Aula 8 Segmentos Proporcionais

Transcrição

1 MODULO 1 - UL 8 ula 8 Segmentos Proporcionais Nas aulas anteriores, aprendemos uma formação geométrica básica, através da Geometria Plana de Posição. prendemos que: 1. soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo são 180 ō. 2. Em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois. 3. Incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas. No entanto, apesar de sabermos o que é uma altura, bissetriz ou mediana, essa geometria de posição não nos dá condições para o cálculo do comprimento dessa altura, bissetriz ou mediana. parte da geometria que estuda as relações métricas entre medidas de segmentos de uma figura é denominada Geometria Métrica que vamos estudar a partir deste momento. Razão de dois segmentos razão entre dois segmentos é igual à razão dos números que eprimem as medidas com a mesma unidade. Supor que e D sejam comensuráveis, isto é, admitem uma medida comum u, que está m vezes em e n vezes em D. Temos: = mu D = nu u mu D u nu 141 EDER J

2 ou seja, razão entre os segmentos e D é igual a razão entre suas medidas, D = = mu nu = m n. Obs.: Se os segmentos e D são incomensuráveis, ou seja, não admitem uma medida comum, podemos provar que: D = D. Segmentos proporcionais Definição: Dois segmentos são proporcionais a dois outros segmentos se à razão dos dois primeiros é igual à razão dos outros dois. Eemplo D = D. igualdade dessas duas razões formam uma proporção. Feie de retas paralelas Na figura a seguir, as retas a, b e c constituem um feie de retas paralelas. Definição: 1) Feie de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares entre si. Eemplo a b c 2) Transversal do feie de retas paralelas é uma reta do plano do feie que concorre com todas as retas do feie de retas paralelas. EDER J 142

3 MODULO 1 - UL 8 Eemplo b e c. Na figura a seguir, a reta d é uma reta transversal às retas paralelas a, d a b c 3) Pontos correspondentes de duas transversais são pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feie de retas paralelas e, e, e, D e D, E e E são pontos correspondentes. Eemplo Na figura a seguir, a, b, c, d e e é o feie de retas parlelas. 4) Segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos cujas etremidades são os respectivos pontos correspondentes. Eemplo e, e, D e D são segmentos correspondentes. Teorema 1 Se um feie de retas paralelas tem duas transversais, então os segmentos congruentes de uma tem como correspondentes segmentos congruentes na outra. 143 EDER J

4 Demonstração: Seja um feie de retas paralelas com duas transversais, temos que a//b//c//d e D (hipótese). Tracemos pelos pontos e os segmentos E e F, tal que E//t e F//t. Temos que E e F D (1), já que são lados opostos dos paralelogramos E e FD. Então, E DF pois D E ÂE DF DĈF (caso L) o que implica, E F, de (1) D. Teorema de Tales Se duas retas são transversais de um feie de retas paralelas, então à razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Demonstração: onsidere e D dois segmentos de uma transversal e e D são os respectivos segmentos correspondentes da outra transversal. Vamos provar que D = D. EDER J 144

5 MODULO 1 - UL 8 1 ō caso: e D são comensuráveis. p u uu u p q D u uu D D D q Eiste um segmento u que é submúltiplo de e D. D = pu qu D = p q (1) onduzindo retas do feie pelos pontos de divisão de e D e aplicando o Teorema 1 vem: = p De (1) e (2) vem que: D = q D = D. 2 ō caso: e D são incomensuráveis. D = p q Daí, não eiste segmento submúltiplo comum de e D. Tomemos um segmento u submúltiplo de D, isto é, D = nu (1). Por serem e D incomensuráveis, marcando necessariamente u em, temos que para um certo número inteiro m de vezes acontece mu < < (m + 1)u (2). n u D uu u m u uu u m m + 1 m + 1 u u u u D n De (1) e (2) mu < < (m + 1)u nu = D m n < D < m + 1 n (3) 145 EDER J

6 onduzindo retas do feie pelos pontos de divisão de e D e aplicando o Teorema 1 vem: D = nu mu < < (m + 1)u Temos: mu < < (m + 1)u m nu < D n < < m + 1 D n (4) Pelas relações (3) e (4) as razões D e D estão compreendidos entre m n e m + 1 n + 1, cuja diferença é 1 n. Em outras palavras, as razões D e D têm valores aproimados a menos de 1 n Logo temos, D = D. Eercícios Resolvidos 1. Nas figuras a seguir, as retas r, s e t são paralelas. Determine os valores de e y. a) r s t b) r 8 s t Solução: Usando o Teorema de Tales vem: a) 4 10 = = 24 = = 6 5 EDER J 146

