FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10º Ano Versão 1 Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato 1 No referencial ortogonal e monométrico da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de diâmetro [BD], com coordenadas B 04, e 8 4 Os vértices B e C pertencem ao eixo Oy D, (15) 11 Escreva a equação da circunferência representada BD A circunferência tem centro no ponto médio, M, de [BD] e raio MB (ou MD ou ) Assim, o centro tem coordenadas M, 40, e raio r MB A equação da circunferência é x 4 y 0 3 x 4 y 3 Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página 1/6 Versão 1

2 (10) 1 Escreva as coordenadas dos restantes vértices do quadrado e indique as coordenadas do simétrico de D em relação à bissetriz dos quadrantes pares C é o simétrico de B em relação à origem do referencial, portanto C 0, 4 Assim, o lado do quadrado mede 8 unidades, isto é, CB CD 8 Logo, 84 A, O simétrico de D 8, 4 em relação à bissetriz dos quadrantes pares (reta y x) obtémse trocando y por x e x por y Assim, D' 4, 8 (18) 13 Escreva uma condição que defina a região sombreada e calcule a área dessa região A região sombreada é a parte do círculo que está à direita da reta x = 4, incluindo as linhas Portanto, é definida por x 4 y 3 x A A A área desta região corresponde a um A e A Temos: CD 8 64 Assim, A S A A unidades quadradas 4 4 (10) 14 Determine a equação da mediatriz de [BD], na forma y ax b A mediatriz de [BD] é definida pela equação x 0 y 4 x 8 y 4 Simplificando, x y y x x y y y 16x 64 8y 16 y 16x 64 y x A equação da mediatriz é yx No referencial Oxyz, ortogonal e monométrico, da figura seguinte, está representado um poliedro composto por um cubo e uma pirâmide regular, tais que: a origem do referencial é o centro da face ABCD do cubo, que está no plano xoy a base da pirâmide é comum à face ABCD do cubo; a aresta [AB] do cubo é perpendicular ao eixo Oy; o ponto A tem coordenadas,, 0 (1) 1 Indique as coordenadas dos vértices B, D, E e G 0 D,, 0 B,, E,, 4 G,, 4 Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página /6 Versão 1

3 (10) Diga, justificando, qual dos pontos seguintes pertence ao plano EAB (A) P 56,, (B) Q 5,, 6 (C) R 5, 6, (D) S 5, 6, Qualquer ponto do plano EAB tem ordenada, portanto y é a equação do plano Assim, só o ponto P pertence ao plano EAB (10) 3 Determine as coordenadas do vértice da pirâmide sabendo que o volume da pirâmide é um terço do volume do cubo O vértice da pirâmide tem coordenadas da forma 0, 0, c, isto é, pertence ao eixo Oz, pois trata-se de uma pirâmide regular Assim, c corresponde à altura da pirâmide Como V pirâmide Sendo 4 1 C 3 cubo, sabemos que 1 1 Ab h a 3 3 V 0, 0, 4 3, ou seja, a a medida da aresta do cubo, temos (15) 4 Defina por uma condição cada um dos seguintes conjuntos de pontos: (A) plano yoz x = 0 (B) reta HE x = z = - 4 (C) aresta [DC] - x y = - z = 0 3 a c a c a (13) 5 Justifique que a equação do plano mediador do segmento [BD] é y x e indique as coordenadas de dois pontos desse plano que não sejam vértices do cubo 1º processo: Descobrir a equação do plano mediador de [BD] usando a fórmula: x y z 0 x y z 0 x x y y x x y y x 4y 4x 4y 8y 8x y x º processo: O plano mediador do segmento [BD] é o plano EAC Trata-se do plano de simetria do cubo que contém os pontos cuja abcissa e ordenada são iguais (plano bissetor dos octantes ímpares) Portanto, a equação desse plano é y x Qualquer ponto deste plano tem ordenada e abcissa iguais Assim, dois pontos deste plano são, por exemplo, 111,, e 1, 1, 1 (15) 6 Calcule a área da secção obtida pela interseção do poliedro com o plano EAC A secção obtida no poliedro pela interseção com o plano EAC é formada pelo retângulo [ACGE] e pelo triângulo [CAV] Portanto, Área secção A A Temos: A CA AE e ca CAOV 4 4 A 8 CA ou CA diagonal facial 4 Portanto, Área secção unidades quadradas Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página 3/6 Versão 1

