FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 2

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Mirela Pinheiro Bergmann
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/03/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

[EFGH]; o cubo tem 4 unidades cúbicas de volume. ().. Mostre que AB 3 e indique as coordenadas dos vértices A e B.

2 . No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte está representado o cubo ABCDEFGH. Sabe-se que: a face [ABCD] está contida no plano xoz e a origem do referencial é o centro desta face; os vértices A, B, C e D pertencem aos eixos coordenados; o ponto I pertence ao eixo Oy e à face [EFGH]; o cubo tem 4 unidades cúbicas de volume. ().. Mostre que AB 3 e indique as coordenadas dos vértices A e B. Como V cubo 4 temos Portanto, a 3 4 = = 3 a 4, sendo a AB 3 = = aresta do cubo = 3 Como [OAB] é um triângulo retângulo isósceles, temos 9 x x 9 x 3 x x Assim, as coordenadas dos vértices A e B são A 3, 0, 0 e B,,. (0).. Escreva o sistema de equações paramétricas da reta que passa em I e é paralela ao eixo Oz. Qualquer vetor paralelo ao eixo Oz tem coordenadas do tipo y k 0, 0,, k \ 0 Assim, sendo I,, e v 0, 0, x00k y 3 0k,k z 0 k 3. o sistema de equações paramétricas da reta pedida é x 0 y 3,k z k (0).3. Diga, justificando, qual é a equação do plano EFG. (A) z 3 (B) y 3 (C) x 3 z 3 (D) y 3 Como a aresta do cubo tem 3 unidades e a face [ABCD] está no plano xoz, então a face [EFGH] está no plano y 3, pois é paralelo ao plano y 0 Opção D ().4. Identifique o conjunto dos pontos do espaço definidos por cada uma das condições: x, y,z 3, 0, 0 k 0, 3, 0, 0 k segmento AE, ou aresta [AE] (A) (B) x 0 z 3 reta BF, paralela a Oy (C) x y 3 z 9 esfera de centro I,, e raio 3 (ou raio IE ) Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

3 . Na figura seguinte está representada uma pirâmide quadrangular regular [ABCDE]. ().. Sendo P e Q os pontos médios das arestas [BE] e [CE], respetivamente, utilizando cálculo vetorial, prove que as retas BC e PQ são paralelas. Usando vetores, as retas BC e PQ são paralelas se e só se os vetores BC e PQ são colineares, isto é, se k : BC kpq. Temos BC BE EC e PQ PE EQ Mas BE BP PE PE PE PE tal como EC EQ Assim, BC BE EC PE EQ PE EQ PQ Portanto, BC PQ, ou seja, BC e PQ são colineares, logo as retas BC e PQ são paralelas. Suponha agora que fixado um referencial ortonormado Oxyz, tem-se:, AD 400,, e AB 0, 4, 0 A 3,,. Ad 6 e 7 p34 p3 (0).. Determine uma equação vetorial da reta AC. Já temos um ponto da reta, A 3,, Um vetor diretor de AC é AC. Pela regra do paralelogramo, temos AC AB AD. Precisamos de um vetor diretor. = 0, 4, 0 4, 0, 0 = 4, 4, 0 Assim, uma equação vetorial de AC é x,y,z,, k,,, k (0).3. A reta AE interseta o plano xoz no ponto E. Sendo 3 3 x,y,z,, k,,, k, uma equação vetorial de AE, indique, justificando, quais são as coordenadas do ponto E. (A) 0 0 (C) 0,, (B), 0,,, (D) 0, 4, 8 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/6 Versão

