Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica

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1 Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica

2 Arcos e Ângulos Quando em uma corrida de motocicleta um piloto faz uma curva, geralmente, o traçado descrito pela moto corresponde a um arco de um circunferência. Vamos estudar, a partir de agora, o que são arcos na circunferência e também como representar as suas medidas.

3 Medida de arco na circunferência Dada uma circunferência, se considerarmos dois pontos A e B em seu traçado, teremos definidos dois arcos indicados por Nessa indicação, convencionamos assinalar os arcos no sentido anti-horário. Essa convenção será predominante em nosso estudo.

4 Medida de arco na circunferência Preste atenção: Se os pontos A e B coincidirem, temos uma arco de uma volta ou um arco nulo. Conceito: Arco de circunferência é cada uma das partes em que esta fica dividida por dois de seus pontos.

5 Ângulo Central Todo ângulo coplanar com uma circunferência C, cujo o vértice O é o centro de C, é denominado ângulo central relativo a C. Assim, a todo ângulo central corresponde um arco e, reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central. A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Não confunda a medida de um arco com o comprimento deste. O comprimento de um arco é a sua media linear e é expresso em centímetros, decímetros, metros, etc. Já para medir um arco, as unidades mais utilizadas são o grau e o radiano.

6 Ângulo Central

7 Grau É a unidade derivada de um dos mais antigos sistemas de unidades de que se tem registro o sistema sexagesimal, criado pelos babilônicos em trono de 4000 a.c.. O grau é definido dividindose uma circunferência em 360 partes iguais entre si. Cada uma dessa partes, equivalentes a 1/360 da circunferência, corresponde a um arco de um grau e é representada por 1º.

8 Grau Para você fazer p. 24 Represente, nas circunferência a seguir, os arcos com as medidas solicitadas e com origem no ponto A:

9 Grau O grau apresenta dois submúltiplos, denominados minutos e segundo. Um minuto corresponde a 1/60 do grau e á representado por 1. Um segundo corresponde a 1/60 do minuto e é representado por 1 Assim, 1º = 60 e 1 = 60

10 Radiano Observe o arco AB na circunferência, cujo comprimento é igual a medida do raio desta: Dizemos que a medida do arco AB ou do ângulo central BOA é igual a 1 radiano e é representado por 1 rad. Assim, um arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência mede 1 radiano. Para transformar em radianos a medida de um arco expressa em graus, ou vice-versa, basta escrevermos uma proporção entre as medidas da circunferência e do arco correspondentes.

11 Radiano Para você fazer p. 25 a)comprimento Medida do Arco R rad 2πR α Rα = 2πR α = 2πR R α = 2π rad b) c)medida do arco Comprimento 360º π.9 200º L 360º.L= 200.2π.9 L = 10π cm 2πα = 360 α = = 360º ,14 α α 57,9º 2πrad 180 = π π rad

12 Radiano Para você fazer p. 25 2) 360º πrad 120º α 360º. α = 240π α = 2π rad 3 3) 360º πrad 5π α π 2πα = 360º. 2πα = 90.5π 4 450π α = α = 225º 2π 4) 22º30' 360º 22,5º = 22º + 0,5º = 22,5º πrad α 360º α = 22,5º. 2π 360º α = 360º π α = α = rad 45π 8 45π

13 Resolução de Atividades Páginas 25

14 Circunferência Trigonométrica Considere, no plano cartesiano, uma circunferência com centro na origem, ou seja, no ponto (0,0) e com raio unitário (R=1). A circunferência anterior é chamada é chamada circunferência trigonométrica, na qual se convenciona que: y O x

15 Circunferência Trigonométrica O ponto A de coordenadas (1;0) é a origem dos arcos; O sentido anti-horário é positivo, ou seja, arcos medidos nesse sentido são positivos, enquanto arcos medidos no sentido horário são negativos; Os eixos coordenados dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas de quadrantes, contados de I a IV no sentido anti-horário. II III I IV + A (1;0)

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17 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 26 B(0 ; 1) C(-1 ; 0) D( 0 ; -1) π a)0º < x< 90º ou 0< x < 2 π b)90º < x< 180º ou < x < π 2 3π c)180º < x< 270º ou π < x < 2 3π d)270º < x< 360º ou < x < 2π 2

18 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 26 A extremidade do arco de 120º pertence ao segundo quadrante. 4π A extremidade do arco de rad 3 pertence ao terceiro quadrante. A extremidade do arco de 300º pertence ao quarto quadrante. = 240º

19 Circunferência Trigonométrica Na Geometria, um ângulo maior que 360º não tem significado. Porém, na Trigonometria, um ângulo maior que 360º indicará um número de voltas. Por exemplo, o arco de 780º corresponde a duas voltas completas e mais 60º, pois:

20 Circunferência Trigonométrica Observe que os arcos de 60º e 780º têm a mesma extremidade na circunferência trigonométrica. Dizemos, então que esses arcos são côngruos. Existem infinitos arcos congruentes ao arco de 60º, pois sempre que percorremos um número inteiro de voltas a partir deste, obtemos arcos com a mesma extremidade. Observe alguns exemplos: 60º + 360º. 1 = 420º 60º + 360º. 2 = 780º 60º + 360º. 3 = 1140º 60º + 360º. (-1) = -300º 60º + 360º. (-2) = -660º Um expressão que generaliza todos os arcos côngruos ao arco de 60º é x = 60º + 360º.k, onde k é um número inteiro.

