: [ AB, AC, AD] AB AC. Nos exercícios de 1 a 4 supõe-se fixado um sistema de coordenadas arbitrário. 1. São dados os pontos A = (, 6, 7), B = ( 5,, ) e C = (4, 7, 6). (a) Escreva equações vetorial e paramétrica para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto D = (, 1, 4) pertence a essa reta? (b) Verifique que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo. (c) Escreva uma equação paramétrica da mediana relativa ao vértice C do triângulo.. Dados os pontos A=(1,,5) e B=(0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.. Escreva uma equação paramétrica para a reta r que passa pelo ponto A=(,0,-) e: (a) é paralela à reta s : 1 x = y 5 4 = z + 6 (b) é paralela à reta que passa pelos pontos B= (1,0,4) e C=(,1,). 4. Escreva equações geral e paramétrica para os planos descritos abaixo: (a) π passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, 1, 1) e é paralelo ao vetor v = (, 1, 0). (b) π passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1,, 1) e D = (0, 1, 0). (c) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (, 1, 1) e C = (1, 1, 0). 5. Sejam P = (4, 1, 1) e r : X = (, 4, 1) + λ(1, 1, ) (a) Mostre que P / r. (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P. 6. Decomponha o vetor v = (1,, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1) e outra paralela à reta X = (0, 0, 0) + ν(, 1, 0). 7. Um paralelogramo de vértices A, B, C e D, tem lados AB e CD paralelos à reta de equação r : X = (0, 0, 0) + λ(, 4, 5), e os outros dois paralelos ao plano π : x + y + z = 0. Sabendose que A = (0, 0, 0) e D = (1, 1, 1), determine os vértices B e C.

4 8. Estude a posição relativa das retas r e s nos casos: { y + z = (a) r : X = (1, 1, 1) + λ(, 1, 1) e s : x + y z = 0 ; { { x y z = x y + z = 5 (b) r : e s : x + y z = 0 x + y z = Estude a posição relativa da reta r e do plano π nos casos: (a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x y z =. (b) π : X = (0, 1/, 0) + λ(1, 1/, 0) + µ(0, 1, 1) e r : 40. Verifique se os planos π 1 e π são iguais nos casos: (a) π 1 : X = (1,, 1) + λ(1, 1, ) + µ(, 4, 6) e π : X = (, 1, ) + λ( 1, 1, ) + µ(,, 4); (b) π 1 : x y + z + 1 = 0 e π : x 6y + 4z + 1 = 0. { x y + z = 0 x + y z = Verifique se a reta r está contida no plano π nos casos: (a) r : X = (1, 0, 0) + λ(, 1, 0) e π : x + y + z = 1; (b) π : X = (1, 4, 1) + λ(1, 1, 1) + µ( 1,, 1) e r é a reta que passa pelos pontos A = (,, ) e B = (0, 0, 1). 4. Obtenha uma equação vetorial para as retas (caso existam) que passam pelo ponto P, são paralelas ou contidas no plano π e são concorrentes com a reta r nos seguintes casos (interprete geometricamente): (a) P = (1, 1, 0), π : x + y z = 0, r : X = (1, 0, 0) + λ( 1, 0, 1); (b) P = (1, 0, 1), π : x y z = 1, r : X = (0, 0, 0) + λ(, 1, 1); (c) P = (1,, 1), π : x y = 0, r : X = (1, 0, 0) + λ(,, 1). Nos exercícios de 4 a 56 supõe-se fixado um sistema de coordenadas ortogonal. 4. Dados os pontos A=(0,0,1), B=(1,,1) e C=(1,0,1), obtenha equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do triângulo ABC, relativas ao vértice C. 44. Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por A = (1, 1, 1) e B = (, 1, 1). 45. Obtenha um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: (a) π passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1,, ); x = 1 + α (b) π tem equações paramétricas y = α + β. z = α β 46. Considere os planos π 1 : x = y, π : x = 0, π : z = 0 e seja π 4 o plano determinado pelas retas { x = 0 r : X = (1,, 0) + λ(1,, 1) e s : z + y = 1. Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume. 47. Determine a projeção ortogonal: (a) do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano π : x 4y + = 0; (b) da reta r : x + 1 = y + = z sobre o plano π : x y + z = 0; (c) da origem sobre a reta intersecão dos planos π : x + y + z = 1 e π : x = 1 + λ y = 1 + µ z = 1 + λ + µ.

