Pontos notáveis de um triãngulo

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1 Pontos notáveis de um triãngulo Sadao Massago Maio de 2010 a evereiro de 2014 Sumário 1 Incentro 1 2 ircuncentro 2 3 aricentro 3 4 Hortocentro 4 5 xincentro 4 6 bservação adicional 5 Referências ibliográcas 5 Neste texto, estudaremos os pontos notáveis de um triângulo. 1 Incentro ntes do teorema, prove o seguinte exercício xercício 1.1. Dado um triângulo, mostre que duas bissetrizes cruzam no interior do triângulo. Teorema 1.2 (incentro). s bissetrizes (dos ângulos) de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior na qual é equidistante dos seus lados. Signicado. Seja. ntão os bissetrizes de, e interceptam num ponto P interior do. lém disso, distância de P até, e são iguais. Demonstração. onsidere o triângulo e bissetriz de e. ntão eles cruzam no interior do triângulo (exercício 1.1) que denotaremos por (igura 1). omo está sobre a bissetriz de, ele é equidistante de e. Mas também está na bissetriz de de forma que é equidistante de e. ssim, é equidistante aos três lados. gora considere. omo divide o ângulo e passa no ponto (fora da vértice) equidistante de e, será bissetriz de. circunferência com centro em que passa num dos pontos entre D, e passa em todos os outros. omo M, N e P são raios desta circunferência e são ortogonais aos lados do triângulo, a circunferência tangencia todos os lados do triângulo. circunferência que tangencia todos os lados de um polígono é denominado de circunferência inscrita. Logo, a intersecção das bissetrizes determina o centro da circunferência inscrita de um triângulo (igura 2). 1

2 D igura 1: incentro igura 2: circunferência inscrita 2 ircuncentro ntes do teorema, prove o exercício seguinte. xercício 2.1. Dadas duas retas concorrentes, as retas ortogonais a elas também são concorrentes. Teorema 2.2 (circuncentro). s mediatrizes (dos lados) de um triângulo intercepta em um único ponto na qual é equidistante dos seus vértices. Signicado. Seja. ntão os mediatrizes, e interceptam num ponto P. lém disso, P = P = P. Demonstração. Dado com M, N e P, pontos médios dos lados, e respectivamente. omo as mediatrizes de e cruzam (exercício 2.1), denotaremos este ponto por (igura 3). omo está na mediatriz de, é equidistante de e, tendo =. nalogamente, = e consequentemente, é equidistante dos vértices. M P N igura 3: circuncentro 2

3 gora considere a reta passando pelo P e. omo P é o ponto médio e é equidistante de e, a reta é mediatriz do lado. Portanto, todas as mediatrizes cruzam em que é equidistante dos vértices. Uma circunferência com centro no circuncentro que passa em um dos vértices, passa em todos os outros vértices. circunferência que passa em todos os vértices de um polígono é chamado de circunferência circunscrita. intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o centro da circunferência circunscrita (igura 4). igura 4: circunferência circunscrita 3 aricentro ntes do teorema, prove o exercício seguinte. xercício 3.1. Mostre que as medianas de um triângulo são concorrentes, cruzando no interior do triângulo. Teorema 3.2 (baricentro). Mediana de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior, dividindo a mediana no ponto 2/3 da vértice correspondente. Signicado. Seja e M, N e P, os pontos médios M, N e P dos lados, e respectivamente. ntão as medianas M, N e P interceptam num ponto Q interior do. lém disso, Q = 2 3 P, Q = 2 3 N, e Q = 2 3 M. Demonstração. Seja dado e considere os pontos médios e dos lados e respectivamente. Seja G, a intersecção das medianas e (exercício 3.1). gora considere G e seja H, um ponto no prolongamento de G de forma que G = GH (igura 5). omo e G são pontos médios dos lados e H de H, temos que G é paralelo a H e G = 1 H. Da mesma forma, como G e são ponto médios dos lados H e de 2 H, G é paralelo a H e G = 1H. 2 omo G e paralelo a e G é paralelo a H, o quadrilátero GH é um paralelogramo e consequentemente, H = G e H = G. Logo, G = 1H = 1G e G = 1H = 1G gora note que o prolongamento de G passa no ponto médio de, pois GH e paralelogramo e diagonais dos paralelogramos cortam outro no meio. lém disso, GD = 1GH = 2 1 G. 2 Logo, todas as medianas cruzam no mesmo ponto (que é numa distância 2 3 correspondentes). das vértices 3

