Comecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y

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1 . Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos: a) a 0 = 1 b) a a... a x vezes = a x c) a x a y = a x+y d) ax a y = ax y e) (a x ) y = a xy f) (ab) x = a x b x g) ( a b) x = a x b x h) a x = 1 a x i) a x/y = y a x Exercício 1. Aplicação de Propriedades das Potências a) 3 b) 3 c) (3 ) 3 d) ( ) 1 e) 3 f) 1/ 3 1/

2 Um investidor decide depositar euros num depósito a prazo(anual), na modalidade de juro composto, em determinado banco. A taxa de juro aplicada é 0, 05. Determine a função que permite calcular o montante que o investidor obtém em função do prazo. Temos, Final do 1 o ano , 05 = (1 + 0, 05) = = , 05 Final do o ano , 05 + ( , 05) 0, 05 = , 05 (1 + 0, 05) = = (1, 05) Final do 3 o ano (1, 05) + ( (1, 05) ) 0, 05 = (1, 05) (1 + 0, 05) = = (1, 05) 3. Final de x anos (1, 05) x Desta forma a função que permite calcular o montante que o investidor obtém em função do prazo é f(x) = (1, 05) x (1)

3 A função (1) pertence a uma importante classe de funções chamadas funções exponenciais. Alguns exemplos simples são: f(x) = x, g(x) = x = 3 x = 9 x, h(x) = ( ) x 1 10 Em geral, qualquer número positivo a 1 pode servir como base de uma função exponencial. Definição 1 Seja a IR + \{1}. A função f : IR IR () x f(x) = a x chama-se função exponencial de base a. Nota: Observemos que a função exponencial é definida através da potência da base fixa e expoente variável. Os exemplos seguintes particulares permitem caracterizar a função exponencial. f : IR IR x f(x) = x g : IR IR x g(x) = x 3

4 Graficamente temos, y g(x) 6 f(x) x Da observação do gráfico podemos concluir que: f(x) = x g(x) = x Domínio IR IR Contradomínio IR + IR + Injectiva Sim Sim Sobrejectiva Não Não Monotonia Crescente Decrescente Intersecção com Eixo dos XX Não tem Não tem Eixo dos Y Y (0, 1) (0, 1) x é muito grande f(x) é muito grande g(x) aproxima-se de 0 x é muito pequeno f(x) aproxima-se de 0 g(x) é muito grande 4

5 Em resumo, podemos definir as seguintes propriedades para a função exponencial: Propriedades da Função Exponencial: Seja f(x) = a x, a IR + \{1} D f = IR, D f = IR+ f é injectiva, não sobrejectiva, não tem zeros O gráfico de f intersecta o eixo dos Y Y em (0, 1) f é estritamente crescente quando a > 1 e estritamente decrescente quando 0 < a < 1 a > 1 = lim f(x) = + x + = lim x f(x) = 0 0 < a < 1 = lim x + f(x) = 0 = lim f(x) = + x O gráfico de f tem uma assímptota horizontal y = 0 5

6 Exemplo 1. a) Esboce o gráfico desta função na máquina de calcular e confirme o resultado obtido analiticamente. b) Calcule o domínio e o contradomínio da função f(x) = 1 3 x. c) Resolva a equação f(x) > 0. Resolução: y f(x) 4 x Exemplo. Determine, em IR, o conjunto solução da equação x 5 x + 4 3x = 0. 6

7 .1.. Função Exponencial Natural Introduzimos as funções exponenciais utilizando uma base genérica a, no entanto iremos dar ênfase especial às funções exponenciais que têm como base o número irracional e, cuja aproximação decimal é e, Definição O número irracional e é definido como o limite lim (1 + x 0 x)1/x = e (3) Na figura seguinte podemos observar o gráfico da função f : IR IR x f(x) = e x y 6 e x x Obviamente, esta função goza de todas as propriedades anteriormente referidas. 7

8 .1.3. Logaritmo de um Número Definição 3 Chamamos logaritmo de um número positivo x na base a, (a IR + \{1}) ao número real y tal que a y = x log a x = y (4) Nota: Quando a = e escrevemos ln x = y e y = x Da definição resulta que: log a a = 1 pois a 1 = a ln e = 1 pois e 1 = e log a 1 = 0 pois a 0 = 1 ln 1 = 0 pois e 0 = 1 ( ) 1 log a = 1 pois a 1 = 1 ( ) 1 ln = 1 pois e 1 = 1 a a e e log a a y = y pois a y = a y ln e y = y pois e y = e y a logax = x pois log a x = log a x e ln x = x pois ln x = ln x Exemplo 3. a) log 16 = 4 pois 4 = 16. b) log 5 5 = pois 5 = 5. c) log 3/ 1 = 0 pois ( ) 0 3 = 1. d) log = pois ( 14) = 14. 8

