Proposta de teste de avaliação

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1 . Proposta de teste de avaliação Matemática 0. N E ESLRIE uração: 90 minutos ata:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 3. Sabe-se que, para determinado valor real de k, não nulo, o polinómio ( ) 3 divisível pelo polinómio ( ) = + k. Qual é o valor de k? () 3 () 3 () () = k é. Na figura está representada, num referencial ortonormado, uma circunferência de centro no ponto (, 0 ). Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? () ( ) + () ( ) + () ( ) + () ( ) + 3. onsidere, num referencial ortonormado, a circunferência de equação: + + = 0 Qual das equações seguintes define uma reta que passa no centro desta circunferência? () = () = () = + () = + Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página

3 4. No referencial ortonormado da figura está representada a elipse de centro na origem e focos E e F pertencentes ao eio. Tal como a figura sugere, a elipse interseta o eio nos pontos e e o eio nos pontos e. Sabe-se que E = 0 e EF = 4. E F Na unidade considerada, o perímetro do triângulo [ E ] é igual a: () 36 () 34 () () 3 5. Num referencial ortonormado, considere o quadrado [ ] e os vetores u (3, ) e v( 5,). Sabe-se que: a origem,, do referencial é o ponto de interseção das diagonais do quadrado; = + u ; = + v. s coordenadas dos vértices e são, respetivamente: () ( 3, ) e ( 5, ) () ( 3, ) e (, 3) () (, 3) e ( 3, ) () (, 3 ) e ( 3, ) Grupo II. Num plano munido de um referencial ortonormado (, e, e ) vetor u ( 4, 3)., considere o ponto ( 0, ) e o Seja r a reta que passa no ponto e tem a direção do vetor u... Escreva um sistema de equações paramétricas da reta r... etermine a abcissa do ponto da reta r com ordenada nula..3. etermine as coordenadas do ponto da reta r, de abcissa positiva, cuja distância ao ponto é igual a 0. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 3

4 . No referencial ortonormado da figura estão representados o paralelogramo [ ], a reta r e a reta s. Sabe-se que: os pontos e têm coordenadas (, ) e ( 6, 7 ), respetivamente; r E s o vetor tem coordenadas (, 6 ) ; a reta r é a mediatriz do segmento de reta [ ] e interseta o eio no ponto E ; a reta s passa nos pontos e... Mostre que = + 5 é a equação reduzida da reta r... etermine uma equação cartesiana da circunferência de diâmetro [ ] e verifique que o ponto E pertence a essa circunferência..3. Mostre que o ponto tem coordenadas ( 8,)..4. etermine uma equação vetorial da reta s..5. Verifique que o ponto pertence à reta r..6. etermine a medida da área do paralelogramo [ ]. Grupo I FIM otações Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 4

5 Proposta de resolução Grupo I. ( ) 3 = k Se ( ) é divisível pelo polinómio ( ) = + k, então: ( k ) = 0 3 ( ) ( ) ( ) ( ) k = 0 k 0 k + 3 k + k + k = 0 k 0 3 k + 3k k + k = 0 k 0 ( ) k k + 3 = 0 k 0 ( ) k = 0 k + 3 = 0 k 0 k = 3 Resposta: (). Equação da circunferência: entro: (, 0 ) Raio: onsiderando o triângulo [] e pelo Teorema de Pitágoras: = + = + = + = Equação: ( ) Reta sendo (, ) : = Reta sendo ( 0, ) e (, 0 ) ( ) 0 m = = 0 b = (ordenada de ) Equação: = ondição pedida: ( ) Resposta: () : = m + b + = = = = 0 ( ) + + = centro da circunferência é o ponto de coordenadas (, 0 ). s coordenadas deste ponto apenas verificam a equação = +. Resposta: () Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 5