5 48. Ache o vértice B de um triângulo retângulo ABC sabendo que: (a) A = (1, 1, 1) e a cota de C é maior do que a de A; (b) a hipotenusa AC é ortogonal ao plano x + y z 10 = 0, e mede ; (c) o lado AB é ortogonal ao plano x y z = Um cubo tem diagonal AB e uma de suas faces está contida no plano π : x y = 0. Determine seus vértices, dados A = (1, 1, 0) e B = (1,, ). 50. Um hexágono regular ABCDEF está contido no plano π : x + y + z 1 = 0. Sendo A = (1, 0, 0) e D = ( 1,, ) dois vértices diametralmente apostos, determine os outros quatro. 51. Considere as retas r : X = (1, 0, 1) + λ(0, 1, ) e s : X = (0, 0, 1) + λ(1, 1, 1). Mostre que r e s são retas reversas. Encontre o ponto da reta s mais próximo do ponto A = (1, 0, 1). Encontre dois pontos P r e Q S cuja distância seja a menor possível. 5. Decomponha o vetor v = (, 4, 5) numa soma v = v 1 + v onde v 1 é paralelo ao plano x = 1 λ π : y =. z = λ µ e v é ortogonal a π. 5. Considere os planos π 1 : x y + z 4 = 0 e π : x + y z + = 0. (a) Mostre que π 1 e π são concorrentes; (b) Ache uma equação vetorial da reta s = π 1 π ; (c) Ache uma equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é perpendicular à reta s. 54. Considere as retas r e s dadas por r : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) e s : X = (1, 1, 1) + µ(1, 0, 1). (a) Mostre que r e s são retas reversas; (b) Dê uma equação geral para os planos π 1 e π tais que r π 1, s π e π 1 é paralelo a π. (c) Calcule a menor distância possível entre um ponto de r e um ponto de s. 55. Mostre que a distância de um ponto P a uma reta r que passa por um ponto A e tem a direção de um vetor v é dada por: d(p, r) = AP v. v 56. Considere as retas: r : X = A + λ u, s : X = B + µ v, onde u e v são vetores linearmente independentes (isto é, r, s não são nem coincidentes nem paralelas). Mostre que a distância entre r e s é dada por: [ AB, u, v ] d(r, s) = u v.

6 Questões de escolha multipla de MAT Seja E uma base ortonormal positiva de V e considere os vetores u = (1, 0 1) E v = ( 1,, 1) E e w = u v. Seja t a projeção ortogonal de v sobre u. Pode-se afirmar que: a) { u, v, w} é uma base positiva de V ; b) w t = 0; c) u w = v; d) a soma das coordenadas na base E do vetor t é igual a ; e) { t, v, w} é uma base positiva de V. 58. Seja E uma base de V e considere a base F de V definida por: F = {(1, 0, ) E, (1, 1, 0) E, (0, 1, 1) E }. Se u = (1,, ) E, então a soma das coordenadas de u na base F é igual a: a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) Sejam u e v vetores distintos não nulos. Assinale a alternativa contendo uma afirmação falsa: a) u v = 0 se e somente se { u, v} é LD; b) u v = u v se e somente se u v = 0; c) ( u + v) ( u + v) = 5 u v; d) se a medida do ângulo entre u e v é π e se u = 1, v = então u v = ; e) u v = u v + ( u v). 60. Sejam B uma base ortonormal positiva, u = (1, 0, 1) B, v = (, 1, ) B, w = (0, α, α) B, e V o volume de paralelepípedo determinado por u, v e w. Podemos afirmar que: a) V = se e somente se α = ; b) V = se e somente se α = ; c) V = se e somente se α = ou α = ; d) V = se e somente se α = e α = ; e) Não existe α R tal que V =. 61. Sejam u, v V tais que u =, v = e seja λ R. Seja w o vetor definido por: w = ( u + λ v) ( u + v). Considere as seguintes afirmações: (I) se a medida do ângulo entre u e v é π 4 e se λ = 1 4 então w é unitario; (II) se a medida do ângulo entre u e v é π 4 e se λ = 1 4 então w é unitario; (III) se a medida do ângulo entre u e v é π e se λ = 1 então w é unitario. Assinale a alternativa correta: a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; b) todas afirmações são verdadeiras; c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.

