APOSTILA DE Geometria Plana MATEMÁTICA

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1 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES POSTIL E GEOETRI - RESUO PROF RNILO LOPES POSTIL E Geometria Plana TEÁTI Visite nosso site Nele estão os resumos e trabalho de sala de aula Obrigado pela preferência de nossa ESOL!

2 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES ÍNIE 1 Ângulos 11 efinição 1 Ângulo agudo 13 Ângulo obtuso 1 Ângulos opostos pelo vértice 1 Ângulos suplementares 1 Ângulos complementares 17 Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal Triângulos 1 efinição Elementos 3 lassificação Soma dos ângulos de um triângulo Ângulo eterno Teorema do ângulo eterno 7 issetriz de um ângulo ltura 3 ongruência de triângulos 31 efinição 3 asos de congruência Polígonos 1 efinição Nomenclatura 3 Polígono onveo Ângulos de um polígono conveo Ângulos internos Ângulos eternos 7 Polígono regular Ângulos num polígono regular Ângulos na circunferência 1 Ângulo central Ângulo inscrito 3 Ângulo de vértice interno Ângulo de vértice eterno Ângulo de segmento Quadriláteros 1 efinição e elementos Soma de ângulos interno 3 lassificação 31 Paralelogramo 3 Trapézio 7 Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo 71 ediana de um Triângulo 7 issetriz 73 ltura 7 ediatriz 7 Teorema de Tales 7 Teorema da bissetriz interna 77 Teorema da bissetriz eterna Semelhança de triângulos 1 efinição Razão de semelhança 9 Relações étricas no Triângulo Retângulo 10 Área das Figuras Planas

3 3 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 1 Ângulos 11 efinição Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto Em que: Oe O são os lados do ângulo O é o vértice do ângulo Ângulos importantes: edida Ângulo Figura Graus Radianos Reto 90º π/ rad Raso 10º π rad O de uma volta 30º π rad O Observação: O O 1º = 0 (1 grau = 0 minutos) 1 = 0 (1 minuto = 0 segundos) Indica-se: O ou 1) Simplifique as seguintes medidas: a) 30º70 = b) 110º 300 = c) º10 = d) 30º 0 = e) º39 13 = ) etermine as somas: a) 30º0 + 1º3 = b) 10º30 + 1º9 0 = 3) etermine as diferenças: a) 0º0 º 30 = b) 31º0 0º = c) 90º1 0 º30 0 = d) 90º - 0º30 = ) etermine os produtos: a) (10º3 ) = b) (º1 30 ) = ) etermine as divisões: a) (º ) = b) (31º3 ) 3 = c) (º3 ) = 1 Ângulo agudo É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto 131 Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso 1 Ângulos opostos pelo vértice São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro

4 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES ois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes γ β θ e γ são opostos pelo vértice β e θ são opostos pelo vértice 1 Ângulos suplementares ois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 10º + β = 10º 1 Ângulos complementares ois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º β + β = 90º β ) etermine o valor de nos casos: a) c) d) º - 30º b) e) 30º 3 7) etermine o valor de nos casos: a) b) ) alcule o complemento dos seguintes ângulos: a) a) 7 9) alcule o suplemento dos seguintes ângulos: a) 7 b) 11 10) ado um ângulo de medida, indique: a) Seu complemento; f) sétima parte do complemento; b) Seu suplemento; g) quinta parte do suplemento; c) O dobro do seu complemento; h) O complemento da sua terça parte; d) metade do seu suplemento; i) O triplo do suplemento da sua quinta parte e) O triplo do seu suplemento; 11) ê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento 1) etermine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento

