Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte II. Nono Ano do Ensino Fundamental

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1 Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Teorema de Tales - Parte II Nono no do Ensino Fundamental Prof. Marcelo Mendes de Oliveira Prof. ntonio aminha Muniz Neto

2 1 O Teorema da bissetriz interna Nessa segunda parte da aula sobre o Teorema de Tales, aplicamo-lo ao estudo dos teoremas da bissetriz interna e eterna relativas a um ângulo de um triângulo dado. omeçamos analisando o Teorema da issetriz Interna, que trata da razão em que o pé da bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o lado correspondente. Observe que divisão do lado oposto a um vértice de um triângulo ao meio é realizada pela mediana, e não pela bissetriz interna. O resultado fundamental é o que segue. Teorema 1 (da bissetriz interna). Seja um triângulo qualquer. Se a bissetriz interna do ângulo  intersecta o lado no ponto, então divide o lado em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados, isto é, =. Pelo aioma das paralelas, o triângulo P é isósceles (um de seus ângulos é alterno interno com uma das metades do ângulo  e o outro é correspondente à outra metade). Portanto,seguedoTeoremadeTalesque = P, ou, ainda (uma vez que P = ), =. Eemplo. Sejam P e Q pontos sobre os lados e, respectivamente, de um quadrado de lado, tais que P = 2 e Q = 1. Se a diagonal do quadrado intersecta o lado PQ no ponto M, calcule a razão em que M divide o segmento P Q. Solução. Observe a figura abaio, representativa da situação em questão M Q P Figura 1: o teorema da bissetriz interna. Observação 2. Veja que o lado esquerdo da igualdade acima representa a razão em que o ponto divide o lado. Prova. Sendo a bissetriz interna de Â, tracemos uma paralela pelo vértice à bissetriz, a qual encontrará o prolongamento de em um ponto P. P É bem sabido que a diagonal divide o ângulo  aomeio. ssim, M ébissetriz interna do triângulopq. aí, pelo teorema da bissetriz interna, tem-se PM MQ = P Q = 2 1 = 2. Eemplo 4. Os lados de um triângulo medem 7cm, 14cm e 15cm. alcule a medida do maior segmento que a bissetriz interna do ângulo oposto ao maior lado determina sobre o mesmo. Solução. Se é um triângulo tal que = 7, = 15 e = 14 (veja a figura a seguir), queremos calcular o comprimento do maior segmento determinado, sobre o lado, pela bissetriz interna partindo de. 1 matematica@obmep.org.br

3 Tal segmento será o adjacente a (pois a proporcionalidade do teorema da bissetriz interna garante que o maior segmento determinado fica ao lado do maior lado). Sendo a medida desse segmento, o outro segmento sobre medirá 15. gora, pelo teorema da bissetriz interna, 15 7 = = 7 21 = 210 = 10. Eemplo 5. No triângulo, em que = 12, = 18 e = 25, um semicírculo é desenhado com diâmetro sobre o lado, de tal forma que ele seja tangente aos lados e. Se O é o centro do semicírculo, encontre a medida de O. Solução. figura a seguir representa a situação descrita no enunciado. 12 E P θ θ O Q F Sejam P e Q os pontos de tangência desse semicírculo com os lados e, respectivamente. Pelo teorema do bico, temos P = Q. lém disso, O é lado comum aos triângulos PO e QO, que ainda têm lados PO e QO com comprimentos iguais, pois são raios do semicírculo. Isso garante a congruência entre os triângulos P O e QO, pelo caso de congruência LLL. Portanto, P O = Q O, ou seja, O é bissetriz interna de. gora, sendo a medida de O, temos que 25 é a medida de O. Portanto, pelo teorema da bissetriz interna, 12 = = = 00 = 10. Para o próimo eemplo, recorde que o incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas domesmo, equetalpontoequidistadosladosdotriângulo; em particular, ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Eemplo 6. Seja um triângulo com lados =, = 4 e = 5. Seja também o ponto sobre o lado tal que é a bissetriz interna do ângulo Â. Se I é o incentro de, calcule: (a) a medida do segmento ; (b) a razão em que o ponto I divide a bissetriz interna I. Solução. figura a seguir servirá à análise de ambos os itens pedidos. β β I (a) plicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo, temos = = 4. plicando as propriedades de proporções à igualdade acima, podemos repetir os numeradores e, em seguida, somá-los aos denominadores. ssim fazendo, obtemos 5 + = +4 5 = 15 = 7 7. (b) gora, a ideia é perceber que o segmento I também é bissetriz interna do triângulo. ssim, pelo teorema da bissetriz interna, obtemos E I I = I I = I I = 7 5. Eemplo 7. bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos e, de medidas respectivamente iguais a 24cm e 0cm. Sabendo que e têm comprimentos respectivamente iguais a e, calcule o valor de e as medidas de e. Solução. Uma vez mais pelo teorema da bissetriz interna, temos 2+6 = 24 0 = 4 12 = 10+0 = matematica@obmep.org.br

