Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica

Transcrição

1 1 Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e B(2, 10). Resp: 5 2. Determine a distância entre os pontos A(-4, 1) e B(4, 7). Resp: Determine a distância entre os pontos A(3, -2) e B(0, 1). Resp: Determine o valor de x, sabendo que AB = CD, com pontos A(x, 1), B(4, x+3), C(x, x+2) e D(2x, x+6): Resp: x = 2 5. Determine o valor de x, sabendo que AB = CD, com os pontos A(2x, 2), B(8, 2x+6), C(2x, 2x+4) e D(4x, 2x+12): Resp: x= Determine o valor de x, sabendo que AB = 2 CD, com os pontos A(x, 1), B(4, x+3), C(x, x+2) e D(2x, x+6): Resp: x= 4/3 ou x = Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u 2 v + x, sendo dados u = (3, 1) e v = ( 2, 4). Resp: (-7/2, 2). 8. Determinar o centro e raio da circunferência x 2 + y 2 + 6x 6y + 9 = 0 Resp: centro : C =(-3, 3) e Raio: R = 3.

2 2 9. Determinar o centro e raio da circunferência x 2 + y 2 4x + 4y + 4 = 0 Resp: centro : C= (2, -2) e Raio: R = Determinar o centro e raio da circunferência x 2 + y 2 8x + 6y + 9 = 0 Resp: centro : C = (4, -3) e Raio: R = Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos pontos A (4, 9) e B (6, 3): Resp: Com o ponto A: x = 4 + 2t, y = 9 6t ou com o ponto B: x = 6 + 2t, y = 3 6t A equação cartesiana: y = 3 x + 21 ou 3x + y = Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos pontos A (3, 7) e B (5, 2): Resp: Com o ponto A: x = x = 3 + 2t, y = 7 5t ou com o ponto B: x = 5 + 2t, y = 2 5t A equação cartesiana: y = 5 2 x + 29 ou 5x + 2y = Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos pontos A (3, 7) e B (0, 1): Resp: Com o ponto A: x = 3 3t, y = 7 6t ou com o ponto B: x = 3t, y 6t A equação cartesiana: y = 2 x + 1 ou 2x + y. 14. Faça um esboço dos gráficos(cônicas) abaixo: (a) 4x 2 + 9y 2 = 36 (x 1)2 (y + 2)2 (b) (c) 4x 2 9y 2 = 36

3 3 (x 1)2 (d) 9 (e) y 2 = 4x (f) x 2 = 4y (x 3)2 (g) 25 (x 3)2 (h) 25 (i) x y2 49 (y + 2)2 4 (y 2)2 + 9 (y + 2) Uma sala tem 6 m de largura por 8 m de comprimento e 4 m de altura. Estabelecer um sistema e dar as coordenadas dos seguintes pontos: (a) dos oito cantos da sala ; (b) do ponto de interseção das diagonais do piso; (c) de um ponto situado a 2 m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do piso. Resp: (a) 1-(0, 0, 0); 2 -(6, 0, 0); 3 - (6, 8, 0); 4 - (0, 8, 0); 5- (6, 0, 4); 6- (6, 8, 4); 7- (0, 8, 4); 8- (0, 0, 4) (b) (3, 4, 0) (c) P (3, 4, 2) 16. Representar graficamente os seguintes pontos: A (1, 3, 2); B (0, -1, 0); C (0, -3, -5); D (0, 0, 8); E (-2, 0, 1) 17. Descreva e represente graficamente os pontos: A = {(x, y, z) : x = y = 0} Resp: eixo z. B = {(x, y, z) : x = 2 e y = 3} Resp: Reta que contém o ponto (2, 3, 0) e é paralela ao eixo z. C = {(x, y, z) : z } Resp: Plano paralelo a xoy e a uma unidade acima deste.