9 Propriedades dos Logaritmos: Sejam a, b IR + \{1}: 1. log a xy = log a x + log a y. ln xy = ln x + ln y x 3. log a y = log ax log a y 4. ln x = ln x ln yy y 5. log a x n = n log a x 6. ln x n = n ln x Exemplo 4. Supondo x > 0 e y > 0, aplique as propriedades dos logaritmos, cada uma das expressões seguintes: a) ln e b) 4 log 43x c) ln 10 9 d) log 6 x + 1 e) ln xy f) log 5 3 (x + 1) + log 3 (x + ) 3log 3 x g) ln x + ln y h) ln x 6y 3 Resolução: a) ln e = b)4 log 43x = 3x c) ln 10 9 = ln 10 ln 9 d) log 6 x + 1 = log 6 (x + 1) 1/ = 1 ln (x + 1) e) ln xy 5 = ln (xy) ln 5 = ln x + ln y ln 5 9

10 f) ln x 6y 3 = ln x ln 6y 3 = = ln x (ln 6 + ln y 3 ) = = ln x ln 6 3ln y g) ln x + ln y = ln x + ln y = ln xy h) log 3 (x + 1) + log 3 (x + ) 3log 3 x = log 3 (x + 1)(x + ) 3log 3 x = = log 3 (x + 3x + ) log 3 x 3 = = log 3 x + 3x + x 3 Exemplo 5. Resolva as seguintes equações: a) e x = 5 b) ln x = 5 c) e 0,1t = 14 d) 3 + ln x = 7 Resolução: a) e x = 5 x = ln 5 b) ln x = 5 x = e 5 c) e0,1t = 14 3e 0,1t = 4 e 0,1t = 4 3 0, 1t = ln 4 3 t = 10ln

11 d) 3 + ln x = 7 = ln x = 4 l n x = x = e x = ±e.1.4. Função Logarítmica Relembrando o problema exposto na secção.1 como poderemos determinar ao fim de quantos anos o investidor obterá euros? Ora, o que pretendemos é a solução da equação: (1, 05) x = (1, 05) x = x = log 1,05 Como pudemos observar, no exemplo anterior introduzimos uma nova função, a função logarítmica. Definição 4 Chamamos função logaritmo à função tal que log a x = y a y = x (5) Se a = e representamos a função logaritmo por ln x = y e y = x (6) 11

12 Esta definição implica que a função logaritmo e a função exponencial sejam inversas uma da outra isto é: f : IR IR + x f(x) = a x f 1 : IR + IR x f 1 (x) = log a x Como as funções f(x) = a x e g(x) = log a x são inversas uma da outra, os seus gráficos são reflexões um do outro em relação à recta y = x. y 6 y = a x 4 y = x y = log ax x 6 1

13 Propriedades da Função Logarítmica: Seja f(x) = log a x, a IR + \{1} D f = IR +, D f = IR f é injectiva, é sobrejectiva O gráfico de f intersecta o eixo dos XX em (1, 0) f é estritamente crescente quando a > 1 e estritamente decrescente quando 0 < a < 1 a > 1 = lim f(x) = + x + = lim = x 0 +f(x) 0 < a < 1 = lim x + f(x) = 0 = lim = + x 0 +f(x) O gráfico de f tem uma assímptota vertical x = 0 Exemplo 4. Partindo do gráfico de y = ln x, obtenha uma representação gráfica das seguintes funções: a) y = ln x b) y = ln x c) y = ln x d) y = ln ( x) 13

14 y 4 y = ln( x) y = lnx x y = lnx y 4 y = ln x x y 4 y = ln x x 14

15 .1.5. Exercícios 1. Calcule o valor numérico das expressões: ( ) 3 (a) 5(5 3 ) (b) 64 3 (c) 81 1 (d) (e) 5 ( ) 1 ( ) 1 3 (f) (g) (h) (i) (j) Aplique as propriedades dos expoentes para simplificar as expressões: (a) (5 )(5 3 ) (b) ( 5 ) (f) (k) ( 3 3 ) ( ) 3 1 (g) [ (8 1 )(8 3 ) ] 3 (l) ( e 3) 3. Resolva as equações seguintes: (h) 5 3 ( ) 1 (c) 5 6 (d) (e) 5 ( ) ( ) 9 3 (3) 3 3 (i) (8 )(4 3 ) (j) ( 4 6) 1 ( 1 (m) e 0 ) ( e 5 (n) (o) e e ( ) ( ) ) 1 (a) 3 x = 81 (b) ( ) x 1 1 = 7 (c) 4 = (x + ) (d) (x + 3) 4 3 = 16 3 (e) e 3x = e (f) e 1 x = e (g) x 3 = 3 e (h) x = e 4. O preço de um determinado ( produto no ) mercado depende da quantidade disponível e o modelo dado pela 4 função p(x) = e 0.00x. Considere x [0; 800]. (a) Faça um esboço do gráfico da função. p(x) é crescente? E decrescente? (b) Determine o preço unitário do produto quando estão disponíveis 100 e 700 unidades no mercado. (c) Qual o limite do preço se a quantidade aumentar indefinidamente? 5. O preço de um determinado produto no mercado depende da quantidade disponível e o modelo dado pela função p(x) = e 0.004x. Considere x [0; 1500]. (a) Faça um esboço do gráfico da função. p(x) é crescente? E decrescente? (b) Determine o preço unitário do produto quando estão disponíveis 500 e 1500 unidades no mercado. (c) Determine a quantidade máximo de produtos no mercado de modo a que o preço unitário não desça abaixo de A produção V de uma floresta com t anos de idade tem o seguinte modelo matemático: V (t) = 6.7e 48 t. (a) Determine a produção após 0 e 50 anos. (b) Esboce o gráfico deste modelo. (c) A produção tem um limite quando t cresce indefinidamente? Suponha que a função c(t) = t + 1 t traduz a produção necessária no ano t para 1000 pagar todas as despesas de exploração. 15

