Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz o cubo [ABCDEFGH] Sabe-se que: o centro do cubo coincide com a origem do referencial; as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados; os pontos M, N e P são os pontos médios das arestas a que pertencem; o ponto A tem coordenadas ( 1,1,1 ) Considere o vector u e os pontos X, Y e Z. u = MN + BP X = A + CG 1 Y = X + XF Z = X + u + AC ( ) 1.1. Represente os pontos X, Y e Z (por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas). 1.. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos W para os quais o ponto X pertence ao plano mediador do segmento [BW]. Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema A recta definida pela equação ( x, y, z) = ( 1, 1, 1) + k ( 0,1,1 ), k R intersecta a recta XD. Determine as coordenadas do ponto de intersecção A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos E, Y e Z divide o cubo em dois sólidos. Determine o volume do sólido que contém o ponto G.. Considere um referencial ortogonal e monométrico do plano com unidade igual a 1 cm..1. Represente nele o domínio plano definido por: ( x ) + ( y ) 4 ( y x + y x ).. Determine a área do domínio que acabou de representar. 3. Num prisma as bases são triângulos equiláteros de lado a e a altura é igual ao perímetro da base. Encontre, em função de a, uma expressão que represente o volume deste prisma. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010

2 4. Considere num referencial ortogonal e monométrico do plano os pontos: A ( 4,8) B( 4, ) C( 3,1) D( 10,0) e E( 5 3,8 ) 4.1. Determine as coordenadas: do ponto A simétrico de A em relação ao eixo Ox do ponto B simétrico de B em relação ao eixo Oy do ponto C simétrico de C em relação à origem do referencial do ponto F de modo que B seja o ponto médio do segmento de recta [AF] do ponto P de ordenada - 6 e tal que a sua distância ao ponto B seja 10 unidades do ponto Z, tão próximo da origem quanto possível, cuja distância ao ponto A é de 5 unidades e seja equidistante dos pontos B e C dos pontos de intersecção da circunferência de diâmetro [AB] com os eixos coordenados. 4.. Escreva uma condição que caracterize os seguintes conjuntos de pontos do plano: eixo Ox eixo Oy recta paralela ao eixo Ox e que passa por C pontos de ordenada menor ou igual à ordenada do ponto E recta AE circunferência de centro B e que contém o ponto D circunferência centrada em A e tangente ao eixo Oy círculo com centro em D e que é tangente à recta AE recta mediatriz do segmento de recta [AC] mediatriz do segmento de recta com extremos nos pontos médios dos segmentos [AB] e [CD]. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/010

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 10 Proposta de resolução 1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz o cubo [ABCDEFGH] Sabe-se que: o centro do cubo coincide com a origem do referencial; as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados; os pontos M, N e P são os pontos médios das arestas a que pertencem; o ponto A tem coordenadas ( 1,1,1 ) Consideremos o vector u e os pontos X, Y e Z. u = MN + BP X = A + CG 1 Y = X + XF Z = X + u + AC ( ) 1.1. Representemos os pontos X, Y e Z (por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas). o Comecemos por identificar u = MD D N P B Em seguida vamos procurar identificar os pontos X, Y e Z M o X é o ponto da semi-recta ĖH tal que AX = CG o Y é o ponto médio de [HG] o Z é o ponto médio de [GB] 1.. Vamos definir, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos W ( x,y,z ) para os quais o ponto X( 1,3, 1) pertence ao plano mediador do segmento [BW], onde B( 1,1,1 ) X pertence ao plano mediador do segmento [BW] se e só se BX = XW. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/010