4 4 D = {(x, y, z) : x = 0} Resp: Plano yoz. 18. Sejam A (0, 0, 1) e B (x, 4, 1). Determine x para que se tenha d (A, B) = 5. Resp: 3 ou Determine o centro e o raio das seguintes esferas: (a) x 2 + y 2 + z 2 2x 4y 2z 0 Resp: C (1, 2, 1) e R = 4 (b) x 2 + y 2 + z 2 + 2y 10z = 27 Resp: C (0, -1, 5) e R = 53 (c) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 2x + 6y = 6 Resp: C (1/2, -3/2, 0) e R = 22/2 (d) x 2 + y 2 + z 2 = 3 Resp: C (0, 0, 0) e R = 3 (e) x 2 + y 2 + z 2 + 2x y Resp: C (-1, 1/2, 0) e R = 3/ Determine uma equação de esfera que : (a) é concêntrica com x 2 + y 2 + z 2 3x + 4y = 0 e contém o ponto (1, 2, 3). Resp: É uma esfera de centro (3/2, - 2, 0) e raio 101/ 4. (b) Contém os pontos (0, 0, 4); (1, 2, 3) e (0, 2, 6) e tem o centro no plano xy. Resp: É uma esfera de centro (- 13, 6, 0) e raio Mostre que o conjunto dos pontos P (x, y, z) tais que d(p, 0) = d(p, A) onde 0 é a origem e A (0, 3, 0), é uma esfera. Determine o centro e o raio desta esfera. Resp: C (0, 4, 1) e R = Determine t para que o ponto (t, t + 1, t + 2) pertença à esfera de centro (0, 1, 2) e raio 12. Resp: ±2 23. Calcular a área do triângulo cujos vértices são A (3, 2, 1); B (0, - 2, 4) e C (4, 1, 2). Resp: u.a

5 5 24. Dados os vetores u = (2, 3, 1); v = (2, 2, 0) e w = (1, 3, 4). Calcule: (a) u.v e v.u Resp: - 2. (b) u v e v u Resp: (- 2, 2, 10) e (2, - 2, - 10). (c) (u v).w e u.(v w) Resp: 32. (d) (u v) w e u (v w) Resp: (38, 18, 4) e (32, 24, 8). (e) (u v) (u w) Resp: (64, - 96, 32). (f) (u + v) (u + w) Resp: (1, - 17, - 21). 7 (g) O ângulo entre u e v. Resp: arccos Calcule a área do trângulo cujos vértices são: (a) A (0, 0, 0); B (2, 3, 0) e C (0, 0, 5) Resp: (b) A (2, - 1, 1); B (2, 1, - 1) e C (0, 3, - 5) Resp: Calcule a área do paralelograma definido pelos vértices u = (2, 3, 1) e v(1, 5, 3). Resp: 7 6 u.a 27. Sejam i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Mostre que: (a) i j = k; (b) j k = i e (c) k i = j 28. Sejam u = (2, 1, 3) e v = (1, 2, 1): (a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u e v. (b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que w = 5. Resp: (a) 1 3 ( 1, 1, 1) (b) 5 3 ( 1, 1, 1) 29. Qual a equação do plano que contém o ponto A (3, 0, - 4) e é perpendicular ao vetor v = (5, 6, 2). Resp: 5x + 6y + 2z = Qual a equação do plano definida pelos pontos A (3, 1, - 2); B (5, 2, 1) e C (2, 0, 2): Resp: Em relação ao ponto A, temos 7x - 11y - z 2.

6 6 31. Quais as equações paramétricas e cartesiana do plano que contém o ponto A (2, 3, - 1) e é paralelo aos vetores u = (3, 4, 2) e v = (2, - 2, 6): Resp:Paramétricas: x = s + 2t; y = s - 2t e z = s + 6t. Cartesiana: Em relação ao ponto A : 2x - y - z = Escrever uma equação do plano que contém o ponto (1, 1, 1) e é perpendicular ao vetor (2, - 1, 8): Resp: 2x - y + 8z = Escrever uma equação do plano definida pelos pontos: (a) A (2, - 1, 3); B (0, 2, 1) e C (1, 3, 2). Resp: x - z + 1 = 0. (b) A (0, 0, 0); B (2, 1, 0) e C (1, 0, 0). Resp: z = 0. (c) A (0, 0, 2); B (1, 2, 2) e C (1, 0, 2). Resp: z = Determine uma reta perpendicular ao iexo z e que contém o ponto (1, 1, 1). Resp: z. 35. Escrever as equações paramétricas da reta definidas pelos pontos (a) A (2, 1, 3); B (1, 3, 7) Resp: x= 2 - t; y + 2t ; z = 3 + 4t. (b) A (0, 0, 0); B (0, 5, 0) Resp: x= 0 ; y= 5 t ; z = 0. (c) A (1, 1, 0); B (2, 2, 0) Resp: x + t; y + t ; z = Escrever as equações paramétricas da reta que contém o ponto A (2, 1, 0) e é perpendicular ao plano 2x - y + z= 0. Resp: x= t; y - t ; z = t.