Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. Grupo I

Transcrição

1 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão1 rupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. Quantas faces e arestas tem essa pirâmide? () n faces e n arestas () n faces e n arestas () n + 1 faces e n arestas () n + 1 faces e n arestas. diagonal de um quadrado mede 10 cm. área desse quadrado é: () 10cm () 5cm () 50cm () 100cm. figura representa um quadrado [] de lado cm. Qual é o volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão uma volta completa em torno de. () 5π cm () π cm () 4π cm () π cm 4. Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, tem-se: () = () = 4 () = 4,5 () = 4 Professora: Rosa anelas 1 no Letivo 01/01

2 5. figura representa uma pirâmide regular hexagonal. scolha a afirmação verdadeira: V () reta V é aposta ao plano () Os planos V e V são secantes () () s retas V e V são não complanares s retas e são paralelas rupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato. 1. figura representa um cubo com m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler. 1.. Sabendo que a altura da pirâmide é 4 da aresta do cubo, determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada.. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado []. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: ada vértice do quadrado [] pertence a um lado do quadrado [] Os quatro triângulos retângulos [], [], [] e [] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor..1. Mostre que a área do quadrado [] é 0 dm. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

3 .. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 180 dm de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. etermine a distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide. NOT: dmita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [] é 0 dm.. figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais..1. etermine a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem... onsiderando agora que 1 I = desenhe um cubo e nele, com I todo o rigor, desenhe a secção produzida pelo plano I. 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

4 4.1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular. 4.. á elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza? Quais são? Justifique. 4.. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, prove que a área de cada face do tetraedro é e que a área total do tetraedro é. 5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? ormulário eometria Perímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura diagonal maior diagonal menor Losango: Trapézio: base maior + base menor altura perímetro Polígono regular: apótema írculo: π r, sendo r o raio do círculo Álgebra Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura Pirâmide e cone: 1 área da base altura 4 sfera: r π, sendo r o raio da esfera órmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma b b 4ac ± ax + bx + c = 0 : x = a Questão TOTL otação Professora: Rosa anelas 4 no Letivo 01/01

5 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão1 Proposta de resolução rupo I 1. () Numa certa pirâmide, a base tem n vértices. essa pirâmide tem n + 1 faces e n arestas. () diagonal de um quadrado mede 10 cm. área desse quadrado é 50cm.. () figura representa um quadrado [] de lado cm. O volume do sólido que se obtém quando os triângulos sombreados dão uma volta completa em torno de é o volume de dois cones com diâmetro da base = e altura = 1 ou seja 1 π V = π 1 1= cm 4. () Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, então o cateto que lhe corresponde no triângulo grande mede = e se = então o cateto que lhe corresponde no triângulo grande mede = 4. V 5. () figura representa uma pirâmide regular hexagonal. scolha a afirmação verdadeira: () reta V é aposta ao plano LS () Os planos V e V são secantes VRIR () s retas V e V são não complanares LS ()s retas e são paralelas LS rupo II 1. figura representa um cubo com m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler: Professora: Rosa anelas 5 no Letivo 01/01

6 Nº de faces = 9 Nº de vértices = 9 Nº de arestas =16 Relação de uler: = = 18 onclusão: Os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler. 1.. Sabendo que a altura da pirâmide é 4 da aresta do cubo, determinemos que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. Volume do cubo: V = = 7 cubo Volume da pirâmide: 1 7 = = 4 4 Vpirâmide O volume da pirâmide é 1 4 do volume do cubo ou seja é 5% do volume do cubo.. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [] com 6 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado []. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: ada vértice do quadrado [] pertence a um lado do quadrado [] Os quatro triângulos retângulos [], [], [] e [] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor..1. Mostremos que a área do quadrado [] é 0 dm começando por reproduzir os dois quadrados: x x omo x + x = 6 x = 6 x = dm plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [] temos: = + 4 = = 0 dm O que prova que a área do quadrado [] é 0 dm. Professora: Rosa anelas 6 no Letivo 01/01

7 .. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 180 dm de área e cuja altura é 48 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. aresta da base da pirâmide é 180 = 6 5 dm O lado do quadrado da peça é 0 = 5 dm ntão podemos desenhar a secção produzida na pirâmide passando pelo vértice e por dois pontos médios de lados opostos da base: a semelhança dos dois triângulos resulta: x 16 dm 5 = x = distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide é então = dm NOT: dmita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [] é 0 dm. V x x 6 5. figura representa um cubo com aresta 6 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais..1. eterminemos a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem. Observando a face superior do cubo verificamos que o lado do hexágono é cm por ser a diagonal de um quadrado de lado cm. h plicando o Teorema de Pitágoras a um dos 6 triângulos equiláteros em que podemos dividir o hexágono vamos determinar o apótema h: ( ) h + = h = 18 h = h = 4 4 Professora: Rosa anelas 7 no Letivo 01/01

8 área do hexágono é hexágono = = = = 7 cm onsiderando agora que 1 I = desenhe um cubo e nele, com todo o rigor, desenhemos a secção produzida pelo plano I. I 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo Justifiquemos porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular: e facto o poliedro tem 4 faces que são triângulos equiláteros geometricamente iguais por terem os lados iguais já que são diagonais faciais do cubo, além disso concorrem faces em cada um dos 4 vértices do cubo onde concorrem as diagonais do cubo. 4.. á elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza. São as arestas [] e [] pois estão nas faces da frente e de trás do cubo que estão desenhadas em verdadeira grandeza. 4.. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, provemos que a área de cada face do tetraedro é e que a área total do tetraedro é. Se a aresta do cubo é igual à unidade a sua diagonal facial medirá. altura de um triângulo equilátero cujo lado mede é 6 h = = e a área desse triângulo é ( ) = =. área total do tetraedro é total = 4 =. 4 Professora: Rosa anelas 8 no Letivo 01/01

9 5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, quatro bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? alculemos o volume do cilindro com r de raio da base e altura 8r. V = π r 8r = 8π r cilindro alculemos o volume de quatro esferas de raio r. 4 16πr V4esferas = 4 π r = alculemos então a fração do volume da embalagem representada pelo volume das bolas: 16πr 8πr = s esferas representam do volume da caixa cilíndrica. Professora: Rosa anelas 9 no Letivo 01/01

10 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão1 ritérios de classificação rupo I (50 pontos) ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos rupo II (150 pontos) Indicar o nº de faces Indicar o nº de vértices Indicar o nº de arestas Verificar a Regra de uler alcular o volume do cubo alcular o volume da pirâmide 5 alcular a percentagem pedida 5 presentar o resultado alcular a medida de cada parte do lado 5 alcular a área pedida Reconhecer a semelhança dos triângulos 5 alcular a altura da pirâmide pequena 5 alcular a distância pedida alcular a medida do lado do hexágono 5 alcular a medida do apótema do hexágono 5 alcular a medida da área 5 Professora: Rosa anelas 10 no Letivo 01/01

11 .. 15 esenhar corretamente o cubo 5 esenhar corretamente a secção Referir justificando que as faces são polígonos regulares e geometricamente iguais 10 Referir que concorre igual nº de faces em cada vértice Sim 5 Indicar as arestas 5 Justificar resta do cubo diagonal facial 5 Lado do triângulo área do triângulo 5 Área total do tetraedro Volume do cilindro 5 Volume das esferas 5 ração pedida 5 Total 00 Professora: Rosa anelas 11 no Letivo 01/01