5 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 13) alcule o ângulo que vale ao quádruplo do seu complemento 1) alcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 3 1) Qual é o ângulo que ecede o seu complemento em 7? 1) O triplo do complemento de um ângulo, aumentado em 0, é igual ao suplemento do ângulo etermine a medida do ângulo 17) etermine as medidas de dois ângulos suplementares, sabendo que o dobro de um deles, somado com a sétima parte do outro, resulta em 100 1) soma de um ângulo com a terça parte do seu complemento resulta em etermine o suplemento desse ângulo 17 Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal uas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados: γ β θ c b d a t s r Ângulos correspondentes: a e, b e β, c e γ, d e θ ; Ângulos alternos internos: c e, d e β ; Ângulos alternos eternos: a e γ, b e θ ; Ângulos colaterais internos: c e β, d e ; Ângulos colaterais eternos: a e θ, b e γ Propriedades 19) etermine o valor de e y, sendo r // s Ângulos alternos internos são congruentes Ângulos alternos eternos são congruentes Ângulos correspondentes são congruentes Ângulos colaterais internos são suplementares Ângulos colaterais eternos são suplementares 3 70º y s r 0) alcule o valor de, sendo r // s 0 r 11 1) Se r // s, calcule s 30 r 110 s ) Na figura abaio, as retas r e s são paralelas alcule r s

6 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 3) Na figura, calcule a medida do ângulo, sendo r // s 30 0 r s 0 ) Na figura, é paralelo a Sendo ˆ = 10º e ˆ = º, calcule ˆ Triângulos 1 efinição ados três pontos,, não colineares, a reunião dos segmentos, e chama-se triângulo Indicação: Triângulo = Δ = c b Elementos Vértices: os pontos, e são vértices do Δ Lados: os segmentos (de medida c), (de medida b) e (de medida a) são os lados do triângulo Ângulos: os ângulos ou, ou e ou são os ângulos do Δ (ou ângulos internos do Δ) iz-se que os lados, e e os ângulos, e são, respectivamente, opostos 3 lassificação Quanto aos lados, os triângulos se classificam em: Eqüiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes; Isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes; Escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes Δ equilátero ΔRST isósceles ΔNP escaleno R a N S T P Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triângulo isósceles Quanto os ângulos, os triângulos se classificam em: Retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto; cutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos; Obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso

7 7 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Δ retângulo em ΔEF acutângulo ΔRST obtusângulo R O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é sua hipotenusa e os outros dois lados são os catetos do triângulo Soma dos ângulos de um triângulo soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos E F 10º S T Ângulo eterno ado um Δ e sendo X a semi-reta oposta à semi-reta, o ângulo adjacente a e não aos ângulos e e X é o ângulo eterno do Δ Teorema do ângulo eterno Em todo triângulo, qualquer ângulo eterno é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele e e X O ângulo ê é o suplementar adjacente de e é ângulo eterno adjacente a e ) No triângulo, calcule a(s) incógnita(s): a) b) 0 y 10 1º c) +10º -30º +10º ) alcule no triângulo da figura: 3

8 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 7) Na figura, o triângulo é isósceles de base alcule o valor de 0º ) alcule e y indicados na figura abaio: º 30º y E 0º 7 issetriz de um ângulo issetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes β β issetriz ltura ltura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado Na figura H é uma altura do Δ H H 9) figura mostra um triângulo, isósceles, de base Sendo bissetriz de ˆ e Ĉ, calcule o valor de 0º bissetriz de 30) Se H é a altura relativa ao lado do Δ, determine ˆ e Ĉ 0 0 H 31) No triângulo da figura, se H é altura e S é bissetriz, determine Ŝ ados: Â H = 30º e Ĉ = 0º 30 S H 0

9 9 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 3) a figura, sabemos que H é a altura e S é a bissetriz relativas a do triângulo Se ˆ =70º e H Â S = 1º, determine Ĉ H S 33) Na figura, calcule o valor de 0 3) Na figura, calcule o valor de 0 3) Na figura, determine o valor de, β e γ F 130 E 3) No triângulo da figura abaio, ˆ = 0º e Ĉ =0º Qual o valor do ângulo H Â S formado pela altura H e a bissetriz S? β γ 3 ongruência de triângulos 31 efinição Um triângulo é congruente (símbolo ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que: Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro congruência entre triângulos é refleiva, simétrica e transitiva 0 0 H S ' ' ' ' ' ' ' ' ' e ˆ ˆ' ˆ ˆ' ˆ ˆ'

