Aula 12 Introdução ao conceito de área

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1 MÓULO 1 - UL 1 ula 1 Introdução ao conceito de área Objetivos Introduzir o conceito de área de uma figura plana presentar as fórmulas para o cálculo da área de algumas figuras planas Introdução entre as figuras abaixo, qual você diria que é a maior? Fig. 8: Figuras planas. Note que os formatos das figuras são diferentes. Quando se trata de figuras semelhantes, é natural saber qual é a maior, mas para comparar o tamanho de figuras de formatos diferentes é preciso um cuidado especial. Nesta aula vamos iniciar o estudo de áreas de figuras planas. Vamos ver que o conceito de área nos permitirá decidir qual o tamanho do espaço que uma figura ocupa no plano. Vamos primeiro ver alguns exemplos. onsidere uma parede quadrada e suponha que um pintor utilize uma lata de tinta para pintar tal parede. É claro que a quantidade de tinta necessária para pintar uma parede depende do tamanho da parede. Se o pintor cobre as paredes com camadas de tinta sempre da mesma espessura, então a quantidade de tinta para pintar uma parede fica bem determinada. Tal quantidade de tinta pode ser vista como uma medida do tamanho da parede. 145 RJ

2 evemos concordar que: ada qualquer parede, utiliza-se uma quantidade bem determinada de tinta para pintá-la (com uma camada de tinta da espessura referida). Se duas paredes têm o mesmo tamanho e a mesma forma (ou seja, são congruentes), utiliza-se a mesma quantidade de tinta para pintar cada uma delas. Se uma parede é a união de dois pedaços de parede, de forma que esses dois pedaços se juntam apenas em beiradas, então a quantidade de tinta necessária para pintar tal parede é a soma das quantidades de tinta necessárias para pintar cada pedaço. Vejamos um outro exemplo. Suponha que um agricultor utilize uma porção de sementes para semear um terreno que tem a forma de um quadrado. ado qualquer outro terreno de qualquer tamanho e forma, é claro que existe uma quantidade bem determinada de sementes necessária para semeá-lo (com a mesma concentração de sementes do primeiro). ssa quantidade de sementes, comparada com a quantidade de sementes para semear o terreno quadrado, dá uma medida de quão maior (ou menor) esse terreno é em relação ao primeiro. evemos concordar que: ado qualquer terreno, existe uma quantidade bem determinada de sementes necessária para semeá-lo. Para semear dois terrenos congruentes (mesmo tamanho e forma), utilizase a mesma quantidade de sementes em cada um deles. Se um terreno é dividido em dois pedaços, a quantidade de sementes necessária para semear o terreno é a soma das quantidades de sementes necessárias para semear cada pedaço. om relação ao primeiro exemplo anterior, o pintor gasta uma lata de tinta para pintar uma parede quadrada. ntão, se um pintor utiliza 3,5 latas de tinta para pintar uma determinada parede, pode-se dizer que esta parede é 3,5 vezes maior que a parede quadrada inicial. izemos que a área da parede é 3,5. ssim, para determinar a área de uma parede, bastaria pintá-la e verificar a quantidade de tinta utilizada. RJ 146

3 MÓULO 1 - UL 1 a mesma forma, se um agricultor utiliza 1 porção de semente para semear um terreno quadrado e utiliza 5,8 porções de sementes para semear um determinado terreno, pode-se dizer que tal terreno é 5,8 vezes maior que o terreno quadrado inicial, ou que esse terreno ocupa 5,8 vezes mais espaço que aquele. izemos que a área do terreno é 5,8. ssim, para determinar a área de um terreno, bastaria semeá-lo e verificar a quantidade de sementes utilizada. Na prática, porém, deseja-se muitas vezes fazer o caminho contrário: o pintor gostaria de saber o quanto de tinta seria necessário comprar para pintar uma parede, e o agricultor gostaria de saber quantas porções de sementes vão ser necessárias para semear um dado terreno. evemos, então, ser capazes de determinar a área de paredes e terrenos sem que seja necessário recorrer a métodos práticos, como pintar ou semear. Para isso, fixamos uma unidade de comprimento, e escolhemos um quadrado de lado 1 como unidade de medida de área. izemos que esse quadrado tem área igual a 1: se o lado do quadrado mede 1cm, por exemplo, sua área é 1cm (lê-se um centímetro quadrado ), se o lado do quadrado mede 1m, sua área é 1m ( um metro quadrado ), e assim por diante. determinação da área das figuras planas será feita com base nas três propriedades a seguir: P 1 : Toda figura plana limitada tem uma área. medida da área é expressa por um número real positivo. P : Figuras planas congruentes têm a mesma área (por exemplo, dois triângulos congruentes ou dois círculos de mesmo raio). P 3 : Se uma figura plana F é a união de duas figuras planas F 1 e F, onde F 1 e F se intersectam somente em linhas, então a área de F é a soma das áreas de F 1 e F. Partindo dessas propriedades, vamos fazer o cálculo da área das principais figuras planas. Primeiramente, tomemos o quadrado que escolhemos como unidade de área. Se dividirmos os lados do quadrado em três partes iguais, e traçarmos paralelas aos lados, estaremos dividindo o quadrado inicial em nove partes iguais (veja a figura 9). 147 RJ

