Equações paramétricas da Reta

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1 39 6.Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P = x, y, z ). Um ponto P = x, pertence a reta r se, e somente se, o vetor seja, P P é paralelo ao vetor V, isto é, se o vetor P P tv ) para algum real t. De ), vem P P é um múltiplo escalar de V, ou P P tv ou P P tv ) ou, em coordenadas Fig. 6. x, x, y, z ) t a, b, c) 3) Qualquer uma das equações ), ) ou 3) é denominada equação vetorial de r. O vetor V é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. Ex.: 6. A reta r que passa por A,,4) e tem direção de V,3,), tem equação vetorial, de acordo com 3): r : x,,,4) t,3,) onde x, representa um ponto qualquer de r. Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t, obtém-se r : x,,,4),3,),,4),3,) 3,,6) e, portanto, P 3,,6) r. De forma análoga, para t, obtém-se o ponto P 5,5,8 ) ; para t 3, obtém-se o ponto P 7,8, 3 ) ; de fevereiro de Alex N. Brasil

2 4 para t, obtém-se o próprio ponto A,,4) e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. A figura 6. mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros. Fig. 6. Equações paramétricas da Reta Da equação vetorial da reta ou ainda pela condição de igualdade, obtém-se x, x, y, z ) t a, b, c) x, x at, y bt, z ct) x y z x y z at bt ct para todo t R 4) As equações são de uma reta r que passa por um ponto P = x, y, z ) e é paralela ao vetor V = a, b, c). As equações 4) são chamadas equações paramétricas da reta r. O vetor V = a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r. O parâmetro t pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto P = x, descreve o movimento de uma partícula em movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade V = a, b, c). Observe que para t =, P = x, = x + a, y + b, z + c), para t =, P = x, = x + a, y + b, z + c) e assim por diante. As equações 4), podem ser reescritas como x, x at, y bt, z ct). Obs.: Não faz sentido dizer que o vetor está contido na reta. Por um lado, a reta é um conjunto de pontos e por outro um vetor não tem posição fixa. Fig. 6.3 reta paralela ao vetor V a, b, c) de fevereiro de Alex N. Brasil

3 4 Ex.: 6. A reta que passa por P =,, 3) e é paralela ao vetor V = 4, 5, - 7) tem equações paramétricas x y z 3 4t 5t 7t para todo t R Equações Simétricas da Reta Se todas componentes do vetor diretor da reta r são não nulos, podemos resolver cada equação em 4) para t e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equações na forma simétrica de r: x x y y z z a b c 5) No exemplo 6.) as equações de r na forma simétrica são: x y z Fig. 6.4 reta que passa pelos pontos x, y, ) P e P x, y, ) z z Ex.: 6.3 Vamos encontrar as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P =, 4, - ) e P = 5,, 7). O vetor P P 5, 4,7 )) 3, 4,8) é paralelo a r e o ponto P =, 4, - ) pertence a r. Portanto, as equações paramétricas de r são x y z 4 3t 4t 8t para todo t R de fevereiro de Alex N. Brasil

4 4 Podemos também encontrar a interseção da reta r com os planos coordenados x yz e xz. A equação do plano xy é z =, do plano yz é x = e do plano xz é y =. Substituindo z = nas equações de r, obtemos t 8, x 9 8 e y 7 ou seja, o ponto de interseção de r com o plano xy é x, = 9/8, 7/, ). De forma análoga, encontramos que x,, 3, 9 3) é o ponto de interseção de r com o plano yz e x, = 5,, 7) é o ponto de interseção de r com o plano xz. Fig. 6.5 reta interseção de dois planos Equação do Plano Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vetor perpendicular a ele e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos. Fig. 6.6 plano perpendicular a N a,b,c) e que passa por P o x o,y o,z o ) Proposição A equação de um plano que passa por um ponto P = x, y, z ) e é perpendicular ao vetor N = a, b, c) é onde d ax by cz ) ax by cz d, 6) A equação 6) é chamada equação geral do plano e o vetor N é chamado vetor normal do plano. de fevereiro de Alex N. Brasil

