Ensinando a trigonometria através de materiais concretos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SEMANA DA MATEMÁTICA 2014 Ensinando a trigonometria através de materiais concretos PIBID MATEMÁTICA 2009 CURITIBA 2014

2 Introdução Segundo as Diretrizes Curriculares Escolar (DCE 0000 p.54) através datrigonometria que integra o Conteúdo Estruturante Grandezas e Medidas, é pretendido contemplar as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo, relações essas desenvolvidas a partir da necessidade do homem de determinar, por exemplo, distancias inacessíveis. Após observações foi possível detectar a existência de diversas definições de ângulos e radianos presentes nos livros didáticos, tal divergência, dificulta a compreensão desse conceito tanto para alunos como para professores. Surge, portanto questões como: O que é radiano? Porque o seu uso é necessário? Esses e outros questionamentos acabam sendo omitidos a fim de facilitar e agilizar o trabalho tanto daqueles que ensinam, quanto daqueles que aprendem, embora acabe por acarretar uma série de problemas subsequentes. Esses conflitos começam a se destacar à medida que os conteúdos avançam. Notamos que, assim como nós, a maioria dos alunos, e até mesmo alguns professores, confundem o conceito radiano com um mero algoritmo de conversão para graus. Portanto, o primeiro objetivo deste projeto é apresentar o conceito do radiano de forma significativa e em seguida realizar uma proposta de atividades para a construção das funções trigonométricas através de materiais concretos, destacando a importância do Radiano como a unidade de medida angular pertinente à definição das funções reais circulares. Para tanto, vemos no material concreto uma ferramenta capaz de ilustrar e auxiliar na construção desse conhecimento, levando o aluno a um aprimoramento e amadurecimento teórico. SESSÃO 1 Ao pesquisarmos em livros didáticos a definição de radiano é possível encontrar, pelo menos, duas abordagens diferentes: 1) RADIANO: Define-se como 1 radiano o angulo central de uma circunferência quando este esta subentendido ao arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência

3 Pode-se, então, estabelecer a seguinte relação: MEDIDA DO ARCO COMPRIMENTO DO ARCO 1 RAD r X 2πr Logo podemos afirmar que uma circunferência tem um total de 2π radianos. 2) RADIANO Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência no qual está contido. Uma circunferência de raio = 1 possui como medida 2 π radianos ( 2π rad).

4 SESSÃO 2 PARA CONSTRUIR O CÍRCULO VOCÊ IRÁ PRECISAR DE: - 3 círculos de cores e tamanhos diferentes. - 1 régua. - 1 compasso. -1 transferidor. -1 barbante. - Lápis, caneta e/ou canetinha. - 1 borracha. CONSTRUÇÃO: 1 Passo) Recorte três círculos com diferentes tamanhos,ou seja, a medida do raio do segundo círculo será maior que a do primeiro círculo. O mesmo para o terceiro círculo. 2 Passo) Trace o raio de cada um dos círculos. 3 Passo) Medir com o barbante o tamanho do raio e coloca-lo sobre o círculo, como mostra a figura. 5 Passo) Marcar com o lápis a medida encontrada e com o transferidor encontrar o ângulo correspondente a esse arco. 6 Passo) Repetir esse procedimento nos outros dois círculos. OBJETIVO O objetivo desse procedimento é de que o aluno possa construir a medida de radiano e observar o que acontece quando a medida do raio aumenta. Assim, pode concluir que não importa a medida do raio a ser utilizado o ângulo será sempre o mesmo. SESSÃO 3 Circunferência trigonométrica ou circulo trigonométrico

5 - Circunferência trigonométrica Uma circunferência orientada de raio unitário (r=1), sobre a qual um ponto A é a origem de medida de todos os arcos contidos, é uma circunferência trigonométrica. Vamos considerar uma circunferência trigonométrica cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A (1,0) que é a origem de todos os arcos como mostra a figura a seguir Os eixos Ox e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de mesma medida (90º ou ), numerados no sentido anti-horario, como vemos na figura. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas no sentido anti-horário. - Arcos trigonométricos Todo arco orientado cuja origem coincide com a origem da circunferência trigonométrica que o contem, chamaremos de arco trigonométrico. Os arcos trigonométricos podem ser: Positivos, quando marcados no sentido anti-horário; Negativos, quando marcados no sentido horário Maiores que 360º ou 2 rad, quando tem mais de uma volta Observe a figura abaixo em que temos um arco de origem A e extremidade E. Ele pode assumir infinitos valores, dependendo do numero de voltas no sentido anti-horário ou no sentido horário. Sendo m(ae) = 20º, temos: º = -340º = 20º = 380º = 740º... (20º coincidem com 380º...) Quando medidos em graus, esses arcos podem ser representados algebricamente pela expressão

6 = + 360º. Z Sendo a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico (0 <360º)e k o numero de voltas. Quando medidos em radianos, os arcos trigonométricos são representados por: - Função Seno = + 2 Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(ap) = x rad, dizemos que seno do arco x é a ordenada OP, do ponto P sen x = OP Chamamos de função seno a função f:r R que, a cada numero real x, associa o seno desse numero: f:r R, f(x) = sen x O domínio dessa função é R e a imagem é [-1,1] visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 senx 1, ou seja D (sen x) = R e Im(sen x) = [-1,1] - Sinal da função Como sen x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x é positiva no 1º e 2º quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3º e 4º quadrantes

7 (ordenada negativa) - Função Cosseno Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(ap) = x rad, dizemos que cosseno do arco x é a abcissa O do ponto P cos x = OP Chamamos de função cosseno a função f:r R que, a cada numero real x, associa o cosseno desse numero: f:r R, f(x) = cos x O domínio dessa função é R e a imagem é [-1,1] visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 cos x 1, ou seja D (cos x) = R e Im(cos x) = [-1,1] - Sinal da função Como cos x é a abcissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1º e 4º quadrantes (abcissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 2º e 4º quadrantes (abcissa negativa) SESSÃO 4 CONSTRUÇÃO DO MATERIAL DE APOIO PARA GRÁFICOS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

8 Você irá precisar de: - 1 Folha milimetrada. - 1 Barbante. - Lápis, caneta e/ou canetinha. - 1 Borracha. - 1 Tachinha ou fita adesiva. - 1 Régua. - 1 Transferidor. - 1 Compasso. CONSTRUÇÃO 1 Passo) No papel milimetrado você irá traçar um círculo e um par de eixos x e y, como mostra a figura: 3 Passo) Fixe o barbante no ponto zero da circunferência. 4 Passo) Com o auxílio do transferidor marque os ângulos de 30, 45,60,90, 180, 270 e Passo) Meça o tamanho do arco de cada um desses ângulos com o barbante e a seguir transfira-o para o eixo das abscissas. (Sugestão: você poderá acrescentar outros pontos). Observação: A sua construção deverá ficar igual à figura a seguir.

9 6 Passo) Após transferidos os pontos, terá que traçar uma reta perpendicular no ponto A paralela ao eixo y. Em seguida, trace uma reta paralela ao eixo x no ponto A 1. Por fim, marque o ponto na interseção dessas duas novas retas, assim obterá seu primeiro ponto do gráfico. 7 e último passo) Repita esse mesmo processo para os outros pontos.