4 Observe que... Na figura 30, quando l e h são números naturais, o retângulo contém exatamente l h quadrados de lado 1. Fig. 9: Figura para o cálculo da área de um quadrado. omo todas as nove partes são congruentes, pelas propriedades anteriores, cada uma delas tem área igual a um nono da área do quadrado inicial. omo consideramos a área do quadrado inicial igual a 1, cada uma das partes obtida terá área igual a 1 9. m geral, dividindo-se os lados do quadrado inicial em n partes iguais, e traçando-se paralelas aos lados, como no exemplo, obtém-se n quadrados de mesma área. ada um dos quadrados obtidos terá área igual a 1 n. om isso provamos que a área de um quadrado cujo lado mede 1/n é igual a 1 n. eterminaremos agora a área de um retângulo cujos lados medem l e h (veja a figura 30). Indicaremos tal área por. h l Fig. 30: Figura para cálculo da área de um retângulo. Para fazer o cálculo da área, vamos escolher um número natural n e verificar quantos segmentos de comprimento 1 cabem nos segmentos n e. Pelas extremidades desses segmentos, traçamos retas paralelas aos lados do retângulo. Seja p o número de segmentos de comprimento 1/n que cabem em e q o número desses segmentos que cabem em (na figura 31, por exemplo, tem-se p = 7 e q = 4). Note que nesta figura 31, tomada como exemplo, temos 4 segmentos de comprimento 1/n estão dentro de, enquanto que o quinto segmento não está totalmente contido em. O mesmo tipo de situação ocorre no segmento (7 segmentos dentro e um oitavo saindo). RJ 148

5 MÓULO 1 - UL 1 1 n h 1 n l Fig. 31: álculo da área do retângulo. ntão, de modo geral, num retângulo genérico, teremos as seguintes desigualdades envolvendoseus lados: p 1 n l < (p + 1) 1 n e q 1 n h < (q + 1) 1 n. Usando as desigualdades acima concluímos que pq 1 n lh < (p + 1)(q + 1) 1 n. () Por outro lado, considerando o retângulo globalmente, existem pq quadrados de lado 1/n inteiramente contidos no retângulo (marcados na figura 31). omo cada um desses quadrados tem área 1/n, concluímos que a área do retângulo satisfaz pq 1 n. (3) lém disso, o retângulo está inteiramente contido no retângulo formado pela união dos (p + 1)(q + 1) quadradinhos (veja de novo a figura 31), e, portanto < (p + 1)(q + 1) 1 n. (4) Juntando as inequações (3) e (4), obtemos pq 1 n < (p + 1)(q + 1) 1 n. (5) as inequações () e (5), vemos que os dois números compreendidos entre pq 1 n e (p + 1)(q + 1) 1. isso concluímos que n e lh estão lh < (p + 1)(q + 1) 1 n pq 1 n = (p + q + 1) 1 n. 149 RJ

6 omo p n l, q n h e 1 n 1, concluímos que lh < (l + h + 1) 1 n. última desigualdade vale qualquer que tenha sido a escolha inicial de n. om, se o n for escolhido muito grande, o lado direito da inequação será muito pequeno, e a única possibilidade para que a inequação seja verdadeira para qualquer escolha de n é se lh = 0 (lembre-se de que um módulo nunca é negativo). aí, tem-se = lh. Provamos assim a seguinte proposição: Proposição 7 área de um retângulo é o produto da medida da base pela medida da altura. Área de um triângulo Você conhece como calcular a área de um retângulo. Vamos partir para outras figuras geométricas? a) Triângulos Retângulos onsidere um triângulo retângulo, com ângulo reto no vértice e portanto com catetos b = e c =. ntão Área = b c. prova desta fórmula segue-se facilmente da observação que um triângulo retângulo é a metade de um retângulo cujos lados são os catetos do triângulo. Na figura 3, a seguir, está representado o triângulo retângulo como parte de um retângulo. ntão, b. c Fig. 3: Área = 1 Área = 1 b c. RJ 150