10 10 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 3 asos de congruência definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais Eistem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes São os chamados casos ou critérios de congruência 1º aso LL postulado Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então esses triângulos são congruentes Esquemado 1º caso: '' ' '' LL ' '' ' '' ' º aso L Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes Esquemado º caso: ' '' ''' ' L '' ' '' 3º aso LLL Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes º aso L O Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado,então esses triângulos são congruentes

11 11 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES aso especial: Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes 37) onsidere os triângulos T 1, T,, etc, abaio ssinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência: 3 70 T 1 T T 3 3 T T 3 T 1 0 T 7 T º 3) Nos casos a), b) e c) abaio, selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência: a) b) T 9 0 0º I 0º I T 10 3 T 11 º 3º 10 0º II º º 0º II III 0º 0º III º 0º T 1 0º c) I 13 II III 39) etermine o valor da incógnita (segmentos com marcas iguais são congruentes) a) b) c) 100º º d) = e) f) º

12 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Polígonos 1 efinição Seja (P 1, P,, P n) um conjunto ordenado de n pontos de um plano,, de modo que três pontos consecutivos n 3 quaisquer, P 1P P 3, P P 3P,, P n-1p np 1 e P np 1P sejam não-colineares, e considere os segmentos hama-se polígono P 1P P n à união dos segmentos e,, e os quais são chamados de lados do polígono, enquanto os pontos são os vértices do polígono ssim, cada figura abaio representa um polígono, e cada um deles corresponde a um conjunto ordenado de cinco pontos (P 1, P, P 3, P, P ) P 1 P P P 3 Pn 1 P n P n P 1 P 1 P, P P 3, Pn 1 P n e P n P 1 P 1 P P 1 P P 1 P P 3 P P P P 3 P P 3 figura 1 figura figura 3 Um polígono é também chamado de contorno poligonal fechado ois lados de um polígono são consecutivos quando têm uma etremidade comum Por eemplo: P 1 P e P P 3, ou P 1P e P np 1 Um polígono é simples, se quaisquer dos lados não-consecutivos não se interceptam ssim, as figuras 1 e representam polígonos simples figura 3 não representa um polígono simples Esse tipo de polígono é chamado de polígono estrelado ou polígono entrelaçado O nosso estudo limita-se apenas aos polígonos simples, que serão daqui por diante chamados simplismente de polígonos Num polígono, o número de vértices é igual ao número de lados Perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono Nomenclatura e acordo com o número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais 3 Triângulo Quadrilátero Pentágono Heágono 7 Heptágono Octógono 9 Eneágono 10 ecágono 11 Undecágono 1 odecágono 13 Tridecágono 0 Icoságono 3 Polígono onveo Um polígono é conveo se sua região poligonal é um conjunto conveo de pontos, ou seja, o segmento que liga dois pontos quaisquer desse conjunto está contido nele ssim o polígono E da figura é um polígono conveo P P E aso contrário, é chamado de não-conveo ssim, o polígono FGHL é um polígono não-conveo

