Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2003/04 Geometria 2 - Revisões 11.º Ano

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1 Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática no Lectivo 00/0 Geometria - Revisões º no Nome: Nº: Turma: região do espaço definida, num referencial ortonormado, por + + = é: [] a circunferência de centro (0, 0, ) e raio [] o círculo de centro (0, 0, 0) e raio [] a circunferência de centro (0, 0, ) e raio [] o círculo de centro (0, 0, ) e raio Pelos pontos (, -, ), (, -, ), (-, -, 0) passa (ou passam): [] um e um só plano [] três e só três planos [] uma infinidade de planos [] nenhum plano Num referencial ortonormado, os planos α e β são definidos pelas equações: α: + + = 0 e β: = 0 s planos α e β são: [] coincidentes [] concorrentes não perpendiculares [] estritamente paralelos [] perpendiculares Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial ortonormado, um par de planos perpendiculares [] + = e + = 0 [] + = e + + = [] = e = 0 [] + + = 9 e = 0 5 Num referencial ortonormado, a intersecção das superfícies esféricas definidas pelas equações + + = e + + = 9 é: [] Um ponto [] Uma superfície esférica [] Uma circunferência [] conjunto vaio

2 6 ois planos α e β são estritamente paralelos Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [] Qualquer recta contida em α é paralela a qualquer recta contida em β [] Há rectas contidas em α que intersectam β [] Há rectas perpendiculares a α que não são perpendiculares a β [] ada uma recta contida em α, eistem em β infinitas rectas que lhe são paralelas 7 Na pirâmide de Keops, quadrangular regular, a aresta da base tem dam de comprimento e o ângulo que cada face forma com a base é de 5º Sejam,, e os vértices da base e V o vértice da pirâmide onsidere o referencial ortonormado em que a unidade considerada é 0 metros e indique: V a) s coordenadas do vértice V da pirâmide (utilie uma aproimação a menos de 0,) b) Uma equação cartesiana do plano perpendicular a V e que contém o vértice 5º c) Uma equação vectorial da recta paralela a V e que contém o ponto (, -, 0) d) onsidere a família dos vectores perpendiculares a que têm origem em e norma igual a Que lugar geométrico definem os pontos etremidade destes vectores? aracterie-o por uma condição em,, 8 onsidere, num referencial ortonormado (, e r, e r, e r ), o vector u r = (, 5, 0) a) Indique, justificando, dois vectores que sejam perpendiculares a u r mas que não sejam colineares b) Qual o ângulo de u r com e r? (proimação a menos de 0,0 radianos) c) Escreva uma equação cartesiana do plano α perpendicular a u r e que intersecta o eio no ponto (0,, 0) d) onsidere os planos, β: + + =, γ: = Indique, justificando, qual a posição relativa dos planos α, β e γ 9 No referencial ortonormado está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados perímetro de cada face é, na unidade considerada, igual a 6 G F a) Escreva uma equação cartesiana do plano que contém os pontos, G e F b) efina analiticamente a superfície esférica tangente a todas as faces do cubo c) etermine k, caso eista, de modo que o vector u r = ( k + k, k, ) seja colinear com H d) Sendo M e N os pontos médios das arestas [] e [EF], respectivamente, determine as coordenadas do ponto P [HE] sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado H E (,, 0) 0 No referencial ortonormado, [] é um triângulo rectângulo em contido no plano o Na unidade considerada, = e = 5 a) efina por equações cartesianas a recta b) onsidere que o triângulo [] roda uma volta completa em torno do eio b) efina analiticamente a linha que o ponto descreve no plano na referida rotação b) alcule o volume do sólido gerado pelo triângulo [] na rotação descrita