4 G H igura 5: baricentro baricentro é o centro de massa. Se o triângulo apresentar densidade uniforme, qualquer reta que passa no baricentro divide o triângulo em dois momentos iguais, signicando que se pendular o triângulo neste ponto, ele cará na posição horizontal. Não confundir momento com a massa. triângulo determinado pela reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro tem a área 4 9 do original e não o Hortocentro Teorema 4.1 (hortocentro). prolongamento das alturas de um triângulo intercepta em um único ponto. Signicado. Seja e r, s e t, as retas determinadas pelas alturas relativamente a, e respectivamente. ntão r, s e t interceptam em um único ponto P. Demonstração. onsidere as retas paralelas aos lados, passando pelos vértices opostos. stas retas não são paralelas dois a dois, pois os lados dos triângulos não são paralelos dois a dois. Logo estas retas cruzam dois a dois, formando um triângulo. onsiderando D, e, as intersecções das retas paralelas a e, e, e respectivamente, podemos considerar D. ntão temos que D, e D são paralelos aos lados, e respectivamente (igura 6). Veremos que é congruente a. omo é paralelo a, = por ser alternos internos. Da mesma forma, ser paralelo a implica que =. omo é comum, pelo critério L, e são congruentes. Da mesma forma, podemos mostrar que e D também são congruentes a. ssim, =, = D e = D. Logo, o prolongamento das alturas de são mediatrizes de D e eles interceptam, pelo Teorema xincentro xercício 5.1. Dado um triângulo, a bissetriz de um ângulo e bissetriz de um dos ângulos externos não adjacentes interceptam. Teorema 5.2 (exincentro). bissetriz de um triângulo e a bissetriz dos ângulos externos não adjacentes interceptam em um único ponto na qual é equidistante dos prolongamentos dos seus lados. 4

5 M P N D igura 6: hortocentro Signicado. Seja e sejam D e, os pontos sobre os prolongamentos de no lado de e no lado de, respectivamente (igura 1). ntão os bissetrizes de, D e interceptam num ponto P, exterior ao. lém disso, distância de P até prolongamentos de, e são iguais. Idéia da demonstração. demonstração é similar ao caso do incentro (Teorema 1.2) e é deixado como exercício (igura 1). D igura 7: exincentro exincentro é o centro da circunferência que tangencia um lado e o prolongamento de outros dois lados (igura 8). 6 bservação adicional incentro, circuncentro e baricentro costumam ser chamados de três pontos notáveis de um triângulo. s três pontos notáveis mais o hortocentro e o exincentro é denominado de cinco pontos notáveis de um triângulo. inda existem outras propriedades interessantes do triângulo tais como a reta de uler e o círculo de nove pontos (Veja [?]) que não foram discutidos aqui. 5

6 igura 8: círculo em exincentro Referências [1] Toyo, Takami, Kika-kogi (zen-pen) (urso de geometria, parte 1 de 2), seção editoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especicado. [2] Moise, dwin. e Downs Jr, loyd L., (tradução de Renate G. Watanabe), Geometria Moderna, Vol. 1 e 2, dgard lucher, [3] uclides (versão latino de ommandino,.; ilustração e adição de Simons, R.; revisão de nibalfaro), lementos de Geometria, edições cultura, [4] Rezende, liane Q.. e Queiroz, Maria L. de, Geometria uclidiana plana e construções geométricas, ditora UNIMP, [5] Greenberg, Martin J., uclidean and non-euclidean geometries, W. H. reeman and company,