13 13 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES F L Ângulos de um polígono conveo G H Ângulo interno de um polígono é conveo é um ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono Ângulo eterno de um polígono conveo é um ângulo adjacente a um ângulo interno desse polígono E Na figura, o ângulo é um ângulo interno, e o ângulo E é um ângulo eterno do quadrilátero ecorre dessas definições que E 10º Ângulos internos soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conveo de n lados é Unindo um dos vértices aos outros n 3, convenientemente escolhidos, obteremos n triângulos soma das medidas dos ângulos internos do polígono é igual a soma das medidas dso ângulos internos dos n triângulos Portanto: Si = (n ) 10º n 10º ssim, um quadrilátero é decomposto em triângulos, um pentágono, em três triângulos, e assim por diante P 1 P i i 1 i 7 P 7 Ângulos eternos i 3 P 3 i i P P i P Em todo polígono conveo, tomando-se um ângulo eterno para cada vértice, a soma de suas medidas é 30º e P i P 3 i 3 e 3 e 1 P 1 i 1 i P e 7 P 7 i 7 e i P i e P e omo cada ângulo eterno é suplementar do ângulo interno adjacente, a soma dos ângulos internos com os ângulos eternos dá 10º n Subtraindo a soma dos ângulos internos, que é (n ) 10º, resulta que a soma dos ângulos eternos é 10º, ou seja, 30º onclusão: Se = 30º 7 Polígono regular

14 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Um polígono é equilátero se possui os lados congruentes entre si, e equiângulo, se possui os ângulos congruentes entre si ssim, o quadrilátero da figura 1 é equilátero e o da figura é equiângulo figura 1 figura Um polígono conveo é regular se ele é equilátero e equiângulo Observação: Num polígono regular eiste um ponto que dista igualmente dos vértices; ele é chamado centro do polígono Ângulos num polígono regular Ângulo interno Um polígono regular é equiângulo Sendo a i a medida de um ângulo interno, como ele é suplementar do ângulo eterno, temos: ai = S i n a i (n ) 10º n Ângulo eterno Os ângulos eternos têm medidas iguais Sendo a e a medida de um ângulo eterno, temos: 30º a e n iagonal diagonal de um polígono é um segmento cujas etremidades são vértices não-consecutivos desse polígono Nas figuras abaio, os segmentos E e E são diagonais dos polígonos E E Número de diagonais Se um polígono tem n lados, então ele possui n(n 3) diagonais Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 1 diagonais G

15 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Nota: Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice 0) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um heágono che: a) O polígono; b) O total de diagonais; c) soma dos ângulos internos; d) soma dos ângulos eternos; e) medida de cada ângulo interno e de cada ângulo eterno 1) alcule a soma dos ângulos internos de um eneágono ) alcule a soma dos ângulos internos de um decágono 3) alcule a soma dos ângulos internos de um icoságono ) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 100º? ) alcule o número de diagonais de um decágono ) alcule o número de diagonais de um icoságono 7) etermine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados ) etermine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados 9) etermine o polígono que tem 9 diagonais distintas Ângulos na circunferência 1 Ângulo central É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência O = medida de um ângulo central é igual a medida do ângulo que ele energa Ângulo inscrito É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas V = Observação: medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco que ele energa Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto Δ é retângulo O 3 Ângulo de vértice interno V

16 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES = + medida de um ângulo de vértice interno a circunferência é igual a semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados Ângulo de vértice eterno = V medida de um ângulo de vértice eterno a circunferência é igual a semidiferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados Ângulo de segmento V = O medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco por ele determinado 0) Nas figuras, calcule o valor de : a) b) 10º 1) etermine o valor do ângulo nos casos: a) b) c) 30º 3 10º 0º 70º 10º d) e) f) 100º 1º 110º 0º º ) alcule nas figuras: a) b) c) 0º P O 10º 13º O 3º P 3) Na figura, o arco é igual a 100 e o arco N mede 30 alcule o valor de

17 17 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES N ) Na figura, sendo = 0, calcule o valor de P O Quadriláteros 1 efinição e elementos Quadrilátero é o polígono de quatro lados Elementos principais Soma de ângulos internos soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 30º a b c vértices: são os pontos,,,e ; lados: são os segmentos,, e ; ângulos internos: são os ângulos,, e ; ângulos eternos: são os ângulos a, b, c e d; diagonais: são os segmentos e d = 30º 3 lassificação Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero qualquer 31 Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos Valem as seguintes propriedades: 1ª) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes e ª) Os ângulos opostos são congruentes ˆ ˆ e ˆ ˆ 3ª) s diagonais cortam-se no ponto médio e Paralelogramos notáveis

