Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 8 GRUPO I 1. Se numa caixa de forma cúbica cabem exactamente oito bombons, quantos bombons iguais a esses cabem numa caixa com a mesma forma mas com a aresta dupla da anterior? (A) 64 (B) 16 (C) 3 (D) 1. Qual das condições seguintes define, em referencial o.n. Oxyz, uma recta paralela ao eixo Oz? (A) ( x,y,z ) = ( 7,0,0 ) + k ( 1,1,0 ),k (B) ( x, y, z) = ( 1,1,0 ) + k ( 0,0,7 ),k (C) ( x, y, z) = ( 1,1,0 ) + k ( 7,0,0 ),k (D) ( x,y,z ) = ( 0,0,7 ) + k ( 1,1,0 ),k 3. Considere, em referencial o.n. xoy, a recta r que intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e que intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 6. Qual é a equação reduzida da recta r? (A) y = 3x + 6 (B) y = 3x + 6 (C) y = x + 3 (D) y = x Em referencial o.n. Oxyz, considere: a esfera E definida pela condição x + y + z 4 a recta r definida pela condição ( x, y, z) = ( 0,0, ) + k ( 0,1,0 ),k Professora: Rosa Canelas 1

2 A intersecção da esfera E com a recta r é: (A) um segmento de recta de comprimento (C) um ponto (B) um segmento de recta de comprimento 4 (D) o conjunto vazio. 5. Na figura está representada, em referencial o.n. xoy, uma semicircunferência de centro na origem e que passa nos pontos P e Q. O ponto P tem coordenadas ( 3,4) e o ponto Q tem coordenadas ( 3,4 ). Na figura está também representado o segmento de recta [PQ]. Qual das condições seguintes define o domínio plano sombreado? (A) x + y 5 3 x 3 (C) x + y 16 3 x 3 (B) x + y 5 y 4 (D) x + y 16 y 4 GRUPOII 1. Considere, num referencial ortogonal e monométrico Oxyz, a superfície esférica cujo centro é o ponto de coordenadas ( 1,1,1 ) e que é tangente ao plano de equação z = Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determine as coordenadas desses dois pontos. 1.. O segmento de recta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica. Justifique esta afirmação Determine o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica. Professora: Rosa Canelas

3 . Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo [DEFGHIKL] e no paralelepípedo rectângulo [HIJMNOPQ] Sabe-se que: HN = DH O volume do paralelepípedo é igual a 5 8 do volume do cubo. O ponto B é o ponto médio da aresta [MJ]..1. Admita que DG = 8 e que AG = 1. Determine AB... Represente, na figura, a secção produzida no sólido pelo plano ABC..3. Indique a posição relativa dos seguintes pares de rectas: HL e FL, HP e GL, HN e DK.4. Indique, justificando, as amplitudes dos ângulos KHG e PMQ 3. Num referencial ortogonal e monométrico xoy, considere: o ponto P de coordenadas ( 0,1 ) um ponto Q, tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenada Seja y a ordenada do ponto Q. Mostre que a distância do ponto Q ao ponto P é y + 1. Professora: Rosa Canelas 3

4 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 8 Proposta de resolução GRUPO I 1. (A) Se numa caixa de forma cúbica cabem exactamente oito bombons, os bombons iguais a esses que cabem numa caixa com a mesma forma mas com a aresta dupla da anterior é 64 porque se a aresta duplica (significa que os dois cubos são semelhantes e a razão de semelhança é ) o volume aparece multiplicado por 8 (porque a razão dos volumes é o cubo da razão de semelhança).. (B) Das condições seguintes a que define, em referencial o.n. Oxyz, uma recta paralela ao eixo Oz é ( x, y, z) = ( 1,1,0 ) + k ( 0,0,7 ),k por ser a única cujo vector director tem a direcção do eixo Oz. 3. (A) Considerando, em referencial o.n. xoy, a recta r que intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e que intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 6. A equação reduzida da recta r é y = 3x + 6, porque antes de mais não pode ser (C) nem (D) por ser 6 a ordenada na origem (ordenada do ponto onde a recta intersecta Oy) e ainda não podendo ser (B) por ser uma recta com inclinação entre 90 e 180 (decrescente) tem declive negativo. 4. (C) Em referencial o.n. Oxyz, considere: a esfera E definida pela condição x + y + z 4 a recta r definida pela condição ( x, y, z) = ( 0,0, ) + k ( 0,1,0 ),k A intersecção da esfera E com a recta r é um ponto. Pois temos uma esfera com centro na origem e raio e uma recta paralela ao eixo Oy passando no ponto de coordenadas ( 0,0, ) e único ponto da recta em que esta encontra a esfera. 5. (B) Na figura está representada, em referencial o.n. xoy, uma semicircunferência de centro na origem e que passa nos pontos P e Q. O ponto P tem coordenadas ( 3,4) e o ponto Q tem coordenadas ( 3,4 ). Na figura está também representado o segmento de recta [PQ]. Professora: Rosa Canelas 4