7 Nos exercícios 6, 64, 65, 67 e 68 supõe-se fixado um sistema de coordenadas ortonormal positiva. x+1 6. Considere o ponto A = (1,, ), a reta r : = z e o plano π : x y + z = 0. Sabendo-se que s é uma reta que passa por A, é concorrente com r e é paralela ao plano π, pode-se afirmar que uma equação vetorial para s é: a) s : X = (1,, ) + λ(, 5, 4), λ R; b) s : X = ( 7, 5, 1) + λ( 1, 1, 1), λ R; c) s : X = ( 1,, ) + λ(4, 5, ), λ R; d) s : X = (1,, ) + λ(, 1, 0), λ R; e) s : X = ( 7, 8, 1) + λ(4, 5, ), λ R;. = y 1 6. Considere as seguintes afirmações: (I) o volume do tetraedro ABCD é dado por V = 1 AB AC AD ; (II) quaisquer que sejam A, B, C, D em E, temos que AB CD + AC DB + AD BC = 0; (III) Seja ABC um triângulo de área 1. Então a distância de um ponto D de E ao plano determinado por A, B e C dada por 1 AB BC BD. Assinale a alternativa correta: a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; b) todas afirmações são verdadeiras; c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; e) apenas a afirmação (I) é verdadeira. 64. Seja v = (,, 1) V e considere o plano π : x + y + z = 5. Se p é um vetor paralelo a π, q é um vetor ortogonal a π e v = p + q, então p é igual a: a) p = (, 1, ); b) p = (0,, 1); c) p = (1, 1, 1); d) p = (, 0, 1); e) p = (1, 1, 0). 65. Sejam u, v V vetores linearmente independentes e m R. Considere os planos de equações: π 1 : X = (, 1, ) + λ( u + v) + µ( u v), π : X = (1,, 1) + λ( u + m v) + µ(m u v). Pode-se afirmar que: a) se m = 1 então π 1 = π ; b) para todo m R não nulo, os planos π 1 e π são distintos; c) para todo m R, existe um plano π que é paralelo a π 1 e a π ; d) para todo m R, a interseção de π 1 e π é uma reta; e) apenas para m = 1 tem-se que os planos π 1 e π são distintos. 66. Das alternativas abaixo, aquela que contém uma afirmação falsa é: a) ( u v) w = u ( v w), para quaisquer u, v, w V ; b) [ u, v, w] = [ u, v, u + v + w], para quaisquer u, v, w V ; c) [ u, v, w] = [ u, w, v], para quaisquer u, v, w V ; d) dados u, v, w V, se [ u, v, w] > 0 então F = ( u, v, w) é uma base positiva de V ; e) [λ u, λ v, λ w] = λ[ u, v, w], para todos u, v, w V e todo λ R.

