Resoluções das atividades

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1 Resoluções das atividades ódulo Geometria spacial I 01 tividades para sala Um plano divide o espaço em dois semiespaços opostos, dos quais ele é origem. Observe os casos: I. α 17 d 17 itágoras ( 17) = + d d = Á = rea = 1 m 0 compane: I. O é a projeção ortogonal de no plano da base, em que O é o centro do quadrado. II. β β O II. O é a projeção ortogonal de no plano da base. α O 0 III. projeção ortogonal de no plano da base coincide com o próprio segmento. I. = 1 = = 17 = ortanto, reunindo I, II e III, encontra-se a representação desejada na alternativa. 0 Observe que, para cada tetraedro retirado, surgirá uma face triangular no novo poliedro. ré-vestibular Livro 1

2 07 lanificação das faces destacadas om a retirada de quatro tetraedros vinculados a uma mesma face do cubo, surgirá uma nova face quadrada enor distância = = 15 m ssim: omo são vértices no cubo faces triangulares no novo poliedro. omo são faces no cubo faces quadradas no novo poliedro. 0 e acordo com a natureza do triângulo da base: 5 = + 5 triângulo da base é retângulo. Fazendo a comparação de áreas, segue o resultado: cateto cateto Área do triângulo = = semiperímetro raio Logo, = 10 r r = cm ( raio) ortanto, o novo poliedro tem 1 faces. 05 V: número de vértices F: número de faces triangulares : número de arestas omo toda aresta é comum a duas faces, escreve-se: = F = F elo Teorema de uler, é possível obter F. V + F = + + F = F + F = 0 Logo, conclui-se que: = F 0 = = risma exagonal regular 1 ltura = cm resta da base = 1 cm ortanto: Volume do prisma = (área da base) (altura) = V V = cm 1 = tividades propostas I. x = ( altura do equilátero) x = o II. tg 0 = = = m x 0 m um poliedro convexo toda aresta é comum a duas faces. essas condições: 1 faces pentagonais: 1 5 = 0 arestas 0 faces exagonais: 0 = 10 arestas Logo, = 10 = 90. ssim, calcula-se o número de vértices pelo Teorema de uler: V + F = + V + = 90 + V = 0 0º x x aricentro ré-vestibular Livro

3 0 om base no enunciado, tem-se a ilustração a seguir: r = ; = ; RS = s ã obasesm é dias. onsequentemente, //, // ers //. Logo, o plano RS é paralelo ao plano e o cubo fica dividido em dois sólidos iguais. t 0 d s figura a seguir mostra que três planos perpendiculares dois a dois determinam oito triedros trirretangulares. r e s são retas ortogonais. t é uma reta perpendicular a s e r. dista 15 m de t e 17 m de r. ntão: itágoras 17 = 15 + d d = m Veja que cada triedro admite uma única esfera de raio 10 cm tangente aos três planos. x 1 x 0 itágoras 0 (1 x) = 1 x x x = 19 x x = 10 x = 5 = 1 m 0º 1 θ ' 1 sen θ= = θ= S 1 V ': rojeção de 0º 07 ortanto, apenas oito esferas satisfazem a condição do problema. Sabe-se que, em um poliedro convexo, toda aresta é comum a dois vértices. ortanto: ntão: poliedro convexo Segunda Relação de uler: V + F = + 10 ângulos tetraédricos 10 = 0 arestas 1 ângulo pentaédrico 1 5 = 5 arestas 15 ângulos triédricos 15 = 5 arestas = = 5 R esse modo, encontra-se o número de faces do poliedro: V + F = + + F = 5 + F = 1. ré-vestibular Livro

4 0 ara que a quantidade de cores seja descoberta, deve-se, inicialmente, descobrir o número de faces do sólido formado. ubo: 11 Sabe-se que uma pirâmide possui uma única base. om isso, conclui-se que apenas lberto (figura 1) e Jorge (figura ) atenderam à solicitação da empresa. Observe. faces ovo poliedro: ada corte gera uma nova face. ( vértices > cortes > novas faces) Total de faces do novo sólido + = 1 faces Figura Figura 1 ntão, o total de cores (cor distinta das demais faces) que serão utilizadas na pintura é m um poliedro convexo, toda aresta é comum a duas faces. S = (V ) 0 (V ) 0 = 00 V = 1 omo F = 15, tem-se: V + F = + = 5. Supondo que x é o número de faces triangulares, e y é o número de faces quadrangulares, tem-se o seguinte sistema: x + y = 15 x + y = 50 Resolvendo o sistema, encontra-se x = 10 e y = 5, ou seja, o poliedro tem 5 faces quadrangulares. 10 I. F = II. < V < 1 III. V + F = + ( o uler) V = ntão, < < 1 1 < < Um octaedro é composto por faces triangulares. figura que representa o octaedro regular no quadro é a do ar. omo cada face do octaedro é um triângulo equilátero, têm-se, em torno de cada vértice, quatro ângulos de 0. ssim, a soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice é 0. aralelepípedo reto retângulo 79, m Volume do angar = 7 m,1 m V H = (área da base) (altura) = (79,) (7) (,1) = 10 9,1 m. 1 ltura = 0 cm risma exagonal regular resta da base = 10 cm ntão: I. Área lateral do prisma = (10 0) = 100 cm II. Área das bases do prisma = 00 = cm. III. Área total do prisma = ( ) cm 10 cm. ré-vestibular Livro

5 m virtude dos vincos, tem-se: Área total de uma embalagem = 1, ( 10 cm ) = 77 cm. ortanto: 500 embalagens 500 ( 77 cm ) = cm = 1, m. 15 ara determinar o quanto o nível da água subiu, basta escrever: 0 0 x = 00, em que x é a medida do deslocamento da água. ntão x = cm. essa forma, a água atingiu cm de altura no tanque. 1 e acordo com o enunciado, pode-se garantir que: 0 L 0 = L 0 0 = L 0 0 = L L = 0 cm 17 Volume do degrau = V d = (área da base) (altura) 0 15 V d = = cm Volume (0 degraus) = 0 V d = cm = 70 dm 1 o enunciado, tem-se: a = a = (aresta da base do prisma) ntão: Volume do prisma: V = a 10 V = 10 = 50 cm 9, cm = 9, ml ré-vestibular Livro 5