5 A condição que define o domínio plano sombreado é circunferência é 5 ( OP 3 4 OP 5 ) x + y 5 y 4. Primeiro o raio da = + = o exclui (C) e (D) e como o segmento [PQ], que faz parte da fronteira, é parte da recta de equação y = 4 só pode ser x + y 5 y 4. GRUPOII 1. Consideremos, num referencial ortogonal e monométrico Oxyz, a superfície esférica cujo centro é o ponto de coordenadas ( 1,1,1 ) e que é tangente ao plano de equação z = Daqui podemos concluir que o raio da superfície esférica é 3 pois a diferença entre a cota dos pontos do plano e a cota do centro é = Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determinemos as coordenadas desses dois pontos: Equação da superfície esférica: ( ) ( ) ( ) x 1 + y 1 + z 1 = 3 Os pontos que procuramos são da forma ( x,x,x ) e pertencem à superfície esférica e por isso vamos substituir estas coordenadas na equação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 + x 1 + x 1 = 3 3 x 1 = 3 x 1 = 1 x 1= 1 x 1= 1 x = x = 0 Os pontos têm coordenadas ( 0,0,0 ) e (,, ) 1.. O segmento de recta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica porque o seu ponto médio é = o centro da superfície esférica.,, ( 1,1,1 ) 1.3. Determinemos o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica. Um cubo inscrito na superfície esférica tem como diagonal espacial o diâmetro da superfície esférica. Como a diagonal espacial de um cubo de aresta a mede a 3 e o diâmetro desta superfície esférica é 3 concluímos que a aresta mede. ( a 3 = 3 a = ) Então o volume do cubo é 3 V = V = 8 Professora: Rosa Canelas 5

6 . Na figura está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ DEFGHIKL ] e no paralelepípedo rectângulo [ HIJMNOPQ ]. Sabe-se que: o HN = DH o o volume do paralelepípedo é igual a 5 8 o o ponto B é o ponto médio da aresta [ MJ ] do volume do cubo;.1. Admitamos que DG = 8 e que AG = 1. Determinemos AB. o Como DG = 8 então DG = HN = DH = 8 o O volume do cubo é 3 8 = 51 e por isso o volume do paralelepípedo é igual a =. o Vparalelepípedo = 30 HM HI HN = 30 HM 8 8 = HM = HM = S 1 Ao observar a figura à esquerda verificamos que AS = DG DS AG = 8 5 1= e em seguida podemos determinar a distância de A a M. AM = AS + SM AM = + 8 AM = ± 68 Como se trata de uma distância temos AM = 68. O triângulo [ AMB] é rectângulo em M e BM = 4, pois o ponto B é o ponto médio da aresta [ MJ ]. Assim, AB = AM + MB AB = AB = ± 84 Como se trata de uma distância temos AB = 84 = 1.. A secção produzida no sólido, pelo plano ABC, está representada na figura ao lado. Professora: Rosa Canelas 6

7 .3. Os seguintes pares de rectas são: HL e FL concorrentes perpendiculares. HP e GL não complanares. HN e DK concorrentes oblíquas..4. Indiquemos, justificando, as amplitudes dos ângulos KHG e PMQ. Ao considerarmos o triângulo [ KHG] podemos constatar que ele é equilátero pois todos os seus lados são diagonais faciais do cubo. Num triângulo equilátero os ângulos internos são geometricamente iguais e a amplitude de cada um é 60º. Por isso, KHG = 60º. Ao considerarmos o triângulo [ MPQ] podemos constatar que ele é rectângulo e isósceles MJPQ é um quadrado. Por isso MPQ = 45º. pois [ ] 3. Num referencial ortogonal e monométrico xoy, consideremos: o ponto P de coordenadas ( 0,1 ) um ponto Q, tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenada Seja y a ordenada do ponto Q. Mostremos que a distância do ponto Q ao ponto P é y + 1. Se Q( x,y ) e x = 4y x = ± 4y, ficamos a saber que a ordenada de Q é positiva por o seu quádruplo ser igual ao quadrado da abcissa. Teremos que Q( 4y,y) P 0,1 e ± e ( ) ( ) ( ) ( ) PQ = ± 4y 0 + y 1 = 4y + y y + 1 = y + y + 1 = y + 1 = y + 1 Professora: Rosa Canelas 7

8 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 8 Critérios de correcção Grupo I A B A C B Grupo II x 1 + y 1 + z 1 = 3 5 Equação da superfície esférica: ( ) ( ) ( ) Os pontos são da forma ( x,x,x ) e verificam a equação da s.e.. Substituir na equação y e z por x e resolver.. 6 Indicar as coordenadas dos pontos ( 0,0,0 ) e (,, ). 1.. O ponto médio é o centro da s.e. e calcular Calcular a aresta do cubo identificando a diagonal com o diâmetro.. 4 Calcular o volume Concluir que HM = 5 4 Encontrar uma estratégia adequada ao cálculo da distância. 4 Calcular AB = 84 = Desenhar a secção HL e FL concorrentes perpendiculares HP e GL não complanares HN e DK concorrentes oblíquas KHG = 60º e justificação.. 4 MPQ = 45º e justificação.. 4 Professora: Rosa Canelas 8

9 Q( x,y ). x = 4y x = ± 4y.. Q( 4y,y) ±. 3 PQ = ( ± 4y 0) + ( y 1). Cálculos concluindo que PQ = y Total 100 Professora: Rosa Canelas 9