Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. TPC nº 7 entregar no dia

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 7 entregar no dia O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é Defina analiticamente a superfície esférica circunscrita ao cubo. 1.. Determine k de modo que o vector uk k;k 1;3 seja colinear com CH Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determine as coordenadas do ponto P HE sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado.. Na figura estão representados, num referencial ortogonal e monométrico xoy, a circunferência de x y 3 5 e o retângulo [ABCD]. equação Sabe-se que: os vértices do rectângulo [ABCD] pertencem à circunferência a recta AB tem equação y 5.1. Determine as coordenadas dos vértices do retângulo [ABCD]... Considere a região do círculo que está acima da reta AB e a região do círculo que está à esquerda do eixo das ordenadas. As duas regiões têm áreas iguais. Justifique a afirmação anterior..3. Escreva uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira. 3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico Oxyz, a superfície esférica cujo centro é o ponto de coordenadas (1,1,1) e que é tangente ao plano de equação z Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determine as coordenadas desses dois pontos. 3.. O segmento de reta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica. Justifique esta afirmação Determine o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013

2 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 7 proposta de resolução 1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é A superfície esférica circunscrita ao cubo tem diâmetro igual à diagonal do cubo e centro no centro do cubo. Como a aresta do cubo mede 4 a diagonal espacial mede 4 3 e o raio da superfície esférica é 3. O centro do cubo é o ponto de coordenadas 0,0,. Uma condição que define a superfície esférica é x y z Determinemos k de modo que o vector uk k;k 1;3 seja colinear com CH, começando por calcular CH 4,0, 4 e resolvendo agora as igualdades que traduzem a condição de colinearidade no espaço: k k 4 k 1 0 k k k 1 3 k k 3 k k k k 1 0 k k 3 0 k 1 k k 1 k 1 k 3 k 1 k 1 k 1 k Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determine as coordenadas do ponto P HE sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado. Para que a secção seja um quadrado é necessário que NP 4 dado que MN 4. Considerando o triângulo rectângulo [ENP] podemos calcular PE utilizando o Teorema de Pitágoras: 4 PE PE 16 4 PE 1 PE 3 Então se P,y,4 e E,,4 concluímos ser: e PE E P 0, y,0 PE y y e como y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 e porque P está à esquerda de E terá de ser y 3. FinalmenteP, 3,4 Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/013

3 . Na figura estão representados, num referencial ortogonal e monométrico xoy, a circunferência de equação Sabe-se que: x y 3 5 e o retângulo [ABCD]. os vértices do rectângulo [ABCD] pertencem à circunferência a recta AB tem equação y 5.1. Determinemos as coordenadas dos vértices do retângulo [ABCD]: x y 3 5 y 5 x x 4 5 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 Já sabemos as coordenadas de A e de B: A 1,5 e B3,5. Precisamos de saber a ordenada dos pontos D e C que estarão numa reta horizontal. Calculemos D que tem abcissa 1: x y 3 5 x 1 1 y 3 5 y y 3 4 y 3 y 3 y 5 y 1 e as coordenadas de D e C são D1,1 e C3,1... Consideremos a região do círculo que está acima da reta AB e a região do círculo que está à esquerda do eixo das ordenadas. As duas regiões têm áreas iguais. Calculemos os pontos da circunferência que têm abcissa 0: y 3 1 y 3 1 y 3 1 y 4 y x y 3 5 x 0 0 y y 3 5 O comprimento da corda que liga estes dois pontos é de 4 O comprimento da corda [AB] é da diferença das suas abcissas 3 1 As duas regiões têm áreas iguais porque as cordas também têm comprimentos iguais..3. Uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira é. x y 3 5 y 1 y 5 x 1 x 3 3. Consideremos, num referencial ortogonal e monométrico Oxyz, a superfície esférica cujo centro é o ponto de coordenadas (1,1,1) e que é tangente ao plano de equação z Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determinemos as coordenadas desses dois pontos. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 01/013

4 Vamos começar por escrever a equação da superfície esférica que por ter centro A(1,1,1) e ser tangente ao plano de equação z 1 3 tem raio r 3. x 1 y 1 z 1 3 Com pretendemos encontrar as coordenadas dos pontos que têm as três coordenadas iguais vamos substituir as variáveis x, y e z todas pela mesma letra, por exemplo x, pois temos que x y z. x 1 x 1 x x 1 3 x 1 1 x 11 x 1 1 x x 0 Os pontos referidos são O0,0,0 e B,, 3.. O segmento de reta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica. Basta-nos provar que o centro da superfície esférica é o ponto médio da corda [OB] porque um diâmetro é qualquer corda que passe pelo centro M,, 1,1,1 OB 3.3. Determinemos o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica. Um cubo inscrito na superfície esférica tem como diagonal espacial o diâmetro da superfície esférica. Como a diagonal espacial de um cubo de aresta a mede a 3 e o diâmetro desta superfície esférica é 3 concluímos que a aresta mede. a 3 3 a Então o volume do cubo é 3 V V 8 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/013

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 7 critérios de classificação Reconhecer o centro. Determinar o raio... Escrever a condição da superfície esférica Calcular CH 4,0, 4.. Estabelecer a relação de colinearidade Resolver as duas equações.. 4 Concluir qual a solução Reconhecer que NP 4. 5 Calcular PE Concluir as coordenadas de P, 3, Escrever x y 3 5 y 5 Calcular as coordenadas de A e B 3 Escrever x y 3 5 x 1 Calcular as coordenadas de D e C Calcular as interseções com Oy 5 Calcular as medidas das cordas Justificar Expressão do círculo. 4 Cada um dos semiplanos (4x4) 16 Expressão do domínio sombreado. 5 Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/013

6 Equação da superfície esférica: x 1 y 1 z Reconhecer que os pontos são da forma x,x,x.... Substituir na equação y e z por x e resolver.. 6 Indicar as coordenadas dos pontos 0,0,0 e,,. 3.. O ponto médio é o centro da s.e. e calcular Calcular a aresta do cubo identificando a diagonal com o diâmetro. 3 Calcular o volume Total 100 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/013