6 4. E + F = a (definição de elipse) E + E = a ( F = E ) = a a = 0 ( E = 0 ) EF = 4 c = 4 c = onsiderando o triângulo [EF] e pelo Teorema de Pitágoras: a = b + c E F 0 = + = = 0 b b 00 4 b 96 Portanto, = b = 96. = a = 0 onsiderando o triângulo [] e pelo Teorema de Pitágoras: = + ( ) = = = 96 = 4 Perímetro = E + E + + = = 36 E [ ] Resposta: () 5. u (3, ) e v( 5,) = + u = ( 0, 0 ) + (3, ) = (3, ) = + v = (3, ) + ( 5,) = (, 3) omo a origem,, é o ponto de interseção das diagonais do quadrado, tem-se: o ponto é a imagem do ponto pela refleão central de centro, pelo que, se tem coordenadas (3, ), tem coordenadas v u ( 3, ) ; o ponto é a imagem do ponto pela refleão central de centro, pelo que, se tem coordenadas (, 3), tem coordenadas (, 3). Resposta: () Grupo II. ( 0, ) e u ( 4, 3 ), = 0, + k 4, 3, k R.. Equação vetorial de r : ( ) ( ) ( ) Equações paramétricas de r : = 4k = 3 k, k R.. (,0) = 4k 0 = 3k = 4k 3k = 8 = 4 k = = ponto da reta com ordenada nula tem abcissa igual a 8 3. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 6

7 , = 4 k, 3 k, k R.3. Qualquer ponto P da reta r é da forma ( ) ( ) Pretendemos determinar as coordenadas de P, de abcissa positiva, tal que d (, P ) = 0. ( 0, ) ( ) P 4 k, 3 k, k R ( ) ( ) ( ) d, P = 0 4k 0 + 3k = 0 Se ( ) ( ) 4k + 3k = 0 6k + 9k = 00 5k = 00 k = 4 k = k = k =, vem ( 4 k, 3k ) = ( 4 ( ), 3 ( ) ) = ( 8, 8) k =, vem ( 4 k, 3k ) = ( 4, 3 ) ) = ( 8, 4) Se ponto da reta r, com abcissa positiva cuja distância ao ponto é igual a 0, tem coordenadas ( 8, 4).. (, ), ( 6, 7 ) e (, 6 ).. Seja P(, ) um ponto da mediatriz de [ ]. (, ) (, ) d P = d P, donde: ( ) ( ) ( 6) ( 7) + + = + Portanto, = = = = + = = + 5 é a equação reduzida da reta r... centro da circunferência de diâmetro [ ] é M, ponto médio de [ ]. (, ), ( 6, 7 ) M 6 7 +, + = 4, 3 ( ) raio da circunferência é: ( ) ( ) r = M = = = 0 r E M s Equação da circunferência: ( ) ( ) = 0 omo = + 5 é a equação reduzida da reta s, o ponto E tem coordenadas ( 0, 5 ). Substituindo na equação da circunferência: ( ) ( ) = = 0 ado que obtivemos uma proposição verdadeira, podemos concluir que o ponto E pertence a essa circunferência. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 7

8 .3. omo [ ] é um paralelogramo, tem-se: = = (, 6 ) = + = 6, 7 +, 6 = 8, ( ) ( ) ( ).4. (, ) e ( 8, ) = = ( 8, ) (, ) = ( 8,+ ) = ( 6, ) omo é um vetor diretor da reta, uma equação vetorial desta reta é: ( ) ( ) ( ), =, + k 6,, k R.5. r : 5 = + e ( 8, ) = = = omo a proposição obtida é verdadeira, o ponto pertence à reta r..6. mediatriz, r, do segmento de reta [ ] é perpendicular a esse segmento no ponto médio, M. ssim, como o ponto também pertence a r, a altura do paralelogramo relativa ao lado [ ] é [ ] M, pelo que a área do paralelogramo [ ] é igual a M. (, ) ; ( 6, 7 ) ; M ( 4, 3) e ( 8, ) r E M h ( ) ( ) = = = = 80 = 6 5 = 4 5 ( 8 4) ( 3) 4 ( ) M = + = + = = = 0 = 5 paralelogramo = M = = 8 5 = 40 u.a. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 8