21 Circunferência Trigonométrica O arco de 60º é chamado primeira determinação positiva (para k = 0) O arco de -300º é chamado primeira determinação negativa (para k = -1) Se a medida do arco α estiver expressa em radianos, os infinitos arcos côngruos a esses arcos são dados por: x = α + 2π.k, onde k é um número inteiro.

22 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 27 Assim, 480º = º + 120º Portanto, a expressão geral de todos os arcos côngruos a 480º é x = 120º + 360º. k (k inteiro) 19π 18π π = π = 3 voltas Assim, a expressão geral de todos os arcos côngruos a 19π é 3 x = π + 3 2π.k

23 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 27 Assim, 1160º = º + 80º Portanto, os arcos são côngruos 19π 12π 7π = π π Assim, como, os arcos não 6 6 são côngruos. Assim, como 345º 115º, os arcos não são côngruos. 16π 12π 4π = Assim, 16 π 4 = 2.2π + π,os arcos 3 3 são côngruos.

24 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 27 e) Estabeleça uma relação entre dois arcos congruentes quaisquer. 1160º- 80º = 1080º Assim, 80º e 1160º são côngruos, pois = º π 19π Enquanto e não são côngruos, π π 18 π pois = =3 π que não é múltiplo de 2

25 Resolução de Atividades Páginas 27/28

26 Circunferência Trigonométrica Anteriormente, estudamos as razões seno e cosseno no triângulo retângulo, em que só era possível trabalhar com ângulos agudos, ou seja, menores que 90º ou π/2 rad. Vamos agora ampliar essas ideias para a circunferência trigonométrica. Para isso, considere a circunferência trigonométrica e um arco AP cuja medida éα. No triângulo retângulo OPP', temos que : PP' PP' senα = = = PP' = OP" OP 1 OP' OP' senα = = = OP' OP 1

27 Circunferência Trigonométrica Conceito Em uma circunferência trigonométrica, definise seno do arco de medida α (representa-se por senα) como sendo a ordenada do ponto P e cosseno de arco de medida α (representa-se por cos α) a abscissa do ponto P.

28 Circunferência Trigonométrica Essa definição tem a vantagem de não restringir as razões para arcos com medidas menores que 90º. Observe o que ocorre no segundo, terceiro e quarto quadrantes: Além dos já conhecidos arcos notáveis de medidas 30º, 45º e 60º, existem valores importantes na circunferência trigonométrica.

29 Circunferência Trigonométrica

30 Circunferência Trigonométrica Lembrando que os pontos A, B, C e D são extremidades de arcos de medidas 0º (ou 360º), 90º, 180º e 270º respectivamente, temos que: π sen90º = sen = 1 2 π cos 90º = cos = 0 2 sen180º = senπ = 0 cos180º = cosπ = 1 3π sen270º = sen = 1 2 3π cos 270º = cos = 0 2 sen360º = sen2π = 0 cos 360º = cos2π = 1

31 Tabela Trigonométrica

32 Para você fazer p. 29 sen(450º) 7π cos = 2 = sen(90º) = 1 3π cos = 2 0

33 Redução ao primeiro quadrante Qual é o valor do seno e do cosseno de 120º Observe que ordenada do ponto P é igual à ordenada do ponto Q, enquanto a abscissa de P é oposto da abscissa de Q. Assim, podemos escrever que sen120º = sen 60º e cos 120º = - cos 60º. Genericamente, podemos escrever que : sen cos ( sen 180º - x) = sen( x) ( cos180º x) = cos( x) Para o arco x medido em radianos, temos sen(π x) = sen cos(π x) = cos ( x) ( x)

34 Para você fazer p. 30 V W sen210º = sen30º = cos 210º = cos 30º = sen315º = sen45º = cos 315º = cos 45º =

35 Ciclo trigonométrico

36 Para você fazer p. 30 Se um arco x pertence ao terceiro quadrante : sen cos ( x) = sen( x 180º ) ( x) = cos( x 180º ) Se um arco x pertence ao quarto quadrante : sen cos ( x) = sen( 360º x) ( x) = cos( 360º x) Para o arco x medido em radianos, basta substituir 180º por π e 360º por 2π

37 Para você fazer p. 30 Q P Assim, sen (-30º) = - sen (30º) cos (-30º) = - cos (30º) Mesmo sem mencionar os fatos de que as funções seno e cosseno são respectivamente, ímpar e par, é importante enfatizar a ideia de que qualquer que seja a medida do arco, são Verdadeiras as igualdades sen (-x) = - sen (x) cos (-x) = - cos (x)

38 Para você fazer p. 30 E E E E = = sen( 330º ) 2.cos( 240º ) ( sen30º ) 2. ( cos 60º ) 1 = = E= 1 2

39 Resolução de Atividades Página 29 e 30