7 MÓULO 1 - UL 1 b) Área de um Triângulo Qualquer área de um triângulo arbitrário pode ser calculado como metade do produto de um lado (referido como base) pela altura do vértice oposto a este lado. Na figura 33 abaixo, temos dois triângulos que cobrem os dois casos possíveis para os triângulos. m relação à base do triângulo, com altura h em relação à base, temos situações onde o pé da altura pertence a base do triângulo ou está fora do segmento que representa a base. h h.. Fig. 33: No primeiro caso, Área = Área + Área = h + h = h. No segundo caso, Área = Área Área = h h = h. ntão em qualquer caso, a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. cabamos de provar uma proposição. Proposição 8 área de um triângulo é a metade do produto de uma base pela altura relativa a essa base. 151 RJ

8 Área de um Paralelogramo ntes de encontrarmos uma fórmula para calcular a área de um paralelogramo, vamos a algumas idéias de base. distância entre duas retas paralelas r e s é o comprimento do segmento obtido pela interseção das paralelas com uma reta perpendicular t. Veja a figura abaixo. t. r. s Fig. 34: Note que qualquer que fosse a reta perpendicular o resultado da distância entre as paralelas não muda. stamos em condições de provar a próxima proposição. Proposição 9 ado um paralelogramo, a área pode ser calculada pelo produto de um lado, pela distância deste lado ao lado oposto. Nota: distância referida acima é também denominada altura do paralelogramo. Prova: Observe a figura 35 abaixo, onde está representado um paralelogramo, a diagonal e a distância (altura) entre os lados opostos e. h. Fig. 35: RJ 15

9 MÓULO 1 - UL 1 ntão, Mas, Área = Área + Área. Área = 1 h, Área = 1 h. Note que h representa, ao mesmo tempo, a altura do triângulo relativa ao lado e a altura do triângulo relativa ao lado. omo =, então Área = h. Para concluir esta aula, vamos calcular a área de um tipo especial de quadrilátero: o trapézio. O trapézio, como vimos na aula 7, é um quadrilátero que possui dois lados paralelos. sses dois lados são chamados bases do trapézio. altura do trapézio é sempre tomada com relação às bases. Proposição 30 área de um trapézio é o produto da sua altura pela média aritmética das medidas de suas bases. Prova: Seja um trapézio cujos lados paralelos são e. Pelo ponto, tracemos a perpendicular à reta, obtendo o ponto F, e pelo ponto, tracemos a perpendicular à reta, obtendo o ponto, como na figura 36. uriosidade fórmula que os babilônicos usavam para calcular a área de um quadrilátero convexo qualquer era m() + m() m() + m().. Pode-se provar que essa fórmula só é correta no caso em que o quadrilátero é um retângulo. F Fig. 36: Prova da proposição 4. O quadrilátero F é um retângulo, e daí se conclui que os segmentos F e são congruentes. Sua medida é a altura do trapézio. Queremos provar que = m(f ) m() + m(). 153 RJ

10 Para isso, tracemos a diagonal, dividindo o trapézio nos triângulos e (veja a figura 37). F Fig. 37: Prova da proposição 4. Usando a fórmula da área do triângulo, que já deduzimos, e a propriedade P 3 de áreas, obtemos = + = 1 m()m() + 1 m()m(f ). que Lembrando que os segmentos e F são congruentes, concluímos = m(f ) m() + m(). Q... Resumo Nesta aula você aprendeu... O conceito de área. s fórmulas para o cálculo das áreas das seguintes figuras planas: retângulo, paralelogramo, triângulo e trapézio. RJ 154

11 MÓULO 1 - UL 1 xercícios 1. Se dois triângulos e F são semelhantes com razão de semelhança igual a k, mostre que F = k.. Na figura 38, é um retângulo, G// e HF//. H P F G Fig. 38: xercício. (a) Mostre que os retângulos F P e HP G têm a mesma área, qualquer que seja P. (b) etermine P para que F P tenha área máxima. 3. Na figura 39, F// e F = 0 cm. F Fig. 39: xercício 3. etermine. 4. Na figura 40, e F GH são quadrados, MF NR = 1 e QRP H = 4. I M F L Q R N J K H P G Fig. 40: xercício 4. etermine LIJK. 155 RJ

12 5. etermine a área de um losango, sabendo que o lado mede 5 cm e uma das diagonais mede 8 cm. 6. Na figura 41, é um quadrado, Q, m(r) = 3 cm, P QR = 75 cm e a altura de P relativa ao lado é igual a 4 cm. P R Fig. 41: xercício 6. Q etermine a medida do lado do quadrado. 7. Na figura 4, é um triângulo equilátero de lado medindo 4 cm, e GF é um quadrado. F G Fig. 4: xercício 7. etermine a área de GF. 8. Prove que as medianas de um triângulo determinam nele seis triângulos de áreas iguais. 9. Na figura 43, m() = 1 4 m(), m() = 1 m(), m(f ) = m() e = 0 cm. F Fig. 43: xercício 9. RJ 156 etermine a área de F.

13 MÓULO 1 - UL Na figura 44, é um paralelogramo de área igual a 10 cm e M é o ponto médio de. M Fig. 44: xercício 10. etermine M. 11. É possível determinar a área dos seguintes triângulos? m caso afirmativo, determine-as o 45 o (a) 6 (b) 30 o F Fig. 45: xercício (SGRNRIO-1977) inco quadrados de lado l formam a cruz da figura 46. Fig. 46: xercício 1. área do quadrilátero é: (a) 5l (b) 4l (c) 4 3l (d) 5l (e) 6l 157 RJ

14 13. (SGRNRIO-1980) base de um retângulo de área S é aumentada de 0% e sua altura é diminuída de 0%. área do novo retângulo formado é: (a) 1, 04 S (b) 1, 0 S (c) S (d) 0, 98 S (e) 0, 96 S 14. (U.MK-1980) altura do trapézio da figura 47 é Fig. 47: xercício 14. diferença entre as áreas dos triângulos assinalados é: (a) 1 (b) (c) 3 (d) 4 (e) (SGRNRIO-1985) Os triângulos e da figura 48 são retângulos isósceles. Fig. 48: xercício 15. razão vale: (a) 3 (b) (c) (d) 5 (e) (FGV-1988) m um triângulo isósceles, os lados de mesma medida medem e o ângulo formado por eles mede 10 o. área desse triângulo é: (a) (b) 1 (c) 1 (d) 1 4 (e) N.R.. RJ 158

15 MÓULO 1 - UL (UFRJ, 001) O retângulo está inscrito no retângulo W XY Z, como mostra a figura 49. X W θ Y Z Fig. 49: xercício 17. Sabendo que m() = e m() = 1, determine o ângulo θ para que a área de W XY Z seja a maior possível. 18. (UFF, 1996) figura 50 representa dois retângulos XY ZW e P QZX, de áreas S 1 e S, respectivamente. P X Y Q W Z Fig. 50: xercício 18. Pode-se afirmar que S 1 S é igual a: (a) 0, 6 (b) 0, 7 (c) 0, 8 (d) 0, 9 (e) 1, (UFF, 1999) Na reprodução de uma figura, a primeira cópia obtida reduziu em 30% a área dessa figura. seguir, essa cópia foi reproduzida com ampliação de 40%. comparada com a área da figura original, é: área da figura obtida na segunda cópia, (a) 98 % menor (b) 90 % maior (c) exatamente igual (d) % menor (e) 10 % menor 159 RJ

16 Herão de lexandria. 10 d d.. Herão de lexandria foi um importante pesquisador de Geometria e Mecânica. Um grande número de trabalhos de Herão tem sobrevivido até hoje, embora a autoria de alguns deles seja disputada. Os trabalhos estão relacionados com várias categorias: trabalhos técnicos, trabalhos sobre Mecânica e sobre Matemática. entre seus trabalhos podemos destacar o chamado Métrica, dividido em três volumes. No volume I, Herão calcula a área do triângulo usando as medidas dos lados e do semi-perímetro. onsulte: st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Heron.html 0. (Fórmula de Herão.) O objetivo deste exercício é provar a fórmula de Herão, segundo a qual a área de um triângulo de lados medidno a, b e c é dada por = p(p a)(p b)(p c) onde p = (a + b + c)/. Para isso, considere um triângulo com m() = c, m() = b e m() = a. Podemos supor que a é o maior dos três números a, b e c. Seja a altura de relativa a e sejam n = m(), m = m() e h = m() (veja a figura 51). c b h n m Fig. 51: xercício 0. Use o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos e para provar que m = b c + a a Use novamente o Teorema de Pitágoras para obter segue que h = [(a + b) c ][c (a b) ] 4a = 1 4 a h = [(a + b) c ][c (a b) ] 16 = a + b + c. a + b c. a b + c = p(p c)(p b)(p a). a + b + c RJ 160

17 MÓULO 1 - UL 1 1. etermine as alturas de um triângulo de lados medindo 3 cm, 5 cm e 7 cm.. Prove que o raio do círculo inscrito em um triângulo de lados medidno a, b e c é dado por r = (p a)(p b)(p c) p onde p = a + b + c. Sugestão: Use o incentro do triângulo para dividí-lo em três triângulos menores. ada um desses triângulos tem altura r. Use a fórmula de Herão. 3. Prove que o raio do círculo circunscrito a um triângulo de lados medindo a, b e c é dado por R = abc 4 p(p a)(p b)(p c) Sugestão: Seja um triângulo com m() = a, m() = c e m() = b. Seja a altura relativa ao lado e seja Γ o círculo circunscrito a. onsidere o triângulo, onde é diâmetro de Γ (veja figura 5). Fig. 5: xercício 3. Use a semelhança entre os triângulos e para obter bc R =. gora use a fórmula de Herão para obter m(). m() 161 RJ