18 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Figura efinição Propriedade Propriedade: Retângulo Losango Quadrado É o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º s diagonais são congruentes 3 Trapézio É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes entre si s diagonais cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si ponto médio H ponto médio // e É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes entre si s diagonais são congruentes, cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices é denominado base maior é denominado base menor H é denominado altura N = + N Escaleno Isósceles Retângulo Figura Propriedade Possui o par de lados opostos nãoparalelos não congruentes entre si, Os lados não-paralelos são congruentes entre si, Um doa lados opostos nãoparalelos é perpendicular às bases ) etermine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale metros e que a base ecede em m o triplo da altura ) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110 etermine o maior ângulo do trapézio 7) soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a 13 da soma dos outros dois ângulos opostos etermineos ) diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual a terça parte de um reto etermine os quatro ângulos do losango 9) alcule os lados de um paralelogramo, sabendo-se que o seu perímetro mede m e que a soma dos lados menores representa da soma dos lados maiores 0) etermine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois consecutivos é igual a 9 1 da soma dos seus ângulos 1) bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de º etermine o valor dos ângulos agudos

19 19 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES ) base maior de im trapézio isósceles mede 1cm e a base menor cm alcule o comprimento dos lados não paralelos, sabendo-se que o perimetro é de 0cm 3) alcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 0cm, sabendo-se que a base ecede a altura em cm 7-Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo 71 ediana de um triângulo ediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto Na figura, é uma mediana do Δ Um triângulo tem três medianas s três medianas cruzam-se num ponto G, denominando baricentro do triângulo 3 7 issetriz G 1 G = G G G bissetriz do ângulo  intercepta o lado oposto no ponto O segmento denomina-se bissetriz interna relativa ao vértice s três bissetrizes de um ângulo cruzam-se num mesmo ponto I, denominado de centro do triângulo O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo 73 ltura ltura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado Na figura H é uma altura do Δ F I E H H Um triângulo tem três alturas e o ponto de encontro das alturas é o ortocentro 7 ediatriz ediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio Na figura, a reta m é a mediatriz de m O ediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do Δ m

20 0 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES Um triângulo tem três mediatrizes O centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, isto é, o ponto de encontro das mediatrizes P O N ) Sendo G o baricentro do triângulo, determine, y, z G = 10 G = y G = 1 y G z ) Se o quadrilátero é um paralelogramo e é o ponto médio de, determine P = 1 P = P ) Sendo H o ortocentro de um triângulo e Ĥ = 10º, determine  7) Sendo H o ortocentro de um triângulo isósceles de base e Ĥ = 0º, determine os ângulos do triângulo ) Se P é o incentro de um triângulo e Pˆ = 1º, determine  9) Sendo o Δ retângulo em e o ponto médio de, calcule e y a) b) 3 y 1 y/3 0º c) d) issetriz 0º y ltura y 0º 70) Na figura, Q é o ponto médio de QP é paralelo a Sendo = 30cm, determine PO P O Q 71) Na figura, é retângulo, é o ponto mádio de e o triângulo é equilátero Sendo = 1, calcule P

21 1 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 7 Teorema de Tales Um feie da paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais P t 1 t r 1 E F r r 3 r1 // r // r3 t1 e t são transversais = E EF 7) etermine o valor de em cada caso abaio, sendo r, s, e t retas paralelas: a) b) r r s 9 s t t c) r d) r s t s 9 t 3 73) Nas figuras, as retas r, s, e t são paralelas etermine os valores de e y a) b) r c) r s s t t y r s t 7) Na figura, N é paralela à base do triângulo alcule o valor de N 1

