MA13 Geometria I Avaliação

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1 13 Geometria I valiação SOLUÇÕS Questão 1. (pontuação: 2) O ponto pertence ao lado do triângulo. Sabe-se que = = e que o ângulo mede 21 o. etermine a medida do ângulo. 21 o omo =, seja = =. O ângulo é eterno do triângulo. ntão, = 21 o + =, pois =. o triângulo temos 21 o o + + = 180 o, ou seja, = 46 o. O ângulo mede 21 o + 21 o + = 42 o + 46 o = 88 o. Questão 2. (pontuação: 2) Quadrados foram construídos sobre os lados de um paralelogramo como mostra a figura abaio. centros desses quatro quadrados são vértices de outro quadrado. ostre que os G H y

2 o paralelogramo os quadrados construídos sobre os lados,, e têm centros,, G e H, respectivamente. Os triângulos,, G e H são retângulos e isósceles. O primeiro e o terceiro são congruentes e o segundo e o quarto são também congruentes. Sejam = e = dois ângulos internos vizinhos do paralelogramo. Sabemos que + = 180 o. Observemos que H = 45 o o = 90 o + e que HG = 360 o 45 o 45 o = 270 o (180 o ) = 90 o + = H. Reunindo as informações anteriores concluímos que os triângulos H, HG, G e são todos congruentes e, portanto, H = HG = G = e o quadrilátero GH possui os quatro lados iguais. a congruência dos triângulos H e HG temos H = HG = e seja H = y. Por um lado, H + H = + y = 90 o, pois o ângulo H é reto. Por outro lado, HG = HG + H = + y = 90 o. ssim, o quadrilátero GH possui os quatro lados iguais e um ângulo reto. Logo, é um quadrado. Questão 3. (pontuação: 2) o triângulo de lados = 8, = 7 e = 9, os pontos e dos lados e, respectivamente, são tais que o segmento é tangente à circunferência inscrita no triângulo. ostre que o perímetro do triângulo é constante e calcule seu valor. y z P R Q Sejam =, = y e = z os lados do triângulo. Temos = 8 e = 9 z. omo o quadrilátero é circunscritível temos, pelo teorema de Pitot (Unidade 7, Teorema 4), + = +

3 ou seja, 7+y = 8 +9 z. Logo +y +z =. Portanto o perímetro do triângulo é igual a, independente da posição do segmento. Outra solução: circunferência inscrita em é uma circunferência eiscrita ao triângulo. Sabemos que o semiperímetro do triângulo é o segmento P que é constante, ou seja, não depende da posição do segmento (Unidade 7, Proposição 22). azendo P = R = a, P = Q = b e Q = R = c, temos as equações: a + b = 8 b + c = 7 c + a = 9 Resolvendo, encontramos a = 5 que é o semiperímetro do triângulo. Logo, o perímetro de é. Questão 4. (pontuação: 2) o trapézio os ângulos e são retos, = 12, = 4 e =. O ponto pertence ao lado e o ponto pertence ao lado. Sabe-se que as retas e são paralelas e que o segmento fica dividido em três partes iguais pelas diagonais do trapézio. alcule a distância entre as retas e. O problema tem duas soluções pois há duas possibilidades: quando está abaio do encontro das diagonais do trapézio e quando está acima do encontro das diagonais do trapézio. Qualquer uma das soluções está igualmente correta. Primeira situação: 4 P Q m m m 12

4 a figura acima, seja =. ntão, =. omo as diagonais dividem em três partes iguais sejam m P = P Q = Q = m. a semelhança dos triângulos P e temos: 4 = m = 2 5. a semelhança 2m dos triângulos Q e temos: 12 = m = 3( ) 5. Igualando temos 2 = 3( ), o que dá = 6. Segunda situação: 4 P Q m m m 12 a figura acima, seja =. ntão, =. omo as diagonais dividem em três partes iguais sejam 2m P = P Q = Q = m. a semelhança dos triângulos Q e temos: = 4 m = 5. a semelhança dos triângulos P e temos: m = 12 m = 12( ). Igualando obtemos = Questão 5. (pontuação: 2) figura abaio mostra o triângulo acutângulo inscrito na circunferência de centro O. reta é perpendicular em a e encontra a circunferência em. reta é perpendicular em a e encontra a circunferência em. s alturas e intersectam-se em H, ortocentro do triângulo. a) ostre que H =. b) ostre que é perpendicular a O.

5 H O a) onsiderando a figura acima, sejam H = e H =. omo o ângulo H é reto então e são complementares. Temos H = (oposto pelo vértice de H) e H = pois o ângulo H é reto. screvemos = H =. omo os ângulos inscritos e subtendem o mesmo arco, então são iguais, ou seja, =. Os triângulos retângulos H e são congruentes. ssim H =, como queríamos demonstrar. b) O Os arcos e são iguais porque = =. omo arcos iguais subtendem cordas iguais o ponto equidista dos pontos e. ntretanto o ponto O, centro da circunferência também equidista de e. ssim, e O são pontos da mediatriz do segmento o que significa dizer que a reta O é a mediatriz do segmento. Logo, O é perpendicular a.