4 3 Considere a condição seguinte, definida em por: y 3 x (10) 31 Diga, justificando, qual das condições seguintes não é equivalente à condição dada (A) y 3 x (B) y 3 x x (C) y 3 x (D) y 3 x y 3 x Simplificando a condição dada, obtemos, sucessivamente: y 3 x y 3 x Lei de De Morgan y 3 x x Eliminar os módulos y 3 x y 3 x P Distributiva de relati/ a Portanto, apenas a condição (C) não é equivalente à dada (10) 3 Represente, num referencial de, o conjunto de pontos definido pela condição dada A representação pode ser feita a partir de qualquer uma das condições equivalentes No entanto, a mais simples de interpretar é (talvez) a condição y 3 x que diz que temos de reunir (símbolo de disjunção ) todos os pontos cuja ordenada é superior a -3, y 3, com os pontos onde o módulo da abcissa é menor ou igual a, isto é, x x 4 A Mafalda tem um pequeno aquário com a forma de uma superfície esférica com 15 cm de raio, à qual se extraiu uma parte superior para formar a abertura, tal como sugere a figura Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página 4/6 Versão 1

5 (8) 41 Num referencial cartesiano Oxyz, ortogonal e monométrico, a superfície do aquário tem a forma de uma superfície esférica com centro na origem desse referencial Escreva a equação dessa superfície esférica Sendo O 000,, e r 15 o raio da superfície, a sua equação é x y z 5 (10) 4 Estude a posição do ponto P, 5, 14 em relação à superfície esférica e indique as coordenadas do ponto P', simétrico de P em relação ao eixo Ox 1º processo: Substituir as coordenadas de P na equação da superfície Proposição verdadeira, Portanto, P é um ponto da superfície esférica º processo: Comparar PO com o raio (15) PO raio O simétrico de P em relação ao eixo Ox, mantém a abcissa e as restantes coordenadas passam às suas simétricas Assim, P', 5, 14 (10) 43 Neste referencial, a abertura do aquário encontra-se no plano horizontal de equação z 9 Diga, justificando, qual das condições seguintes representa o bordo da abertura (A) (C) x y 9 (B) x x y z z 5 9 (D) y 144 x y z z 5 9 A abertura do aquário tem a forma de um círculo Assim, o bordo da abertura é uma circunferência que se encontre no plano z 9 Tal circunferência corresponde à interseção da superfície esférica com o plano z 9 Essa condição é (D) x y z z 5 9 (14) 44 Imagine que a superfície da água dentro do aquário tem 176 cm de área Determine a altura da água (distância do ponto de menor cota até ao ponto A) A altura da água no aquário corresponde ao raio do aquário (r = 15 cm) mais a distância do ponto O até ao plano que contém a superfície da água, isto é, h r OA Como a superfície da água é um círculo com área 176 cm, comecemos por descobrir o raio r desse círculo Temos que r 176 r 176 r 176 A distância OA é um cateto do triângulo retângulo OAB OA O OA 49 OA 7 Assim, Como 0 OA 15, a altura da água dentro do aquário é 15+7 = cm Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página 5/6 Versão 1

6 (10) 5 Responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha 5A Identifique o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição seguinte, num referencial cartesiano Oxy x y x y Possivelmente, trata-se do interior de uma circunferência Mas temos de determinar as coordenadas do centro e o raio, reconstruindo os quadrados até chegarmos a uma equação x a y b r do tipo x 8x y 10y 5 x y x y x x y y x y Trata-se do interior da circunferência de centro no ponto 4, 5 e raio 4 5B No cubo da figura abaixo, P e Q são os pontos médios das arestas [HG] e [FG], respetivamente Construa e classifique a secção obtida no cubo pela interseção com o plano QPA Comecemos por traçar a reta PQ, pois os pontos P e Q estão na mesma face Ora, a reta PQ não interseta qualquer face que contém o ponto A Prolongando a aresta EF até intersetar PQ, obtemos o ponto I que se encontra no plano que contém o ponto A Assim, já podemos traçar a reta IA, que interseta a aresta BF no ponto R Como Q e R estão na mesma face podemos traçar QR Mas a secção corta a face oposta à que contém [QR], portanto traçamos uma paralela a QR pelo ponto A que interseta a aresta DH no ponto S Finalmente, só temos de traçar a reta SP Obtemos assim um pentágono irregular BOM TRABALHO! Prof José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10º Ano Página 6/6 Versão 1