Exemplos: sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72, Calcular o valor de x em cada figura:
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- Martín Pereira Cabreira
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1 REVISÃO RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE DO CICLO TRIGONOMÉTRICO TURMA: ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO PROF. LUCAS FACTOR Trigonometria no Triangulo Retângulo Considere o triangulo retângulo abaio: Definimos seno (sen) de um ângulo, cosseno (cos) de um ângulo, tangente (tg) de um ângulo,cotangente (cotg) de um ângulo, secante(sec) de um ângulo e cossecante (cossec) de um ângulo, como : CatetoOposto CO sen( ) Hipotenusa H CatetoAdja cente CA cos( ) Hipotenusa H CatetoOposto CO tg( ) CatetoAdja cente CA CatetoAdja cente CA cot g( ) CatetoOposto CO Hipotenusa H sec( ) CatetoAdja cente CA Hipotenusa H cos sec( ) CatetoOposto CO Eemplos: Sabemos que sen(6º)=0.8, cos(6º)=0.80 e tg(6º)=0.7, Calcular o valor de em cada figura: a) sen( 6 ) 0,8 0 0,8cm b) cos( 6 ) 0,80 4m c) tg( 6 ) 0, , 4Km
2 Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto é: b c a Eemplo: Sabendo que é um ângulo agudo e que cos( ), calcular tg ( ) e cot g ( ). Eiste um triangulo retângulo com ângulo agudo tal que o cateto adjacente a mede e a hipotenusa mede.chamamos o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. Pelo teorema de Pitágoras temos: CatetoOposto Logo, tg( ) e CatetoAdja cente CA cot g( ) CO Eercício: Sabendo que é um ângulo agudo e que sen( ), calcular tg ( ) e cot g ( ). Tabela dos Ângulos Notáveis Sen Cós Tg 0º 4º 60º Por convenção: n sen ( ) (sen( )) n n cos ( ) (cos( )) sen k sen( k) n
3 Eercícios: Calcular o valor das epressões: cos(60º) cos (0º) ) E sen (0º) tg (4º) (cos0º) E (sen0º) ( tg 4º) sen cos4 ) E para =º cos sen(.º) cos(4.º) sen(0º) cos(60º) E (cos.º) (cos0º) )Determinar o valor de na figura: 4 4 Como o triangulo BCD é isósceles, pois possui dois ângulos de mesma medida; logo, CD=BD=0m. Assim, do triangulo ABD, temos que: sen 60º BD Logo, 0 m
4 4) Sabendo que tg, tg, calcular o valor de na figura Vamos introduzir uma variável auiliar, fazendo DA=y. Assim do triangulo ABC temos: tg y y Do triangulo ABD temos: tg y y Devemos então resolver o sistema: ( I) y y ( II) y Substituindo (II) em (I), temos: 0 Logo, 0 cm Estudo na Circunferência Unidades de Medidas de Arcos Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é dessa 60º circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um grau (º); logo, uma circunferência mede 60º. Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem o comprimento do raio dessa circunferência, define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB como sendo um radiano ( rad); logo, uma circunferência mede rad, pois o comprimento de uma circunferência de raio r é r.
5 OBS: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio. Transformação de Unidades de Medidas de Arcos Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas de um mesmo arco. Por eemplo, rad é equivalente a 60º, pois ambas são medidas de um arco de uma volta completa. Conseqüentemente, temos que: rad é equivalente a 80 Disso segue que: é equivalente(~) rad e rad é equivalente a Eemplo: a)ache a medida equivalente em radianos de 6 b)ache a medida equivalente em graus de rad a) 6 ~6. 80 rad 9 6 ~ rad 0 80 b) rad ~. rad ~ 7 A Circunferência Trigonométrica A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio unitário () e centro na origem. Sobre a circunferência serão fiados arcos, com origem no ponto A(,0).Esses arcos serão percorridos no sentido anti-horário.lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é igual á medida angular do arco AP
6 Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 60º ou de 0 rad a rad Definimos: Seno de é a ordenada (correspondente ao eioy)do ponto P (indicação: sen ) Cosseno de é a abcissa (correspondente ao eio )do ponto P(indicação: cos ) Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos agudos, num triangulo retângulo.veja: QP QP sen QP raio OQ OQ cos OQ raio Simetrias
7 Eemplos: Assim: Quadrante: 0 a 90 ou ( 0 rad a rad) Quadrante: 90 a 80 ou ( rad a ) Quadrante: 80 a 70 ou ( rad a rad) 4 Quadrante: 70 a 60 ou ( rad a )
8 Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico Eemplo: Sabendo que sen 0º 0, e cos 0º 0, 87 a) sen 0º e cos 0º b)sen 0º e cos 0º, achar um valor aproimado de:
9 Solução: a) AP 0º Então: sen0º sen 0º 0, cos0º cos 0º 0,87
10 b) AP 0º Então: sen 0º sen 0º 0, cos 0º cos 0º 0,87 O eemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. Sendo a medida de um arco e P a sua etremidade, notamos que: P no primeiro quadrante: sen 0 e cos 0 ; P no º quadrante: sen 0 e cos 0; P no º quadrante: sen 0 e cos 0 P no 4º quadrante: sen 0 e cos 0 Sendo a medida de um arco com etremidade no º quadrante: sen (80º ) sen e cos(80º ) cos sen( 80º ) sen e cos(80º ) cos sen( 60º ) sen e cos(60º ) cos Funções Trigonométricas Definição: Suponha que t seja um numero real.coloque na posição padrão um ângulo com t rad de medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do circulo unitário com centro na origem. Se P for o ponto (,y), então a função seno será definida por: sen t y então a função cosseno será definido por cos t
11 Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio das funções seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais.o maior valor da função é e o menor é.as funções seno e cosseno assumem todos os valores entre e ; segue,portanto, que imagem da função é [, ]. Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura. Vemos que: sen(0) = 0 e cos(0) = sen. cos. 4 4 sen cos 0 sen 0 cos sen cos 0 Propriedades: ) sen( t) sen( t) e cos( t) cos( t) Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par. ) sen( t ) sen t e cos( t ) cos t Esta propriedade é chamada de Periodicidade. Definição: Uma função f será periódica se eistir um numero real p 0 tal que quando estiver no domínio de f, então +p estará também no domínio de f e f(+p)=f().
12 O numero p é chamado de período de f. Eemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor eato da função 7 a) sen 4 7 b) cos c) cos a) sen = sen sen sen 4 sen. sen b) cos = cos cos cos c) cos = cos cos cos Relação Fundamental da Trigonometria sen cos Definição: sen tg cos sec cos cos cot g sen cos sec sen Identidades Notáveis sec tg cos sec cot g (sen ).(cossec ) (cos ).(sec ) ( tg ).(cot g)
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