7 MODULO 1 - UL 8 b) = = = = 29 = Na figura, MN//. alcule o valor de. 10 M 30 N 12 Solução: Usando o Teorema de Tales vem: 10 = = = 25. Logo, = + 10 = = 35. issetriz de um triângulo Teorema da bissetriz interna (TI) Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Demonstração: Seja um triângulo de lados a, b e c, S uma bissetriz interna, S = e S = y. Vamos provar que c = y b. De fato, tracemos pelo vértice do, a paralela D à bissetriz interna S, conforme a figura. 147 EDER J

8 Temos que: α β α = β (hipótese) = (alternos internos) = γ (correspondentes) γ = Daí, o D é isósceles, de base D, logo D = = b. Usando o teorema de Tales no D vem: S S = D. omo S =, S = y, = c e D = = b vem y = c b. Obs: recíproca desse teorema é verdadeira. Tente provar! issetriz de um triângulo Teorema da bissetriz eterna (TE) Em um triângulo qualquer, a bissetriz eterna de um ângulo eterno divide o lado, eternamente, em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Demonstração: Seja um triângulo, tal que = a, = b e = c. Seja S bissetriz eterna e α = β, como na figura. EDER J 148

9 MODULO 1 - UL 8 Pelo vértice tracemos E//S, conforme a figura. Temos que: α = β (hipótese) α = γ (alternos internos) β = (correspondentes) Daí, γ = Logo, o triângulo E é isósceles de base E. Então, E = = b. Usando o teorema de Tales vem: S = S E. omo S =, S = y, = c e E = = b temos que y = c b. Obs.: 1. recíproca desse teorema é verdadeira. Tente provar! 2. Em um triângulo isósceles, de base, a bissetriz eterna de vértice é paralela à base. De fato, no da figura, o ângulo ÂE mede 2y; como é eterno, temos 2y = + = 2 y =. Logo, e y são ângulos alternos internos. Daí, a bissetriz D é paralela à base. Note que neste caso não se aplica o Teorema da bissetriz eterna. 149 EDER J

10 Eercícios Resolvidos 3. Na figura, S é bissetriz interna do triângulo, calcule o valor de S 9 Solução: Usando TI vem: 6 9 = = = 54 = = Na figura, D é bissetriz eterna do ângulo Â. alcule. Solução: Usando TE vem: + 4 = = = Os lados de um triângulo medem 12 cm, 15 cm e 18 cm. Do vértice oposto ao lado de maior medida tracem-se as bissetrizes interna e eterna. alcule a distância entre os pés dessas bissetrizes. Solução: Seja o triângulo onde = 18, = 15 e = 12, D e E são as bissetrizes interna e eterna, como na figura. EDER J 150

11 MODULO 1 - UL D y E alculemos D = e E = y. Pelo TI vem: 18 = Pelo TE vem: 15 = = 216 = y y = y = y 3y = 216 y = 72. Logo, a distância entre as duas bissetrizes são + y = = 80 cm. 6. O perímetro de um triângulo é 100 metros. bissetriz do ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos de 16 metros e 24 metros. Determine os lados desse triângulo. Solução: onsidere o triângulo de perímetro 100 e = 40, como na figura. De = c e = b vem: Daí, b + c = = 60 b + c = 60 c b = a + b + c = 100 a = = c b (TI) (2) Substituindo (1) em (2) vemos:. c = 60 b c b = b b = b = 36. (3) 151 EDER J

12 Substituindo (3) em (1) vem: c = = 24. Os lados do triângulo são 36, 24 e 40. Eercícios Propostos 1. Na figura, calcule o valor de Um feie de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que este mesmo feie determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e quarta paralelas mede 60 cm. 3. Na figura, r//s//t. Determine as medidas de e y sabendo que são proporcionais a 3 e 4, respectivamente. O segmento mede 70 cm e as retas a e b são paralelas. a y t b s r EDER J 152

13 MODULO 1 - UL 8 4. Na figura, calcule os valores de e y, respectivamente, sendo S a bissetriz interna do ângulo. 5. Na figura, sendo D bissetriz eterna do ângulo, calcule D. 6. Os lados de um triângulo medem 10 cm, 12 cm e 18 cm. Do vértice oposto ao lado de maior medida traçam-se as bissetrizes internas e eternas dos ângulos correspondentes. alcule a distância entre os pés das bissetrizes. Gabarito 1. = Os comprimentos são 15 cm, 18 cm e 27 cm, respectivamente. { = y = = 13 5 e y = D = cm. 153 EDER J