5 43 Demonstração Um ponto P = x, pertence ao plano se, e somente se, o vetor perpendicular ao vetor N, ou seja, P P for z N P P 7) Como, P P x x, y y, z ), a equação 7) pode ser reescrita como ou seja, a x x ) b y y ) c z z ), ax by cz ax by cz ). Ex.: 6.4 Vamos encontrar a equação do plano que passa pelo ponto P = 3, -, 7) e é perpendicular ao vetor N = 4,, - 5). Da proposição anterior, a equação do plano é da forma ax + by + cz + d =, onde os coeficientes de x, y e z são as componentes do vetor normal, ou seja, a = 4, b = e c = - 5. Assim, a equação de é da forma 4x + y - 5z + d =. Para determinar o coeficiente d, basta usarmos o fato de que P = 3, -, 7) pertence a e um ponto P = x, pertence a se, e somente se, ele satisfaz a sua equação, ou seja, ) d =. De onde tiramos que d = = 5. Finalmente, a equação do plano é 4x + y - 5z + 5 =. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados dois pontos da reta. Analogamente, no espaço, a equação de um plano é determinada se são dados três pontos P, P e P não alinhados. Com os três pontos podemos formar os vetores P P e P P. E o produto vetorial P P P P é perpendicular ao plano, ou seja, é um vetor normal ao plano. Assim, podemos tomar N P P P P. Desta forma temos um ponto do plano e um vetor normal ao plano e aplicamos a técnica do exemplo anterior. A outra é observando que temos três vetores paralelos ao plano: P P x x, y y, z z ), P P e P P. Como vimos anteriormente, os três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é zero, ou seja, x x y y z z P P P P P P ) det x x y y z z, 8) x x y y z z de fevereiro de Alex N. Brasil

6 44 Fig. 6.7 plano que passa por três pontos onde x x, y y, z z ) P P e x x, y y, z z ) P P. Assim, um ponto P x, pertence a um plano e P x, y, ), P x, y, ) e z z P x, y, z ) não colineares) se, e somente se, a equação 8) é verdadeira. Isto pode ser usado para determinar a equação de um plano como mostra o próximo exemplo. Ex.: 6.5 Vamos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P,, ), P,3,) e P 3 3,,). Com os três pontos podemos formar os vetores P P e P. Pela proposição anterior um ponto P x, z ) pertence a se, e somente se, P 3 Mas, P P P P P P ) 3. P P x, y, z )), P,, ), P, 3,3). Então, a equação do plano é P P 3 x det y 3 z 9 x ) y ) 5 z ) 9x y 5z 6. 3 Alternativamente, podemos encontrar a equação do plano da seguinte forma. O vetor N P P P P3 9,, 5) é um vetor normal ao plano. Assim, a equação do plano é da forma 9x y 5z d onde os coeficientes x, y e z são as componentes do vetor N. Para determinar o coeficiente d, vamos usar o fato de que o ponto P,, ) pertence ao plano. Mas, o ponto P pertence a se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equação de, ou seja, 9 5 ) d. De onde tiramos que d Finalmente, a equação do plano é 9x y 5z 6. de fevereiro de Alex N. Brasil