8 67. : Considere os planos π 1 : x + y z 1 = 0, π : x + y = 0, a reta r = π 1 π e a reta s : X = (, 1, 0) + λ(1, 0, 1), λ R. Pode-se afirmar que a distância entre r e s é: a) ; b) ; c) ; d) 1 ; e) Suponha que o ponto P = (,, ) seja vértice de um losango que possui uma diagonal contida na reta r : x = y = z. Se Q é o outro vértice desse losango que não pertence a r, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de Q é igual a: a) 4 b) c) 6 d) 5 e)

9 RESPOSTAS 1. (a) M EF = ; (b) M EF = (a) (1, 8, ); (b) ( 5,, 4).. ( 1, 1, 1 ) M FE = e 1 0 M EG = a = (, ) 7, 6 F 6. (a) mesma orientação; (b) orientações opostas. 7. Mesma orientação nos dois casos 8. αβγ > (1, 5, 4) a = ( ) ( 1 1, 1,, b = 1, 0, 1 ), c = ( 1 6, 6, 1 6 ) 14. x = (1, 1, 1) 15. x = ( 1,, 1) 16. x = ( 1, 1, 1) AB AC 0. AB α = 0 ou α = 1. área = 14; distância = proj BC AB = (0, 0, 1), altura = 1 6. f1 = ( 1 1, 0, ) B, f = ( 1, 0, 1 ) B e f = ( 0, 1, 0) B, logo u v = u = (,, 1 ), v = (, 0, ) ou v = (,, 0) 8. volume = 8 75, altura = (a) (a) X = (4, 7, 6) + λ(1, 1, 1); λ R. O ponto D não pertence à reta. (b) basta verificar que { AB, AC} x = 1 + 5λ é L.I. (c) y = 4 11λ, λ R z = 4λ. P = ( 4, 7 4, 15 4 ) ou P = (, 5, 15 ). x = 15λ. (a) y = 4λ, λ R; (b) 4. (a) z = + 18λ x = + λ y = λ z = λ x = 1 + µ y = 1 + λ + µ z = λ, λ R., λ, µ R e x y + 4z + 1 = 0; x = 1 + λ + µ (b) y = λ + µ, λ, µ R z = 1 + λ + µ e x y z 1 = 0; x = 1 λ (c) y = 1 λ + µ, λ, µ R z = λ + µ e x y + z 4 = (b) 8x + 6y z 9 = v = (11, 7, 4) + ( 10, 5, 0). 7. C = ( 7,, ) e B = ( 15, 0, 5 ). 8. (a) Paralelas distintas; (b) Concorrentes em P = (1, 1, 0). 9 (a) r e π são transversais em P = (1, 0, 1); (b) r está contida em π. 40 (a) Sim; (b) Não. 41 (a) Sim; (b) Não. 4 (a) X = (1, 1, 0) + λ(1,, 1); (b) Há infinitas soluções; (c) Não existe solução. 4. Bissetriz interna: λ R; Bissetriz externa: x = 1 λ y = λ z = 1 x = 1 + λ y = λ z = 1 λ R. 44. x z = (a) (1, 0, 0); (b) (1,, 1). 46. Determinam um tetraedro de volume (a) ( 58 5, 56 5, 1); (b) X = (,, 0) + λ(8, 10, 1); (c) ( 1, 1, 0). 48. ( 1, 4, 4 ).,,

10 49. (,, 0), (1,, 0), (0,, 0), (1, 1, ),(,, ), (0,, ). 50. ( (0, 1, 0), (0, 0, 1),, 1, ) (,,, 1 ). 51. ( 1, 1, 4 ) (, P = 1, 1, ) e Q = ( 5 6, 5 6, 11 ) (, 4, 5) = (, 0, 5) + (0, 4, 0). 5. (b) X = ( 1, 5, 0) + λ(0, 1, 1), λ R; (c) X = (1, 0, 1) + λ ( 1, 4, 4), λ R. 54. (b) π 1 : x y + z = 0 e π : x y + z = 0; (c) 6. Múltipla Escolha: Ex.57 e) Ex.58 a) Ex.59 e) Ex.60 c) Ex.61 c) Ex.6 e) Ex.6 d) Ex.64 c) Ex.65 c) Ex.66 e) Ex.67 c) Ex.68 b)