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BX = XW = x 1 + y 3 + z + 1 ( ) ( ) ( ) x 1 + y 3 + z + 1 = 1 O lugar geométrico, no contexto do problema, é uma superfície esférica de centro em X( 1,3, 1) e que passa por B por ter como raio BX A recta definida pela equação ( x, y, z) = ( 1, 1, 1) + k ( 0,1,1 ), k R intersecta a recta XD. Determinemos as coordenadas do ponto de intersecção. Começamos por escrever uma equação vectorial da recta XD. D 1, 1,1 XD = D X = 0, 4, o Sabemos que X( 1,3, 1) e ( ) pelo que ( ) o Uma equação vectorial de XD é ( x, y, z) = ( 1, 1,1 ) + k ( 0, 4, ),k R Determinemos as coordenadas do ponto de intersecção: x = 1 y = 1 + k1 x = 1 x = 1 ( x, y, z) ( 1, 1, 1) k1 ( 0,1,1 ) z 1 k = + = + 1 y = z y = 1 4k ( x, y, z) = ( 1, 1,1 ) + k ( 0, 4,) x = 1 y = 1 4k z = 1+ k y = 1 4k z = 1+ k 1 4k = 1+ k z = 1 + k x = 1 1 x = 1 k = x = 1 3 6k = 1 1 y y 1 4k y 1 4 = O ponto de intersecção das duas rectas = = 3 3 z 1 k = z = z = é o ponto de coordenadas 1 1 1,, A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos E, Y e Z é um trapézio que divide o cubo em dois sólidos. O sólido que contém o ponto G é um tronco de pirâmide. O seu volume é a diferença entre o volume da pirâmide A com 4 (duas vezes a aresta do cubo) de altura e que tem por base um triângulo rectângulo isósceles em que os catetos medem (medida da aresta do cubo) e o volume da pirâmide B cujas medidas são metade das da pirâmide A. 1 8 VA = 4 = 3 3 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/010

5 VB = = Então o volume do tronco de pirâmide é V = VA VB = = Considerámos um referencial ortogonal e monométrico com unidade igual a 1 cm..1. Representámos nele o domínio plano definido por: ( x ) + ( y ) 4 ( y x + y x ) y 4.. A área do domínio que acabámos de representar é a diferença entre a área do semicírculo e a do triângulo definido pelo diâmetro horizontal e as duas cordas. O semicírculo tem raio e o triângulo tem base 4 (diâmetro) e altura (raio). π 4 A = A = ( π 4) cm O - 5 x 3. Num prisma as bases são triângulos equiláteros de lado a e a altura é igual ao perímetro da base. Para calcular o volume vamos usar a fórmula: V = Abase altura Comecemos por calcular a altura que é igual ao perímetro da base e portanto: altura = 3a Para calcularmos a área da base precisamos de conhecer a altura h e vamos usar o Teorema de Pitágoras: a a 3a 3 a = h h a h h a + = = = 4 4 Então: 3 a a 3 A base = Abase = a 4 E finalmente o volume vai ser: V = a 3a V = a a a h 4. Consideremos, num referencial ortogonal e monométrico, os pontos: A (-4,8) B (4,) C (-3,1) D (-10,0) E ( 5 3,8) 4.1. As coordenadas: do ponto A simétrico de A em relação ao eixo Ox são A (-4,-8) do ponto B simétrico de B em relação ao eixo Oy são B (-4,) do ponto C simétrico de C em relação à origem do referencial são C (3,-1). Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/010

6 A 8 E 6 4 C D C' B B' -4-6 A' do ponto F de modo que B seja o ponto médio do segmento de recta [AF] são F(1,-4) e podemos calculá-las tomando F(x,y), B(4,) e A(-4,8). Se B é o ponto médio de [AF] é porque: x 4 = 4 x 4 y + 8 x 4 = 8 x = 1 ( 4, ) =, y + 8 y + 8 = 4 y = 4 = Podemos também calcular as coordenadas de F ao verificar que F = B + AB F = ( 4,) + ( 4,) ( 4,8) = ( 4,) + ( 8, 6) = ( 1, 4) do ponto P de ordenada - 6 e tal que a sua distância ao ponto B seja 10 unidades são P(-,-6) ou P(10,-6) e que podemos calcular fazendo a distância de P(x,-6) a B(4,) igual a 10. ( ) ( ) PB = 10 x = 10 x 8x = ± ± 1 x 8x 0 = 0 x = x = x = 10 x = do ponto Z, tão próximo da origem quanto possível, cuja distância ao ponto A é de 5 unidades e seja equidistante dos pontos B e C são Z(0,5). Podemos calculá-las determinando a intersecção da mediatriz de [BC] com a circunferência de centro A e raio 5. o Equação da circunferência: ( ) ( ) x y 8 = 5 o Equação da mediatriz de [BC]: 7x + y 5 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x 4 + y = x y 1 x 8x y 4y + 4 = x + 6x y y + 1 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/010