4 Portanto, = 2+6 = = 6 em três segmentos de comprimentos iguais. Então, sendo I o incentro de e r o raiodo círculoinscrito, é imediato que I = I = r. e, analogamente, = 45. Eemplo 8. alcule a medida do lado do triângulo sabendo que: (i) a bissetriz interna de  determina o segmento de medida 10cm; (ii) o lado mede 0cm; c r I r a b (iii) o perímetro de é 75cm. Solução. Representamos a situação descrita na figura abaio: c 10 β plicando o teorema da bissetriz interna, obtemos c 10 = 0 c = 0. Por outro lado, a medida do perímetro de fornece a igualdade c = 75, de sorte que c+ = 5. Resolvendo o sistema de equações { c+ = 5, c = 0 concluímosquecemedem, algumaordem, 15e20. Logo, mede 15cm ou 20cm (observe que ambas essas medidas verificam a desigualdade triangular, de modo que realmente há duas soluções possíveis). Terminemos esta seção apresentando um eemplo um tanto mais elaborado. Eemplo 9. Prove que não eiste triângulo no qual o círculo inscrito divide a bissetriz interna de um ângulo em três segmentos de mesmo comprimento. Prova. onsidere a figura a seguir como representativa da situação do problema. Por contradição, suponha que a bissetriz interna fique dividida, pelo círculo inscrito, 0 gora, aplicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo (com a bissetriz ), vimos no Eemplo 6 que I I =. Se juntarmos esse resultado com o teorema da bissetriz interna aplicado ao triângulo (com bissetriz ) e utilizarmos propriedades de proporções, obtemos I I = = = + + = b+c a. Mas, como I = I = r, seguiria daí que b+c a = I I = r r = 1, o que contradiz a desigualdade triangular. Segue o resultado. 2 O teorema da bissetriz eterna Finalmente, vamos ao Teorema da issetriz Eterna, que trata da razão em que o pé da bissetriz eterna de um dos ângulos de um triângulo divide o prolongamento do lado correspondente. Para o que segue, suponha dado um triângulo tal que. ssumindo, sem perda de generalidade, que >, não é difícil concluir que a bissetriz do ângulo eterno de no vértice (conhecida como a bissetriz eterna de relativa a ) intersecta a reta em um ponto E tal que E (cf. Figura 2). Nesse caso, dizemos que E é o pé da bissetriz eterna relativa ao vértice (ou ao lado ). oravante, assumiremos a validade de tais observações sem maiores comentários. O resultado fundamental é o que segue. Teorema 10 (da bissetriz eterna). Seja um triângulo tal que >. Se E é o pé da bissetriz eterna relativa ao vértice, então E divide o lado (eternamente) em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. Em símbolos, E E =. matematica@obmep.org.br

5 Figura 2: o teorema da bissetriz eterna. Prova. Pelo ponto, tracemos a reta F paralela à reta, com F sobre o segmento E (cf. Figura ). δ Figura : prova do teorema da bissetriz eterna. δ E E (a) 17. (b) 18. (c) (d) Solução. Pelo teorema da bissetriz interna, temos = 4 + = +4 5 = 15 = 7 7. Pelo teorema da bissetriz eterna, temos Portanto, E E = 4 E E E = 4 E 5 = E = E = E + = = Sejam  = 2 e ÂE = δ. omoe ébissetriz eterna relativa ao vértice, temos δ = 1 2 (180 2) = 90. Poroutro lado, como F e F sãoângulosalternos internos, temos F = 180 ÂF = 180 (2+δ) = 2(90 ) δ = 2δ δ = δ. ssim, F é um triângulo isósceles, com = F. plicando o Teorema de Tales às paralelas e F, com transversais E e E, obtemos E E = F. Mas, como = F, isso é o mesmo que E E =. Observações tente como é fácil lembrar o teorema da bissetriz eterna a partir do teorema da bissetriz interna: basta substituir o ponto pelo ponto E nas equações que são os resultados. 2. s bissetrizes interna e eterna são sempre perpendiculares entre si. Verifique essa afirmação! Eemplo 12. Sejam um triângulo retângulo em e e E as bissetrizes interna e eterna, respectivamente, relativas ao vértice. Se = e = 4, então E mede: Eemplo 1. Sejam e E respectivamente os pés das bissetrizes interna e eterna do ângulo  do triângulo. Sabendo que = 4, = 2 e =, calcule o comprimento do raio do círculo circunscrito ao triângulo E. Solução. Pelo teorema da bissetriz interna (esboce uma figura para acompanhar os argumentos), temos = 4 2 = 2. omo =, temos = 2 e = 1. Pelo teorema da bissetriz eterna, temos E E = 4 E E = 2 2 E E = = 1 E =. omo e E são perpendiculares, concluímos que o segmentoe, que mede 4, éodiâmetrodo círculocircunscrito ao triângulo E. ssim, o comprimento do raio de tal círculo mede 2. Eemplo 14. Em um triângulo, as bissetrizes interna e eterna traçadas a partir do vértice encontram o lado oposto (ou seu prolongamento) nos pontos M e N, respectivamente. Se = 21, = 16 e N = 21, calcule os comprimentos dos segmentos e M. 4 matematica@obmep.org.br

6 Solução. Primeiramente, observe que as igualdades N = 21 e = 21 garantem que é o ponto médio do segmento N (veja a figura abaio). 16 N 21 M 21 gora, pelo teorema da bissetriz eterna, temos N N = = 16 = 2. Por outro lado, pelo teorema da bissetriz interna, temos M M = 16 2 = 1 2 M M +M = M 21 = 1 M = 7. icas para o Professor O conteúdo dessa aula pode ser visto em dois encontros de 50 minutos cada. o longo dos eemplos, você deve sempre enfatizar o uso de uma das versões do teorema da bissetriz como ferramenta principal, assim como pode utilizar eemplos mais elaborados(veja as referências). Os teoremas das bissetrizes interna e eterna têm aplicações interessantes à Geometria, sendo um eemplo notável aquele dado pelo círculo de polônio. Para o leitor interessado, sugerimos a referência [1]. Sugestões de Leitura omplementar 1.. aminha. Tópicos de Matemática Elementar, Volume 2: Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro, Editora S..M., O. olce e J. N. Pompeu. Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 9: Geometria Plana. São Paulo, tual Editora, matematica@obmep.org.br