Geometria Plana 03 Prof. Valdir

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1 eometria lana 03 rof. Valdir TS TÁVEIS E U TRIÂUL 1. RIETR É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura a seguir ). ediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. omo consequência da propriedade a), temos que: IETR É o centro da circunferência inscrita no triângulo. incentro coincide com o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo. issetriz interna é o segmento de reta que une um vértice com o lado oposto formando dois ângulos de mesma medida. mediana relativa ao lado mediana relativa ao lado mediana relativa ao lado bissetriz do ângulo Â bissetriz do ângulo bissetriz do ângulo I é o incentro do ropriedades: a) baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de para 1. Justificativa: onsiderando a figura anterior, como é médio de e é médio de, teremos: // e. e //, então. ssim:... Teoremas: 1) Teorema das bissetrizes internas: I bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângulo. b) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área; Se é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afirmar que: Veja: triângulo e tem bases iguais,, e H como altura. ssim, ele tem áreas iguais. c) s três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de mesma área. H plicando a lei dos senos nos triângulos e da figura a seguir, teremos: θ β 1

2 o triângulo : (1) sen senβ o triângulo : () sen senβ omo β + θ 10, temos que senθ senβ. ssim, dividindo (1) por (), vem que: sen senθ (rovado) sen senβ ) Teorema da bissetriz eterna Se a bissetriz de um ângulo eterno de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto eternamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. : Então,, e são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que passa por, e. bservações: a) um triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o comprimento do raio da circunferência circunscrita. ( raio, onde é a mediana relativa à hipotenusa). s r plicando a lei dos senos nos triângulos e da figura a seguir, teremos: b) circuncentro () de um triângulo obtusângulo é um ponto eterior ao triângulo. (0 < < 10 ) 10 - o triângulo : sen(10 - ) senθ θ (1) o triângulo : () sen senθ omo sen(10 -) sen, dividindo (1) por (), teremos: 4. RTETR É o ponto de intersecção das alturas de um triângulo. sen(10 - ) senθ sen senθ (rovado) 3. IRUETR É o centro da circunferência circunscrita no triângulo. circuncentro coincide com o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. ediatriz de um segmento de reta é o lugar geométrico do plano cujos pontos são equidistantes dos etremos do segmento. é a altura relativa ao lado. é a altura relativa ao lado. é a altura relativa ao lado. é o ortocentro do triângulo. bservações: r é a mediatriz do lado s é a mediatriz do lado r s ircuncentro do triângulo a) o triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo obtusângulo, é um ponto eterior ao triângulo.

3 b) triângulo cujos vértices são os pontos,, é chamado de triângulo órtico. ortocentro () do triângulo é o incentro do triângulo órtico. u seja, a circunferência inscrita no triângulo tem centro no ponto. c) s pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro. ssim como os pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro e os pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro. 0. Seja o triângulo de lados, e respectivamente iguais a cm, cm e cm. Sejam e as bissetrizes interna e eterna do triângulo no vértice com e pontos da reta que contém o lado. ssim, calcule o comprimento do segmento de reta. θ θ Usando os teoremas das bissetrizes, teremos: cm 36 cm ssim, teremos: + 40 cm Resposta: 40 cm (Letra E) Eercícios resolvidos: 01. ado o triângulo cujos lados medem cm, cm e 1. Seja S o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência inscrita no triângulo e a mediana relativa ao lado. etermine o comprimento do segmento de reta S. 03. a figura a seguir, é um triângulo retângulo no vértice, E é bissetriz do ângulo Â e é mediana relativa ao lado. Sabendo-se que o ângulo Ê mede e o ângulo ˆ E mede β, então calcule + β. F β S E 0 elo teto, S é bissetriz do ângulo. ssim, pelo teorema das bissetrizes internas, vem que: S S S 1- S 16 S omo é mediana, temos que: 6 cm. ssim, teremos: S S S 3 cm Resposta: S /3 cm cm S 1 cm cm 1 S triângulo é retângulo em. ssim, o ponto, médio de, é o circuncentro do triângulo. que se pode concluir que. omo o triângulo é isósceles, o ângulo E mede 0 e o ângulo F mede 70 (complemento). Sendo E uma bissetriz, o ângulo E mede 35. elo teorema do ângulo eterno, nos triângulos F e FE, temos que: + β Resposta: + β a figura a seguir, é um triângulo retângulo em sendo 3 cm e 4cm. segmento é uma bissetriz e uma mediana. Sendo assim, calcule a medida do segmento de reta. onsiderando, e aplicando o teorema das bissetrizes internas no, teremos:,5-, ,5 5/14 Resposta: 5/14 cm 3 cm 4 cm 7,