7 14x y + 10 = 0 7x + y 5 = 0 A intersecção é: 7x + y 5 = 0 y = 5 7x ( x + 4) + ( y 8) = 5 ( x + 4) + ( 5 7x 8) = 5 y = 5 7x y = 5 7x ( ) x + 8x x 3 = 5 x + 8x x + 4x + 9 = 5 y = 5 7x y = 5 7x y = 5 7x y = 5 y = 1 50x + 50x = 0 50x ( x + 1) x = 0 x = 1 x = 0 x = 1 Dos pontos (0,5) e (-1,1) o mais próximo da origem é (0,5) dos pontos de intersecção da circunferência de diâmetro [AB] com os eixos coordenados são (0,0) e (0,10). Para os calcularmos vamos começar por: o calcular as coordenadas do centro que é o ponto médio de [AB] , = 0,5 ( ) o Em seguida vamos calcular o raio calculando a distância do centro a um dos pontos: ( ) ( ) r = = = 5 A equação da circunferência é ( ) x + y 5 = 5 e o para determinarmos os pontos de intersecção com o eixo Oy substituímos x por 0. ( y 5) = 5 y 5 = 5 y 5 = 5 y = 10 y = 0 o e concluímos que a circunferência intersecta o eixo das ordenadas nos pontos (0,0) e no ponto (0,10). Para determinarmos os pontos de intersecção com o eixo Ox vamos substituir y por 0 e fica: ( ) circunferência só intersecta Ox na origem. x + 5 = 0 x + 5 = 5 x = 0 x = 0 e a 4.. Uma condição que caracterize cada um dos seguintes conjuntos de pontos do plano eixo Ox é y = eixo Oy é x = recta paralela ao eixo Ox e que passa por C é y = pontos de ordenada menor ou igual à ordenada do ponto E é y recta AE é y = circunferência de centro B e que contém o ponto D é ( ) ( ) porque raio = BD = (4 + 10) + = 00. x 4 + y = 00 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/010

8 4..7. circunferência centrada em A e tangente ao eixo Oy tem raio 4 e uma sua x y 8 = 16 equação é ( ) ( ) círculo com centro em D e que é tangente à recta AE tem raio 8 e uma condição que o define é: ( ) x y recta mediatriz do segmento de recta [AC] é: ( x + 4) + ( y 8) = ( x + 3) + ( y 1) x + 8x y 16y + 64 = x + 6x y y x 14y + 70 = 0 x 7y + 35 = 0 y = x mediatriz do segmento de recta com extremos nos pontos médios dos segmentos [AB] e [CD]. Comecemos por calcular as coordenadas dos pontos médios de [AB] e [CD]. O ponto médio de [AB] é (0,5) e o de [CD] é, +, = Uma equação da mediatriz é então ( ) 13 1 x + y 5 = x + + y x + ( y 5) = x + y x y 10y 5 x 13x y y = x + 9y + = 0 6x + 18y + 35 = 0 y = x Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 009/010

9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 10 Critérios de correcção Identificar u = MD. Identificar X 3 Identificar Y Identificar Z Identificar W ( x,y,z ).. Escrever a condição BX = XW Identificar X( 1,3, 1) e B( 1,1,1 ) Obter a equação ( ) ( ) ( ). x 1 + y 3 + z + 1 = 1.. Identificar a equação como sendo uma superfície esférica de centro X e passando por B Escrever a equação vectorial da recta XD. 4 Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 009/010

10 Resolver o sistema 4 Apresentar as coordenadas do ponto de intersecção das rectas Identificar a secção... Reconhecer que o sólido referido é um tronco de pirâmide.. Calcular o volume do sólido Representar o domínio Escolher a estratégia para calcular a área.. 3 Calcular a área do pentágono Calcular a altura do triângulo Calcular a área da base Calcular o volume do prisma Professora: Rosa Canelas 10 Ano Lectivo 009/010

11 Total 100 Professora: Rosa Canelas 11 Ano Lectivo 009/010