7 45 A equação do plano também é determinada se ao invés de serem dados três pontos, forem dados um ponto P e dois vetores paralelos ao plano, V v, v, ) e v3 W w, w, w3 ), desde que eles sejam não paralelos entre si. Neste caso temos novamente pelo menos duas maneiras de encontrarmos a equação do plano. Uma delas é observando que o vetor N V W é um vetor normal ao plano. A outra é observando que temos três vetores paralelos ao plano: P P x x, y y, z z ), V e W. Como vimos anteriormente, os três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é zero, ou seja, x x y y z z P P V W ) det v v v3. 9) w w w3 Assim, um ponto P x, pertence a um plano que passa pelo ponto P x, y, z ) e é paralelo aos vetores V v, v, v3 ) e W w, w, w3 ) não paralelos) se, e somente se, a equação 9) é verdadeira. Obs.: Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Pois, por um lado, um plano é um conjunto de pontos e por outro, os vetores são livres, podem ser colocados em qualquer ponto. O correto é dizer que um vetor é paralelo a um plano. Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano Seja A x, y, ) um ponto pertencente a um z a, b, c plano e U ) e V a, b, c ) figura 6.8), porém U e V não paralelos. Para todo ponto P do plano, os vetores AP, U e V são coplanares. Um ponto P x, pertence a se, e somente se, existem números reais h e t tais que Fig. 6.8 ou ou, em coordenadas P A hu tv P A hu tv x, x, z ) h a, b, c) t a, b, c ), h, t R ) Esta equação é denominada equação vetorial do plano. Os vetores U e V são vetores diretores de. de fevereiro de Alex N. Brasil

8 46 x y z x y z a h b h c h a b t c t t, h, t R ) Estas equações são chamadas equações paramétricas do plano e, h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros. Fig. 6.9 plano ax d Fig. 6. plano cz d Fig. 6. plano by d Fig. 6. plano ax by d Fig. 6.3 plano ax cz d Fig. 6.4 plano by cz d Fig. 6.5 plano by cz ax Fig. 6.6 plano ax by cz d de fevereiro de Alex N. Brasil

9 47 Ângulos, Distâncias e Posições Relativas Ângulo entre Retas Com duas retas no espaço pode ocorrer um dos seguintes casos: a) As retas se interceptam em um ponto; b) As retas são paralelas ou coincidentes); c) As retas são reversas, ou seja, não são paralelas mas também não se interceptam. Fig. 6.7 ângulo entre duas retas reversas r e r Se as retas se interceptam, então elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos. Se as retas r e r são reversas, então por um ponto P de r passa uma reta r ' que é paralela a r. O ângulo entre r e r é definido como sendo o ângulo entre r e r ' figura 6.7). Se as retas são paralelas o ângulo entre elas é igual a zero. Em qualquer dos casos, se V e V são vetores paralelos a r e r respectivamente, então o cosseno do ângulo entre elas é onde é o ângulo entre V e V. cosr, r ) = cos, Lembrando que da definição de produto escalar, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, ou seja, V V cos V V, com. ) Proposição Sejam duas retas r : x y z x y z ta tb tc x x ta r : y y tb para todo t R. z z tc O cosseno do ângulo entre r e r é cos r, r V V ) cos, V V onde V a, b, ) e V a, b, ). c c de fevereiro de Alex N. Brasil

10 48 Ex.: 6.6 Encontrar o ângulo entre a reta e a reta x y z r : x y z x t r : y t para qualquer t R. z 3t Vamos encontrar vetores paralelos a estas retas. A reta r é dada como a interseção de pois planos, portanto o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos é paralelo a r. N =,, - ), N =, -, ), i j k V N N det i j k k j i, 3, 3) é paralelo a r e V =, -, 3) é paralelo a r. Assim, V V 3) ) 3) 3 6 cos r, r ) V V 3) 3) ) Portanto, o ângulo entre r e r é arccos 7 67º. Ângulo entre Planos Dois planos e ou são paralelos ou se cortam segundo uma reta. Caso eles sejam paralelos, os vetores normais N = a, b, c ) e N = a, b, c ) de e respectivamente, são paralelos, portanto um é um múltiplo escalar do outro. Caso os planos não sejam paralelos, o ângulo entre eles é definido como o ângulo entre duas retas perpendiculares a eles, ou seja, é o ângulo positivo cujo cosseno é, cos cos, onde é o ângulo entre os vetores normais N = a, b, c ) e N = a, b, c ) de e, respectivamente figura 6.8). de fevereiro de Alex N. Brasil