22 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 7) Um feie de paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem cm, cm e 9cm, respectivamente etermine os comprimentos dos seguimentos que esse mesmo feie determina sobre uma outra transversal, sabendo que o seguimento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 0cm 7 Teorema da bissetriz interna onsidere o Δ e a bissetriz interna ao vértice a figura, temos: = bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados 7) Se S é a bissetriz de Â, calcule nos casos: a) b) c) S 3 S 77-Teorema da bissetriz eterna 77) Se P é bissetriz do ângulo eterno em, determine a) b) 1 S P P 1 7) Na figura, é bissetriz eterna do ângulo  alcule 3 -Semelhança de triângulos 1-efinição: ois triângulos são semelhantes se, e somente se,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais ˆ ˆ' ~ ' ' ' ˆ ˆ' e ˆ ˆ' ~:SEELHNTE: ois lados homólogos (homo = mesmo,logos = lugar)são tais que um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes Razão de semelhança Sendo k a razão entre os lados homólogos, = k, é chamado razão de semelhança de triângulos ' ' '' '' Se k = 1, os triângulos são congruentes 79) Os triângulos e PQR são semelhantes etermine e y R y 0 P 10 Q ' ' '' ''

23 3 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 0) Se o ΔKL é semelhante as ΔFGH, determine K 1 1 F L 1) Se E é paralelo a, determine nos casos: a) b) = E 3 3 G E 7 H ) Se = β, determine e y nos casos: a) b) y 1 3) etermine e y nos casos: a) b) β 10 β y ) Na figura abaio, determine o valor de y y S 10 R ) Nas figuras, determine a) b) ) ada a figura, determine o valor de E 0 7) Na figura abaio, consideremos os quadrados de lados, e 9 etermine o perímetro do quadrado de lado

24 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 9 ) eterminar a medida do lado do quadrado da figura abaio: E F 9-Relações étricas no Triângulo Retângulo 9) omplete durante a aula: a) y = b) uv = c) y = d) vz = e) +y = v w u y 90) alcular nas figuras: z a) b) c) ) Na figura, o triângulo é retângulo em alternativa correta é: a) h = 3; = e y = 0 b) h = 1,; = 1, e y = c) h = 1; = 1 e y = 0 y d) h = 3,; =, e y = h e) h = 10; = e y = ) (UÁ) No Δ retângulo em, o cateto vale m Sua projeção H sobre a hipotenusa vale m alcular o 13 valor da hipotenusa e do cateto 13 H 93) (PU) Na figura abaio, os segmentos são medidos em m O seguimento de vale:

25 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES a) 11m b) 10m c) impossível, pois 3 não tem raiz eata d) 7m e) nda 13 9) (PU) Sabendo-se que o triângulo é retângulo e H = h é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas: a) = bc b) = hc c) d = bd d) h = bc e) nda 10 Área das figuras planas a) Quadrado b c = aa = a a b) Retângulo a = ab a b c) írculo = πr, onde π = 3,1 r d) Paralelogramo h = bh e) Losango b = d d f) Trapézio b h = ( + b) h g) Triângulo = bh h b 9) etermine a área dos polígonos nos casos abaio, sendo o metro a unidade das medidas indicadas

26 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES a) quadrado b) retângulo c) paralelogramo 3 d) losango e) quadrado f) losango g) trapézio h) paralelogramo i) 3 10 j) k) l) 10 9) etermine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas a) b) c) ) área de um retângulo é de 0cm e sua base ecede em cm sua altura etermine a altura do retângulo 9) Um retângulo tem cm de área e 0cm de perímetro etermine suas dimensões 99) base de um retângulo é o dobro de sua altura etermine suas dimensões, sendo 7cm sua área 100) s bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, cm e 1cm etermine a área desse trapézio, sabendo-se que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm 101) Uma das bases de um trapézio ecede a outra em cm etermine as medidas dessas bases, sendo 0cm a área do trapézio e cm a altura 10) etermine o lado de um quadrado, sabendo-se que, se aumentarmos seu lado em cm sua área aumenta 3cm 103) etermine a área de um triângulo equilátero com: a) perímetro de 30m b) altura de m 10) etermine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos: a) b) c) m 1m d 10) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaio: a) b) 0º 70º c) d)