16 (d) Esboce o gráfico deste modelo (e) Estime qual o ano a partir do qual a produção será suficiente para cobrir as despesas de exploração. (f) Qual o ano em que haverá lucro máximo? 7. Num determinado teste aplicado por uma empresa de recursos humanos, a proporção de respostas certas é modelada pela função P (n) = teste. 0.97, em que n representa o número de tentativas de completar o 1 + e 0.n (a) Esboce o gráfico desta função e diga se ela é crescente ou decrescente. (b) Estime graficamente a proporção de respostas correctas após 8 tentativas. Confirme, analiticamente, esse resultado. (c) Estime o número de tentativas necessário para que a proporção de respostas certas seja superior a 0.9. (d) A proporção de respostas certas tem limite quando n cresce indefinidamente? Justifique. 8. Aplique as propriedades das funções exponencial e logarítmica para simplificar as expressões: (a) log 3 (3 x ) (b) 1 + ln(e x ) (c) e ln( x) (d) 8 + e ln(x3 ) 9. Sabendo que ln() e que ln(3) , utilize propriedades dos logaritmos para calcular valores aproximados de (a) ln(6) (b) ln ( ) 3 (c) ln(81) (d) ln(4) (e) ln( 3 ( ) 1 1) (f) ln Escreva como logaritmo de um único número: (a) ln(x ) ln(x + ) (b) ln(x + 1) + ln(x 1) (c) 1 [ ln(x + 3) + ln(x) ln(x 1) ] 3 (d) ln(3) 1 ln(x + 1) (e) ln(x) + 1 ln(x + 1) (f) 1 ln(x ) + 3 ln(x + ) 11. Resolva as equações seguintes: (a) e x = 0.5 (b) e ln(x) = 4 (c) ln(x) = 4 (d) e x+1 = 4 (e) 500(1.07) x = 1000 (f) e ln(x) 9 = 0 (g) 400(1.06) x = 1300 (h) 45 = e t 1. A população de uma cidade de 1970 a 1990 tem como modelo P (t) = 43000e t, onde t = 0 corresponde a Segundo este modelo, em que ano a população foi de ? 13. Os alunos de uma turma foram submetidos a uma prova no início do ano lectivo e no fim de cada um dos 10 meses seguintes com provas de dificuldade equivalente. A classificação média admite o modelo S(t) = ln(t + 1). 16

17 (a) Esboce o gráfico da função e classifique-a quanto à monotonia. (b) Qual foi a média das classificações na primeira prova? E na prova no final do 4 o mês? (c) Após quantos meses foi ultrapassada a média de 60? 14. Associe cada uma das funções seguintes ao respectivo gráfico: (1) f(x) = 3 x () f(x) = 3 x (3) f(x) = 3 x (4) f(x) = 3 x (5) f(x) = 3 x 1 (6) f(x) = 3 x Um automóvel percorre 5km com um litro de combustível se mantiver uma velocidade média de 60km/h. Os kms percorridos decrescem cerca de 7% por cada 10km/h a mais na média. Sendo s a velocidade e y o número de kms percorridos por litro, um bom modelo para o número de kms percorridos com 1 litro de combustível em função da velocidade média é y = 5e s, s 60. Determine a quantidade de combustível gasta por esse automóvel numa viagem de 150kms às médias de 60km/h, 80km/h e 100km/h. 16. Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever as expressões como uma soma, diferença ou múltiplo de logaritmos. (a) ln ( ) 3 ( ) (b) ln x + 1 (c) ln ( ) 1 e (d) ln ( z(z 1) ) 17

18 17. Aplicam-se 1000 euros numa conta que rende juros à taxa anual de 4%. Qual o tempo necessário para a duplicação desta quantia se o juro é composto (a) anualmente (b) mensalmente (c) diariamente (d) continuamente E se a taxa for 5% em vez dos 4%? 18. Verifique analítica e graficamente que os pares de funções seguintes são equivalentes para x > 0 : (a) ( ) x f(x) = ln 4 g(x) = ln(x) ln(4) ( ) (b) f(x) = ln x (x + 1) g(x) = 1 [ ln(x) + ( x + 1 )] 19. Associe cada uma das funções seguintes ao respectivo gráfico: (1) f(x) = + ln(x) () f(x) = ln(x) (3) f(x) = ln(x + ) (4) f(x) = ln(x 1) 0. Verifique analítica e graficamente que os pares de funções seguintes são equivalentes para x > 0 : (a) f(x) = e x 1 (b) f(x) = e x 3 g(x) = 1 + ln ( x ) g(x) = ln ( x 3) 18