11 49 Portanto, o cosseno do ângulo entre e é prova o resultado seguinte. N N cos, ). O que N N Proposição Sejam dois planos : : a x a x b y b y c z c z d d,. O cosseno do ângulo entre e é N N cos ) com N N onde N = a, b, c ) e N = a, b, c ) são os vetores normais de e, respectivamente. Fig. 6.8 ângulo entre dois planos Obs.: Chama-se ângulo entre dois planos e o menor ângulo que um vetor normal a forma com um vetor normal. Ex.: 6.7 Determinar o ângulo entre os planos cujas equações são : : x x y y z z Os vetores normais a estes planos são os vetores cujas componentes são os coeficientes de x, y e z nas equações dos planos, ou seja, N =,, ) e N =, -, - ). Assim, o cosseno do ângulo entre e é N N cos ) N N ) ) ) ) Portanto, o ângulo entre eles é arccos 7º. 3 de fevereiro de Alex N. Brasil

12 5 Distância entre Dois Pontos Dados os pontos P x, y, ) e P x, y, ), a distância d entre eles é P P. z z Como tem-se P P P z P x x, y z ) dist P, P ) x x) y y) z 3) Ex.: 6.8 Calcular a distância entre P,,3) e P,,5 ). Como P P P P,,5 3),,) De acordo com 3) tem-se dist P, P ) ) ) ) 9 3u.c. unidades de comprimento) Distância de Um Ponto a Um Plano Sejam P = x, y, z ) um ponto qualquer e : ax + by + cz + d = um plano. A distância de P a é definida como sendo a distância de P até o ponto de mais próximo de P. Dado um ponto P = x, y, z ) de, podemos decompor o vetor P P em duas parcelas, uma na direção do vetor normal de, N = a, b, c) e outra perpendicular a ele. A componente na direção do vetor N é a projeção ortogonal de P P em N. Como vemos na figura 6.9, a distância de P a é igual a norma da projeção, ou seja, dist P, ) proj P P. N Mas, pela proposição vista no capítulo anterior, temos que proj N P P P P N N N P P N. N Fig. 6.9 distância de um ponto P a um plano O que prova o resultado seguinte. de fevereiro de Alex N. Brasil

13 5 Proposição Sejam P = x, y, z ) um ponto qualquer e : ax + by + cz + d = um plano. A distância de P a é dist P, ) proj N P P N P P N ax dist P, ) by cz d onde N = a, b, c) e P = x, y, z ) é a b c um ponto de isto é, um ponto que satisfaz a equação de ). Observemos que a expressão ax by cz d se obtém substituindo x, y e z no primeiro membro da equação geral de pelas coordenadas do ponto P. Ex.: 6.9 Calcular a distância do ponto P 4,, 3) ao plano : x 3y 6z 3. 4) 3) 6 3) dist P, ) 3 6) Distância de Um Ponto a Uma Reta Sejam P = x, y, z ) um ponto qualquer e r uma reta. A distância de P a r é definida como a distância de P ao ponto de r mais próximo de P. Dado um ponto qualquer P = x, y, z ) de r podemos decompor o vetor P P em duas parcelas, uma na direção do vetor diretor V de r e outra perpendicular a ele. A componente na direção do vetor V é a projeção ortogonal de P em V. Como vemos na figura 6., P P P V dist P, r) V Fig. 6. distância de um ponto P a uma reta r de fevereiro de Alex N. Brasil

14 5 Proposição Sejam P = x, y, z ) um ponto qualquer e r x x ta : y y tb para todo t R z z tc uma reta. A distância de P a r é P P V dist P, r) V onde V = a, b, c) é um vetor diretor e P = x, y, z ) é um ponto da reta r. Ex.: 6. Calcular a distância do ponto P =, -, ) à reta r x t : y t para todo t R z 3t Um vetor diretor da reta r é V =, -, - 3) e um ponto de r é P =,, ). Assim, P = -, - -, - ) =, -, ), P P V = 3,, ), P Portanto, P P V 3 e V 4. P P V 3 dist P, r). V 4 Distância entre Dois Planos Sejam dois planos e quaisquer. A distância entre e é definida como a menor distância entre dois pontos, um de e outro de. Se os seus vetores normais não são paralelos, então os planos são concorrentes e neste caso a distância entre eles é zero. Se os seus vetores normais são paralelos, então os planos são paralelos ou coincidentes) e a distância entre e é igual a distância entre um ponto Fig. 6. distância entre dois planos de fevereiro de Alex N. Brasil