4 Relação de Stewart Seja um triângulo e a ceviana relativa ao lado, sendo um ponto do lado, como mostra a figura a seguir. plicando a relação de Stewart, teremos: n.b + m.c a.(m.n + ) (5.5 + ) ,5 Resposta: 6, cm. b m β c n 0. Seja o triângulo cujos lados, e medem, respectivamente cm, cm, cm. etermine o comprimento da bissetriz S relativa ao vértice. Sendo: : comprimento da ceviana a, b, c: medidas dos lados do triângulo m, n: medidas dos segmentos e, partes do lado relação de Stewart será: a m S n n.b + m.c a(m.n + ) plicando a lei dos cossenos nos triângulo e, teremos: b m + -..m.cos c n + -.n.cosβ omo cos cosβ, teremos: b m + +..m.cos β c n + -.n.cos β ultiplicando a 1ª equação por n e a ª por m, teremos: b nm n+ n+..m.n.cos β c mnm+ m-.n.mcos β alculando m e n pelo teorema das bissetrizes internas. m n m -m m 4 cm n 5 cm ssim, aplicando a relação de Stewart, teremos: n.b + m.c a.(m.n + ) (4.5 + ) , cm Resposta: 5, cm LÍS VEXS e i i 3 e 3 dicionando as duas equações, teremos: b n + c m m n + n m + m + n b n + c m mn(m+n) + (m + n) n.b + m.c (m + n).(m.n + ) e 1 i 1 i 4 e 4 omo m + n a, vem que: n.b + m.c a(m.n + ) (Relação de Stewart)... Eercícios resolvidos: 01. Seja o triângulo cujos lados, e medem, respectivamente cm, cm, cm. etermine o comprimento da mediana relativa ao lado. 5 5 bservando o polígono... da figura anterior, teremos: 1. ELEETS,,,,... vértices do polígono.,,, lados do polígono.,,,... diagonais do polígono. i 1, i, i 3,... medidas dos ângulos internos. e 1, e, e 3,... medidas dos ângulos eternos.. S S ÂULS EXTERS (S e ) onsiderando um polígono conveo de n lados, a soma dos seus ângulo eterno será dada por: S e

5 bserva-se que e 1, e, e 3,... e n, são os desvios angulares, em cada, vértice quando consideramos uma trajetória que coincide com o polígono. ssim, para efetuar uma volta completa em, cominhando pelos lados do polígono, o desvio angular é de 360. essa forma, e 1 + e + e e n 360 S e 360 (rovado) 3. S S ÂULS ITERS (S i ) onsiderando um polígono conveo de n lados, a soma dos ângulos internos do polígono será dada por: bserva-se que, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e eterno é 10. Então: e 1 + i 1 10 e + i 10 e 3 + i 3 10 e n + i n 10 dicionando as n parcelas, teremos: e 1 + e + e e n + i 1 + i + i i n n S i 10.n S i 10.n 360 S i (n ).10 (rovado) bs.: um polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo, teremos: i 1 i i 3... i e 1 e e 3... e S i (n ).10 i S i / n e S e / n 4. ÚER E IIS LÍ número de diagonais () de um polígono conveo de n lados é dado por: n.(n-3) iagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono conveo. ortanto, (n 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. u seja, de um vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a ele. onclui-se, então, que o número total de diagonais de um polígono conveo de n vértices é dado por n.(n-3) (rovado) Eercícios resolvidos: 01. Um polígono conveo de 15 lados tem as medidas de seus ângulos internos em progressão aritmética de razão igual a. etermine o maior ângulo interno desse polígono. Se os ângulos internos formam uma crescente de razão º, então, o termo central (i ) é a média aritmética das medidas dos ângulos internos. ssim, S S (15-).10 n o n 15 i 156 medida do maior ângulo interno será: i 15 i + 7.r i Resposta: Um polígono conveo tem dois ângulos de 150º e os outros medem 155º. etermine o número de diagonais desse polígono. Se i 1 150º e 1 30º e i 155º e 5º. ssim, como a soma dos ângulos eternos é 360, teremos: (n ).5 360º (n ) n 1 n 14 alculando o número de diagonais, teremos: n.(n-3) 14.(14-3) 77 Resposta: 77 diagonais. 03. o polígono regular EF... o número de diagonais é o triplo do número de lados. Sendo assim, determine a medida do ângulo formado pelas diagonais e E desse polígono. (Lembrete: todo polígono regular é inscritível). Sendo n o número de lados, teremos: n.(n-3) 3.n n n 0 n (eneágono) Inscrevendo o eneágono em um círculo, teremos: bs1.: Se o polígono for regular de n lados, teremos: E a) Se n for par, n/ diagonais passam pelo seu centro e assim, teremos n.(n 4)/ diagonais que não passam pelo seu centro. b) Se n for ímpar, então nenhuma diagonal passa pelo centro do polígono. bs..: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência. omo o polígono tem lados, vem que: o 360 o 40 E 0 omo é um ângulo inscrito, teremos: E 40 F Resposta: