MA13 Geometria I Avaliação

Transcrição

1 13 eometria I valiação 011 abarito Questão 1 (,0) figura abaixo mostra um triângulo equilátero e suas circunferências inscrita e circunscrita. circunferência menor tem raio 1. alcule a área da região sombreada. X Y O Seja O, o centro do triângulo equilátero e seja o ponto médio do lado como na figura acima. Pela propriedade do baricentro do triângulo, O O e como O 1 temos O. região cuja área se pede é formada por duas partes justapostas X e Y como mostra a figura. Observando que 3 X 3Y é a área da coroa circular formada pelas duas circunferências temos 3( X Y ) 1 3. Logo, X Y.

2 Questão O poliedro P que inspirou a bola da opa de 70 é formado por faces pentagonais e hexagonais, e é construído da seguinte forma: onsidere um icosaedro regular de aresta a (Fig. 1 abaixo). partir de um vértice e sobre cada uma das 5 arestas que concorrem nesse vértice, assinale os pontos que estão a uma distância de 3 a desse vértice. sses 5 pontos formam um pentágono regular (Fig. ). Retirando a pirâmide de base pentagonal que ficou formada obtemos a Fig. 3. Repetindo a mesma operação para todos os vértices do icosaedro obtém-se o poliedro P. Fig. 1 Fig. Fig. 3 (0,5) (a) Determine quantas são as faces pentagonais e quantas são as faces hexagonais de P. (0,7) (b) Determine os números de arestas, faces e vértices de P. (0,8) (c) Sabendo que uma diagonal de um poliedro é todo segmento que une dois vértices que não estão na mesma face, determine o número de diagonais de P. (a) ada face pentagonal de P apareceu onde havia um vértice do icosaedro. omo o icosaedro tem 1 vértices então P tem 1 faces pentagonais. ada face (triangular) do icosaedro deu origem a uma face hexagonal de P. omo o icosaedro tem 0 faces triangulares então P tem 0 faces hexagonais. (b) Do item anterior temos F 5 1 e F 0 O número total de faces de P é F F 5 F ontando as arestas temos: 5F 5 F , ou seja, 90. omo P é convexo então vale a relação de uler V F. Portanto, V 0. (c) Seja d n o número de diagonais de um polígono de n lados. O número de diagonais de um pentágono é d 5 5 e o de um hexágono é d 9.

3 soma dos números de diagonais de todas as faces é S F d F d Vamos agora construir todos os segmentos cujas extremidades são os V vértices do poliedro P. quantidade de diagonais de P é D V S ssim, D

4 Questão 3 Definição: Dado um segmento, o plano mediador desse segmento é o plano perpendicular a que contém o seu ponto médio. 1ª Parte (,0) Prove que um ponto P equidista de dois pontos e se, e somente se, pertence ao plano mediador de. Seja o ponto médio de e seja Π o plano mediador de. P Π (a) Suponha que P pertença a Π. Se P coincide com então equidista de e. Se não, como é perpendicular a Π então é perpendicular a P. omo é médio de então os triângulos retângulos P e P são congruentes. Logo, P P, ou seja, P equidista de e. P Q Π (b) Suponha que P não pertença a Π. Imaginemos, por exemplo e sem perda de generalidade, os pontos P e no mesmo semiespaço determinado por Π. omo está no semiespaço oposto a reta PQ corta Π em um ponto Q. omo Q então, pela parte a), Q Q. No triângulo PQ tem-se: ssim, P não equidista de e. P PQ Q PQ Q P.

5 ª Parte figura abaixo mostra o cubo D-F de aresta a. Sejam, N, P, Q, R e S os pontos médios das arestas, F, F,, D e D. (0,5) (a) ostre que esses seis pontos são coplanares. Sugestão: ostre que qualquer um deles pertence ao plano mediador da diagonal do cubo (a propriedade enunciada na primeira parte da questão pode ser utilizada mesmo que você não a tenha demonstrado). D F (0,5) (b) ostre que o hexágono NPQRS é regular. (1,0) (c) alcule o volume da pirâmide de vértice e base NPQRS. S R O Q F N (a) Tomemos o ponto, médio da aresta. Os triângulos e são congruentes, pois, 0 e 90 Logo, e, portanto, pertence ao plano mediador da diagonal. nalogamente, cada um dos outros pontos: N, P, Q, R e S também estão nesse mesmo plano. (b) ada lado do hexágono é a metade da diagonal de a uma face. Por exemplo, NP. Seja O, o centro do cubo. Todos os vértices do hexágono possuem mesma distância ao ponto O. distância do centro do cubo a qualquer aresta é a a metade da diagonal de uma face, ou seja,. Portanto, cada um dos triângulos ON, NOP,..., SO é equilátero e o hexágono é regular. (c) área do hexágono é omo a altura da pirâmide é a metade da diagonal do cubo temos a a 3 3a O volume da pirâmide é: V. 3 8 P a 3 4 a 3 O. 3 3a.

6 3ª Parte figura abaixo mostra o cubo D-F de aresta a. (1,0) (a) ostre que as retas D e são ortogonais. F (1,0) (b) alcule o comprimento da perpendicular comum entre D e. D Π Y D X (a) Seja Π o plano diagonal. omo é perpendicular ao plano D então é ortogonal a D. as é perpendicular a D (pois as diagonais de um quadrado são perpendiculares. omo D é ortogonal a e então D é perpendicular a Π. omo está contida em Π então D é ortogonal a. (b) Seja X o ponto onde D fura o plano Π. O ponto X é o centro da face D. Sobre o plano Π tracemos XY perpendicular a. Lembrando que D é perpendicular a Π então D é perpendicular a XY. ssim, XY é a perpendicular comum entre D e. Os triângulos retângulos YX e são semelhantes. Logo, XY X XY a a a 3 XY a