935 MATEMÁTICA Prova escrita

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1 935 MATEMÁTICA Prova escrita PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Duração: 120 minutos Ano: ª fase - Junho 11º e 12º anos Identifique claramente os grupos e os itens a que responde e apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações). É interdito o uso de corretor. Dentro do enunciado encontrará uma folha de resposta, para responder às questões 2.d e 4.a e a outras que necessitem de papel quadriculado. As cotações da prova encontram-se na página 7. A prova inclui um formulário na página 8. Prova de 8

2 Grupo I 1. Num certo concelho do nosso país, um atelier de arquitetura vai facultar um estágio, durante as férias de verão, aos alunos do 11º ano das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geometria Descritiva. As classificações finais nas disciplinas de História da Cultura e das Artes e de Geometria Descritiva, obtidas pelos 50 alunos desse concelho que satisfazem as condições requeridas, foram tratadas estatisticamente. Os dados estão representados nos gráficos seguintes: História da Cultura e das Artes Geometria Descritiva Número de alunos Número de alunos Classificações Classificações a. Calcule a percentagem de alunos que teve 18 valores ou mais na disciplina de Geometria Descritiva. b. Indique a moda das classificações de Geometria Descritiva. c. Calcule a mediana das classificações de Geometria Descritiva. d. Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações, a Maria comentou: As médias das classificações a História da Cultura e das Artes e a Geometria Descritiva são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão. d1. Conclua que a Maria tem razão na primeira parte da sua afirmação, calculando a média da classificações de cada uma das disciplinas, com aproximação às décimas. d2. O João, que estava a tratar os dados juntamente com a Maria, comentou: Quando me disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes. Explique como poderá o João ter chegado àquela conclusão. Prova de 8

3 Grupo II 2. Na figura está representado um sólido composto por uma pirâmide quadrangular regular ABCDV assente numa das faces de um cubo ABCDEFGH. Sabe-se que a aresta do cubo mede 80 cm e a altura da pirâmide é metade da altura do cubo. A D V B C a. Para cada um dos pares de retas seguintes, indique a posição relativa dessas retas paralelas, concorrentes perpendiculares, concorrentes não perpendiculares ou não complanares: E H F G BC e EH AV e FG AV e EG AF e EB b. Represente, com indicação das medidas dos segmentos que o limitam, o corte que se obtém neste conjunto de sólidos, quando intersetado pelo plano que contém as arestas AV e AE. c. Determine a razão entre os volumes da pirâmide e do cubo. d. Escolha um referencial do espaço para este sólido e represente-o na Folha de resposta. Indique as coordenadas dos pontos V e H nesse referencial. 3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico xoy, a reta r de equação 3 y = x 6 4 a. Indique, pelas suas coordenadas, dois pontos da reta r. b. Comente a seguinte afirmação: A reta s, de equação y = 0,75x + 4, é concorrente com a reta r e intersetam-se no ponto P(4, -3). (continua na página seguinte) Prova de 8

4 Grupo II (continuação) 4. A imagem ao lado representa um painel com um bordado tradicional de Viana do Castelo, pertencente ao museu da Escola Josefa de Óbidos. O referido painel está ornamentado, a toda a volta, por um friso, cujo desenho é o seguinte. a. Identifique todas as simetrias do friso, e represente, no friso da Folha de resposta, os elementos necessários à sua definição. b. Comente a seguinte afirmação: Se um friso tem uma simetria de reflexão vertical, então tem infinitas simetrias de reflexão vertical. Prova de 8

5 Grupo III 5. Num determinado local do porto de Lisboa, foi medida a altura da água durante um período de 12 horas, com início às 7 horas de um determinado dia. Com base nos dados, encontrou-se o seguinte modelo, em que h representa a altura da água em decímetros e t representa o número de horas decorrido após o início da observação: h(t) = -0,05 t 3 + 0,48 t 2 + 1,8 t + 11,2 a. Qual era a altura da água no porto de Lisboa, no início da observação? Apresente o resultado com aproximação às décimas. b. Determine, em centímetros, a altura da água às 9 horas. c. Durante quanto tempo a altura da água foi superior a 2 metros? Apresente o resultado com aproximação às décimas. d. Qual a altura máxima da água? A que horas se verificou essa altura? Apresente os resultados com aproximação às décimas. e. A que horas a altura da água voltou a ser igual à altura verificada às 12 h? Apresente o resultado com aproximação aos minutos. Prova de 8

6 Grupo IV 6. Na figura está representada a planificação de um poliedro ABCDEF. Sabe-se que: C D BCDE é um quadrado de lado 15 cm O triângulo ABC é retângulo em A A F CBA = 30 a. Represente o poliedro ABCDEF em perspetiva, com legendas nos vértices e indicação das medidas conhecidas. B E b. Calcule, com aproximação às décimas de centímetros quadrados, a área total da superfície do poliedro ABCDEF. 7. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos a entrada da casa A e a árvore alta B situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C a entrada de outra casa na margem em que está distante 78 metros de A e mediu os ângulos ACB e CAB, encontrando, respetivamente 108 e 57. A C B Calcule a distância entre A e B, em metros. Fim da prova Prova de 8

7 Cotações Grupo I a b c d Grupo II a b c d a b a b Grupo III a b c d e Grupo IV a b Total Prova de 8

8 FORMULÁRIO Áreas de figuras planas Losango: Diagonal maior Diagonal menor 2 Trapézio: Base maior + Base menor 2 Altura Polígono regular: Semiperímetro Apótema Círculo: π raio 2 Áreas de superfícies Área lateral de um cone: π raio da base geratriz Área de uma superfície esférica: 4 π raio 2 Volumes Prisma ou Cilindro: Área da base Altura Pirâmide ou Cone: 1 Área da base Altura 3 Esfera: 4 π raio 3 3 Trigonometria Lei dos senos: a sen A = Teorema de Carnot: b sen B = c sen C ˆ ˆ ˆ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos  Prova de 8

9 A preencher pela Escola Número convencional PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935 FOLHA DE RESPOSTA NOME DO ALUNO 1.ª FASE - junho de 2013 Número convencional PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - COD. 935 FOLHA DE RESPOSTA 1.ª FASE - junho de 2013

10 Utilize esta página para desenhar gráficos ou outras figuras que o ajudem a responder às questões.