15 53 de um deles, por exemplo P de, e o ponto de, mais próximo de P figura 6.). Mas, esta distância é igual a distância de P a. Vamos ver isto em um exemplo. Ex.: 6. Os planos : x + y - z - 3 = e : x + 4y - 4z - 7 = são paralelos, pois os seus vetores normais N =,, - ) e N =, 4, - 4) são paralelos um é múltiplo escalar do outro). Vamos encontrar a distância entre eles. Vamos encontrar dois pontos quaisquer de cada um deles. Fazendo z = e y = em ambas as equações obtemos x = 3 e x = 7/. Assim, P = 3,, ) pertence a e P = 7/,, ) pertence a. Portanto, temos que P P N dist, ) dist, P ) proj N P P N 7 3,, ),, ) ) ). ) 9 6 Distância entre Duas Retas Sejam r e r duas retas quaisquer. A distância entre r e r é definida como a menor distância entre dois pontos, um de r e outro de r. Para calcular a distância entre duas retas, vamos dividir em dois casos: a) Se os vetores diretores são paralelos, então as retas r e r são paralelas ou coincidentes). Neste caso, a distância entre elas é igual a distância entre um ponto de r e a reta r, ou vice-versa, entre um ponto de r e a reta r figura 6.). Assim, temos que dist r, r Fig. 6. distância entre duas retas paralelas P P V ) dist P, r ), V onde P e P são pontos de r e r e V e V são vetores diretores de r e r, respectivamente. de fevereiro de Alex N. Brasil

16 54 b) Se os vetores diretores não são paralelos, então elas são reversas ou concorrentes. Os dois casos podem ser resolvidos da mesma forma. Estas retas definem dois planos paralelos que podem ser coincidentes, no caso em que elas são concorrentes). Um é o plano que contém r e é paralelo a r, vamos chamá-lo de. O outro, contém r e é paralelo a r,. O Fig. 6.3 distância entre duas retas reversas vetor N = V x V, é normal ou perpendicular) a ambos os planos, onde V e V são os vetores diretores de r e r respectivamente. Assim, a distância entre as retas é igual a distância entre estes dois planos figura 6.3), ou seja, dist r, r P P N P P V V ) ) dist, ) dist, P ) N V V onde P e P são pontos de r e r e V e V são vetores diretores de r e r, respectivamente. Observe que se as retas são concorrentes a distância entre elas é zero, pois os vetores P P, V e V são coplanares e P. V x V ) =. P Ex.: 6. Vamos determinar a distância entre as retas e x y z r :. 4 6 x t r : y t para todo t R. z 3t As retas são paralelas, pois seus vetores diretores V = 4, -, - 6) e V =, -, - 3) exemplo 6.) são paralelos um é um múltiplo escalar do outro, ou ainda as componentes correspondentes são proporcionais). Além disso, o ponto P =, -, ) pertence à reta r. Como dissemos acima, a distância de r a r é igual à distância entre um ponto de r e a reta r figura 6.). Assim, temos que P P V 3 dist r, r ) dist r, P ). V 4 As contas são as mesmas do exemplo 6.. de fevereiro de Alex N. Brasil

