Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.

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1 Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP (segmento orientado) cuja origem é a origem do sistema. Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor v = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. A origem do sistema O(0, 0) representa o vetor nulo. O vetor oposto de v = (x, y) é o vetor v = ( x, y).

2 Igualdade e Operações: Igualdade: Dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2. Exemplos: 1) Os vetores u = (3, 5) e v = (3, 5) são iguais. 2) Se o vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v = (5, 2y 6), de acordo com a definição de igualdade de vetores, x + 1 = 5 e 2y 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim se u = v,então x = 4 e y = 5. Operações: Sejam os vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) e a Є R. Defini-se: a) u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) b) a u = (ax 1, ay 1 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes correspondentes e, para multiplicar um vetor por um número, multiplicase cada componente do vetor por este número. Por exemplo, se u = (4, 1) e v = (2, 6), a figura abaixo mostra que: a) u + v = (4, 1) + (2, 6) = (4 + 2, 1 + 6) = (6, 7)

3 b) 2 u = 2(4, 1) = (2.4, 2.1) = (8, 2) Vetor definido por dois pontos: Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade em B(x 2, y 2 ). De acordo com o que vimos nas propriedades da adição de dois vetores (observação 2), o vetor AB é a diferença entre os vetores OB e OA : e, portanto: AB = OB OA AB = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 )

4 ou: AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) Isto é, as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremidade B e as da origem A. Por exemplo, se A( 1, 3) e B(2, 2), o vetor AB será: AB = B A = (2, 2) ( 1, 3) = (3, 5) É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade P(x 2 x 1, y 2 y 1 ), veja a figura ao lado. vetor v = OP é também chamado vetor posição ou representante natural de AB. Na figura ao lado, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor v = P O = B A = D C = (3, 1). Esta figura deixa claro que o fato de os segmentos orientados ocuparem posições diferentes, é irrelevante. O que importa, é que eles tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo vetor. em O

5 Ponto Médio: Seja o segmento de extremos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) da figura abaixo. Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM = MB ou (x x 1, y y 1 ) = (x 2 x, y 2 y) e daí x x 1 = x 2 x e y y 1 = y 2 y Resolvendo em relação a x e y, temos 1 2x = x x 2 1 e 2y = y y 2 ou x + x y +y x = 1 2 1e 2y = 2 2 Portanto, x + x y +y M, 2 2 Exemplo: O ponto médio do segmento de extremos A( 2, 3) e B(6, 2) é M, ou M 2, 2 2 2

6 Paralelismo de dois Vetores: Vimos que, se dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) são paralelos, existe um número real α tal que u = αv, ou seja, (x 1, y 1 ) = α(x 2, y 2 ) ou (x 1, y 1 ) = (αx 2, αy 2 ) que pela condição de igualdade resulta em x y x 1 = αx 2 e y 1 = αy 2 = ( = α) x y Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. Exemplo: Os vetores u = ( 2, 3) e v = ( 4, 6) são paralelos pois: Observações: 2 3 = 4 6 Considera-se o vetor 0 = (0, 0) paralelo a qualquer vetor Se uma das componentes de um vetor for nula, a correspondente de um vetor paralelo também é nula. 2 2 Módulo de um vetor: Seja o vetor v = (x, y) da figura abaixo. Pelo teorema de Pitágoras, vem v = x +y

7 O módulo do vetor AB da figura abaixo, é a distância entre os pontos A e B e é dado por: AB = d( A,B ) = ( x x ) + ( y y ) Ângulo de Dois Vetores: O ângulo entre dois vetores não-nulos u e v é o ângulo θ formado por duas semi-retas AO e OB de mesma origem O (figura abaixo), onde u = OA, v = OB e 0 θ π (θ em radianos) ou 0 θ 180º. Se u // v e u e v têm o mesmo sentido, então θ = 0. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2 u que têm o mesmo sentido. Se u // v e u e v têm o sentidos contrários, então θ = π. É o caso de u e 3 u (figura abaixo).

8 Exercícios Propostos: 1) Dados os vetores u = (2, 3) e v = ( 1, 4), determinar 3 u + 2 v e 3 u 2 v. 2) Determinar o vetor x na igualdade (3, 1) e v = ( 2, 4). 1 3x + 2u = v + x 2, sendo u = 3) Dados os vetores u = (2, 3); v = (1, 1) e w = ( 2, 1), determinar: a) 2 u v b) v u + 2 w c) 0,5 u 2 v w d) 3 u 0,5 v 0,5 w 4) Dados os vetores u = (3, 1) e v = ( 1,2), determinar o vetor x tal que: a) 4 ( u v x ) + 3 = 2 u x b) 3 x (2 v u ) = 2(4 x 3 u ) 5) Dados os pontos A( 1, 3); B(2, 5); C(3, 1) e O(0, 0), calcular: a) AO AB b) OC BC c) 3BA 4CB 6) Dados os vetores u = (2, 4); v = ( 5, 1) e w = ( 12, 6), determinar a 1 e a 2 tais que: w = a 1 u + a2 v.

9 7) Dados os vetores u = (1, 1); v = ( 3, 4) e w = (8, 6) calcular: a) u b) v c) w d) u + v e) 2 u 2 v f) w 3 u g) h) v v u u 8) Dado o vetor v = (3, 4) determinar seu versor e seu oposto. OBS: versor de um vetor v é o vetor unitário paralelo a v de mesma direção e sentido de v determinado por: Vetor oposto ao vetor v é o vetor paralelo a v determinado por: v v 9) Determinar no eixo Ox um ponto P que seja eqüidistante dos pontos: A ( 1, 2) e B(5, 4). 10) Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, 2) tenha módulo igual a 4. v v 11) Determinar os valores de a para que o vetor u = (a, 2 1 ) seja unitário.

10 12) Dados os pontos A (2, 1) e B( 1,4) e os vetores u = ( 1,3) e v = ( 2, 1) determine: a) u + v b) Distância entre A e B c) Ponto médio de AB