4 O plano xoz tem equação y 0. Assim, as coordenadas de E são da forma a, 0,c. Como E a, 0,c é um ponto da reta de equação 3 3 x,y,z,, k,,, k, substituindo vem a, 0,c 3,, k,, 3 a, 0,c 3 k, k, 3k a 3k 0 k c 3k a 3 k c 3 a k c Portanto, E, 0, opção B ().4. Calcule o volume da pirâmide. Temos Volume pirâmide Ab h. 3 Ab Área quadrado ABCD AB. Em que h EF, sendo F o centro da base, ponto médio de [AC]. Assim, AB F A AC,,,,,,,,,, Ou C A AC 3,, 4, 4, 0,, e F,,, 0, EF Portanto, Volume ABCDE u.v Considere, num referencial Oxyz, a superfície esférica de centro no ponto C,, 3 que passa na origem do referencial. e (0) 3.. O plano coordenado xoy é o plano mediador de [CD]. Diga, justificando, quais são as coordenadas do ponto D. (A) (C),, 3 (B),, 3,, 3 (D),, 3 O plano xoy tem equação z 0. Assim, M,, 0 é o ponto médio do segmento [CD], pelo que D,, 3 simétrico de C,, 3, uma vez que é em relação ao plano xoy. opção A Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/6 Versão

5 (0) 3.. Escreva a equação reduzida da superfície esférica. Como a superfície esférica passa na origem o seu raio é r Assim, CO. r A equação da superfície é ou seja, x y z x y z 3 4, 3 4 () 3.3. Determine os valores de b para os quais a interseção da superfície esférica com o plano de equação y b é uma circunferência de raio 0. Descubramos a equação de tal circunferência: 3 4 x b z 3 4 y b b r, temos 4 b 0 Como 4 0 b x y z y b x z b y b b 4 b 4 b b 0 b 4 Há dois planos, de equações y 0 e y 4, cuja interseção com a superfície () 3.4. Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica e paralelos ao plano yoz. O plano yoz tem equação x 0. Assim, qualquer plano paralelo a este tem equação da forma x a. Portanto, os planos paralelos a yoz e tangentes à superfície são do tipo Como a superfície esférica tem centro C,, 3 são x 4 e x 4. x xc r. e raio r 4, as equações de tais planos 4. No referencial ortonormado Oxy da figura do lado está representado um trapézio retângulo de bases [OA] e [CB]. Ad 7p37 Sabe-se ainda que: o ponto B tem coordenadas 44, ; a reta OA tem equação reduzida y x. (0) 4.. Indique, justificando, qual dos seguintes é um vetor diretor da reta OA. Temos (B) v, (A) v, v, (D) v 4, (C) v moa e m v v k,m k,, k 0. v,. opção B Assim, qualquer vetor com a direção de OA é da forma Para k temos Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /6 Versão

6 (0) 4.. Diga, justificando, qual das equações seguintes não representa a reta CB. (A) (C) x 4 4 y (B) x,y 4, 4 k,, k y x (D) x y 4 0 Como [OA] e [CB] são as bases do trapézio, sabemos que as retas OA e CB são paralelas. Assim, v, é um vetor diretor de CB, tal como v,. Portanto, uma equação vetorial de CB é 4 4 Uma equação cartesiana de CB é x,y, k,, k B não representa CB x4 y4 x 4 4 y opção A Uma equação geral da reta CB é x 4 8 y x y 4 0 opção D A equação reduzida da reta CB é y x 4 () 4.3. Sabendo que y x opção C OA, determine as coordenadas do ponto A. Como OA tem equação y x, qualquer ponto desta reta tem coordenadas da forma Assim, OA A O A x, x OA x x x x x x x x x x Como xa 0, temos x e y 4 Portanto, o ponto A tem coordenadas,. () 4.4. Justifique que existe um número real k tal que OA kcb e determine o valor de k. x, x. k : OA kcb é uma proposição verdadeira, pois os vetores OA e CB são colineares visto que são definidos pelas bases do trapézio. 4 Temos OA A O, e CB B C 4, 4 0, 4, Portanto, OA kcb 4, k 4, 4 4k k k 4 Ou, OA k CB 4, 4k, k Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/6 Versão 4 k k 4 k 0 Só interessa a solução positiva porque os vetores têm o mesmo sentido. 6 6 k k, Logo 6 k 6 k

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Exercícios de testes intermédios 1. Na figura abaixo, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [OPQRSTUV] de aresta 2. Os pontos, P, R e T pertencem aos semieixos positivos. Numa das opções