17 55 Ex.: 6.3 Determinar a distância entre as retas e x y r : z. 3 x t r : y t para todo t R. z t As retas r e r são paralelas aos vetores V = 3,, ) e V =,, - ) e passam pelos pontos P = -,, ) e P =,, ), respectivamente. As retas não são paralelas, pois seus vetores diretores não são paralelos observe que a ª componente de V é 3 vezes a ª componente de V, mas as ª's componentes são iguais). Logo, P = - - ), -, - ) =, -, ). P Um vetor perpendicular a ambas as retas é N = V x V = - 4, 4, 4). Este vetor é normal aos planos que contém r e é paralelo a r ) e que contém r e é paralelo a r ) veja afigura 6.3). Assim, dist r, r ) dist, ) dist, P P P N 4) ) ) N 4) Exercícios Numéricos. Dado o ponto A =, 3, -4) e o vetor v =, -, 3), pede-se: a) Encontrar a equação vetorial da reta r que passa por A e tem a direção de v ; b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = e t = 4, respectivamente; c) Determinar o ponto r cuja abscissa é 4; d) Verificar se os pontos D = 4, -, ) e E = 5, -4, 3) pertencem a r; e) Determinar para que valores de m e n o ponto F = m, 5, n) pertence a r; f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G = 5,, -4) e é paralela a r; g) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y. R.: a) x,,3, 4) t,,3) ; b) B 3,, ), C 6, 5,8) r; c) 4,,) ; d) D r e E r; e) m, n 7 ; f) x 5 t s : y t ; g) z 4 3t x t : y 3 t. z 4 de fevereiro de Alex N. Brasil

18 56. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A = 3, -, -) e B =,, 4). R.: r: x 3 t y 3t z 6t 3. Os vértices de um triângulo são os pontos A,,3 ), B,,4 ) e C 3,, ). Obter as equações vetoriais dos lados AB e AC, e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B. R.: x 3t AB : y z 3 t AC x 4t : y t, z 3 4t x t r : y t z 4 3t 4. Calcular o ângulo entre as retas r : x 3 t y t z t e r : x y 3 z R.: rad 6º 3 5. Obter uma equação geral do plano que passa pelo ponto A,,3) N 3,, 4) como um vetor normal. e tem R.: 3x y 4z 8 x 5 3t 6. A reta r : y 4 t é ortogonal ao plano que passa pelo ponto A =,, -). z t Determinar a equação geral do plano e representá-lo graficamente. R.: 3x y z 6 7. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q =,, ) e é perpendicular ao plano x y z R.: x,,,) t,,) 8. Determinar o ângulo entre os planos : x y z 3 e : x y 4. R.: rad 3º 6 de fevereiro de Alex N. Brasil

19 57 Exercícios usando o MATLAB >> V=[v,v,v3] cria um vetor V, usando as componentes numéricas v, v, v3. Por exemplo >> V=[,,3] cria o vetor V =,, 3); >> V+W é a soma de V e W; >> V-W é a diferença V menos W; >> num*v é o produto do vetor V pelo escalar num; >> subsexpr,x,num,) substitui x por num na expressão expr; >> solveexpr) determina a solução da equação expr=; >> box desenha uma caixa em volta de uma figura. Comandos do pacote GAAL: >> nov) calcula a norma do vetor V. >> pev,w) calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W. >> pvv,w) calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W. Comandos gráficos do pacote GAAL: >> linp,v) desenha a reta que passa por P com direção V. >> linp,v,p,v) desenha retas que passam por P, P, direções V, V. >> planp,n) desenha o plano que passa por P com normal N. >> planp,n,p,n) desenha planos que passam por P, P, normais N, N. >> planp,n,p,n,p3,n3) desenha planos que passam por P, P e P3 com normais N, N e N3. >> poplanp,p,n) desenha ponto P e plano passando por P com normal N. >> polinep,p,v) desenha ponto P e reta passando por P com direção V. >> lineplanp,v,p,n) desenha reta passando por P com direção V e plano passando por P com normal N. >> axiss reescala os eixos com a mesma escala. >> rota faz uma rotação em torno do eixo z. Observação Importante: Digite no prompt demog, sem a vírgula!). Esta função demonstra as funções gráficas para visualização de retas e planos. de fevereiro de Alex N. Brasil