3 embalagem de um certo gelado é uma superfície esférica Num referencial ortonormado essa superfície tem por equação: + + = a) bordo da tampa da embalagem é uma circunferência que se obtém seccionando a superfície esférica por um plano β, de cota positiva e paralelo a Sabendo que, na unidade considerada, o bordo da tampa tem perímetro igual a π, escreva uma equação do plano β b) Verifique que o ponto (,, 0) pertence à superfície esférica e determine as coordenadas do ponto, de modo que [] seja diâmetro da superfície esférica c) Seja α o plano mediador (perpendicular no ponto médio) do segmento [] etermine k IR de modo que α seja perpendicular ao plano definido por k = d) efina analiticamente o segmento de recta [] Seja α o plano de equação 5 + = + a) efina por uma condição vectorial a recta perpendicular a α e que passa pelo ponto de intersecção de α com o eio b) Para cada número real k a equação k + ( 5k) + = 0 representa um plano π k b) Mostre que qualquer que seja k, π k e α são perpendiculares b) iga, justificando, se eiste k IR tal que π k seja plano mediador do segmento [], sendo a origem do referencial e (, -, ) onsidere, num referencial ortonormado, a superfície esférica de equação + + = 5 superfície esférica está representada na figura junta s pontos, e são pontos dessa superfície ponto tem coordenadas (0,, ) ponto tem coordenadas (0, -, ) ponto é um ponto de cota negativa do eio a) (onsidere todos os triângulos cujos vértices são pontos de intersecção desta superfície esférica com os eios do referencial Escolhido um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por = 0 Indique o resultado em forma de percentagem) b) Mostre que uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto é + = 5 (Note que um plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio no ponto de tangência) c) Justifique que tem coordenadas (0, 0, -5) e determine as coordenadas do ponto de intersecção do plano referido na alínea anterior com a recta d) alcule tg ( ˆ )

4 onsidere, num referencial o n, um cilindro de revolução como o representado na figura junta base inferior do cilindro tem centro na origem do referencial e está contida no plano [] é um diâmetro da base inferior, contido no eio ponto tem coordenadas (0, -5, 0) ponto pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (,, 0) recta r passa no ponto e é paralela ao eio ponto pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro r a) Justifique que a recta é perpendicular à recta b) Escreva uma equação vectorial da recta r c) Justifique que é um vector perpendicular ao plano etermine uma equação deste plano d) esignando por α a amplitude, em radianos, do ângulo, mostre que o volume do cilindro é dado por V ( α ) = 5π tg α, com α 0, (etermine lim V( α) e interprete o resultado obtido) π α 5 onsidere o prisma heagonal regular representado num referencial o n Sabe-se que: os pontos, e pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano o e tem por centro a origem do referencial; os pontos, E, F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano de equação = ; o ponto tem coordenadas (0,, 0) E F G a) Mostre que o ponto tem coordenadas (,, 0) e aproveite este resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas (,, ) b) Mostre que a recta G pode ser definida pela condição + = = c) etermine a intersecção da recta G com o plano que contém a face [FE] do prisma 6 Na figura está representado um cubo, em referencial o n vértice coincide com a origem do referencial vértice R pertence ao semieio positivo vértice P pertence ao semieio positivo vértice S pertence ao semieio positivo abcissa de R é V S U T a) etermine uma equação cartesiana do plano PUV b) Mostre que o raio da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo é e determine uma equação dessa superfície esférica c) alcule a área da região do plano PUV compreendida entre a secção determinada por esse plano, no cubo, e a secção determinada pelo mesmo plano, na superfície esférica referida na alínea anterior R Q P

5 SLUÇÕES a) V (0; 0;,7) b) + tg 5 º + = 0 c) (,, ) = (,,0) + k(,5;,5;,7), k IR d) lugar geométrico é a circunferência de raio unidades, centrada em, assente sobre o plano de equação = 0 Uma condição é: (,5) + ( +,5) + = = 0 a) (,, ) = (0,, 0) + k(5,, ), k IR b) Não eiste qualquer k IR que verifique a condição a) (0%) b) c) (0, -, 5) d) a) + b) (,, ) = (0, 5, 0) + k(0, 0, ), k IR c) + 0 = 0 d) (+ ) 8 a) v r = (0, 0, ) e w r = ( 5,, 0) (pe), pois rr r r vu = wu = 0 b),9 rad c) = 0 d) sistema é impossível e, portanto, os três planos não se intersectam s planos intersectam-se dois a dois segundo rectas paralelas 5 a) b) 6 c) (, -0, ) a) = 0 b) ( ) + ( ) + ( ) = c) π 9 a) + = b) + + ( ) = c) k = d) P (, -, ) Professor 0 a) = 0 + = 0 b) + = 9 = 0 c) π a) = b) (-, -, 0) c) k = d) = = 0 0 5