27 7 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 10) alcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilátero dado é um quadrado a) b) c) a a a 107) alcule a área da superfície sombreada a) b) c) a a a 10) etermine a área sombreada, nas figuras abaio, sabendo que os três quadrados têm lado medindo cm a) b) c) 109) etermine a área da região sombreada a) b) Geometria Plana - Gabarito 1) a) 31º 10 b) 111º3 c) 7º30 d) 31º e)º1 3 ) a) º 1 b) º 3) a) 1º b) 10º c) º 30 d) 39º 9 1 ) a) 1º b) 31º ) a) 3º 7 b) 10º 30 c) 10º 3 ) a) 0º b) º c) 0º d) 3º e) º 7) a) º b) 30º ) a) º b) 3º 9) a) 10º b) 39º 10) Em classe 11) 0º 1) 7º 30 13) 7º 1) 3º 1) 3º 1) 70º 17) 0º e 10º 1) 1º 19) = 10º e y = 10º 0) 7º 1) 100º ) º 3) 100º ) º ) a) 110º b) º,70º c) 70º ) 1º 7) º ) = 70º e y = 1º 9) 130º 30) ˆ = 70º e Ĉ = 0º 31) 110º 3) 0º 33) 0º 3) 70º 3) = 0º, β = 0º, γ = 0º 3) 0º 37) Em classe 3) a) Não há caso de congruência b) I = III (L) c) I = III (aso especial) 39) a) 30º b) º c) 0º d) 3º e) 10º f) º 0) Em classe

28 RESUO E TETI PROF RNILO LOPES 1) 10º 1) a) 1 b) 0 ) 10º ) a) 9, 3/3 b) 7, 10 3) 30º 3) a), 10/3 b) 1/, ) odecágono (1 lados) ) ) 3 ) a) /3 b) 1 ) 170 ) / 7) Eneágono (9 lados) 7) 1 ) Undecágono (11 lados) ) 1/ 9) Heágono ( lados) 9) Em classe 0) a) 3º b) 10º 90) a) 1 b) 7 c) 1) a) 3º b) 100º c) 0º d) º e) 0º f) 0º 91) ) a) 0º b) 90º c) º 9) = 13m = 1m 3) 3º 93) ) 0º 9) ) 109cm e 3cm 9) a) 3m b) 0m c) 1m ) 130º d) m e) 3m f) 0m g) 0m 7) 0º, 130º, 0º, 130º h) 1m i) 1m j) 1m ) 0º, 10º, 0º, 10º k) 1m l) m 9) 30m e 1m 0) 70º, 110º, 70º, 110º 9) a) 0m b) m c) 1 1) 70º, 110º, 70º, 110º ) 10cm 3) 1cm e cm ) = 7, y = 1, z = ) Trace a diagonal e P é o baricentro do triângulo, = ) 30º 7) º, º, 130º ) 70º 9) a) = 0º e y = 0º b) = º e y = 3º c) = 30º e y = 1º d) =0º e y=70º 70) Em classe 71) 10, note que P é baricentro do triângulo 7) a) 3 b) 1 c) 1 d) 73) a) = 10/3 b) = / c) = 10/3 e y = 1/ 7) 7) = 1cm, y = 1cm e z = 7cm 7) a) b) 1 c) 0/3 77) a) 1 b) 7) 79) 1, 1 0) 97) cm 9) cm, cm 99) 1cm, cm 100) m 101) 10cm, cm 10) cm 3 m b) 1 3 m 103) a) 10) a) π m, 10π m b) 3π m, 1π m c) d, πd 10) a) π m b) 7π m c) 30m d) 1m 10) a) ( )a b) ( )a c) 11 3 m ( )a ( )a ( )a ( )a 107) a) b) c) ( ) 10) a) cm b) (π - ) cm c) ( - π) cm 109) a) 100( - π) b) ( 3 - π)