Exercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica

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1 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Espcex (Aman) 015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação x y 4 0 é o ponto a), 1. b) 1,. c) 4,4. d),8. e),.. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e b) 4 e 5 c) 4 e d) e 4 e) e Página 1 de 15

2 4. (Unicamp 015) No plano cartesiano, a equação x y x y representa a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes. 5. (Unifesp 015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto. No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6. a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P. b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura. 6. (Insper 014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(,, 5), B(5,, 5), C(5, 4, 5) e D(, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, está localizado no ponto a) (,1, 5). b) (,, ). c) (,, 6). d) (4,, 7). e) (4,,11). 7. (G1 - ifsp 014) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos A(;5), B(; 6) e C( 4;1) no Plano Cartesiano. O triângulo A B C é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A B C é a) ( ; 5 ). b) ( ; 6 ). c) ( ; 1 ). d) ( 4 ; 5 ). e) ( 4 ; 1 ). 8. (Unesp 014) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Página de 15

3 Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90 no sentido anti-horário, a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M girando o segmento PA em um ângulo de 90 no sentido horário, a partir de P; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P e o ponto do local do tesouro. 9. (Espm 014) Os pontos O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) do plano cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de diagonal PQ vale: a) 1 b) 16 c) 5 d) 4 e) (Unicamp 014) No plano cartesiano, a reta de equação x y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas 4 a) 4,. b) (, ) 4 c) 4,. d) (, ). 11. (Insper 014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B, B14 e M. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado. Página de 15

4 André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas a) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H (Insper 014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 1x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a a) 1. b). c). d) 4. e) (Unicamp 014) Considere no plano cartesiano os pontos A ( 1, 1) e B (, ). a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a (Fgv 014) Os pontos A, e C 1,4 do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada: a) / b) /5 c) 1/ d) 1/ e) (Fuvest 014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 17 b), 4 Página 4 de 15

5 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, (Insper 014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, ) e B(, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45, representa uma estrada que será construída. Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 1 a), 0. 1, 0. b) c), 0., 0. d) 5 e), (Insper 014) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então a) b a. b) b a 9. c) b a 6. d) b a 9. e) b a (Ita 014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento, a) b) c) Página 5 de 15

6 d) e) Página 6 de 15

7 Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t 4, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t 4). 4 O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (, 1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k sendo g(x), x x k x 4x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( 4) 4 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : [A] Considerando, (r ) x y 4 0 e P(1, 5) Determinando a equação da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5) ( s) x y k 0 10 k 0 k 7 Logo, a equação da reta ( s) será dada por x y 7 0. Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s. x y 4 0 x y 7 0 Resolvendo o sistema, temos M( 1, ). Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de PA. Página 7 de 15

8 1 xa 1 xa 5 xa xa 1 Logo, A(, 1). Resposta da questão : [A] Completando os quadrados, vem m m x x y my n (x 1) y n 1. 4 Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m 4. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em (, 4), obtemos n x x y my ( ) ( ) 4 ( 4) 4. Resposta da questão 4: [D] Supondo que x, y, temos x y x y x y x y ou x y x y x e y 0 ou, x 0 e y ou seja, a equação representa os eixos cartesianos, cuja interseção é a origem. Resposta da questão 5: Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. Página 8 de 15

9 π a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento rad. modo, tem-se que Desse π π P 6 cos, 6sen (, ). b) Sendo BOP 60, temos POA e, portanto, OAP 75. Daí, segue que OP OA 6 e, assim, A (0, 6). Portanto, a equação reduzida da reta AP é 6 y 6 (x 0) y ( )x 6. 0 Resposta da questão 6: [E] Observando que as cotas dos pontos A, B, C e D são iguais, podemos concluir que o quadrilátero ABCD está contido no plano z 5. Logo, se O é o centro de ABCD, tem-se que VO é paralelo ao eixo z. Além disso, é fácil ver que ABCD é um quadrado de lado. Desse modo, sabendo que o volume de VABCD é igual a 8, obtemos 1 8 VO VO 6. Portanto, como O,, (4,, 5), segue-se que V (4,, 5 6) (4,,11) ou V (4,, 5 6) (4,, 1). Porém, sabendo que V tem as três coordenadas positivas, só pode ser V (4,, 11). Resposta da questão 7: [E] Considerando que o simétrico de um ponto P( x,y) em relação ao eixo y é P ( x,y), temos: A(,5), então A =(,5) B(, 6), então B (, 6) C( 4,1), então C (4,1) Logo, a alternativa [E] é a correta. Página 9 de 15

10 Resposta da questão 8: ΔP BM ΔACP (LAA ) P B AC a e P C b o 1 1 ΔACP ΔM DP (LAA ) DP a e M D 10 b o Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b). 1 Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M 1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M 1 e M é M(5,5). Resposta da questão 9: [E] Sabendo que O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) são colineares, vem Página 10 de 15

11 0 x x x x 0 x ou x 1. Mas O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) são distintos. Logo, só pode ser x. Portanto, a área do quadrado de diagonal PQ vale ( (1 ( )) ( 1 ) ) 18 9 u.a. Resposta da questão 10: [D] A equação segmentária da reta AB é x y x y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( 4), (, ). Resposta da questão 11: [A] Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B (1,5; 1,5), B14 (1,5;1,5) e M (,5;,5). Queremos determinar o circuncentro do triângulo BB14M. A mediatriz do segmento BB14 é a reta 1,5 1,5 x x 7,5. A reta BM tem coeficiente angular igual a 1,5, ,5,5 O ponto médio do segmento BM é,5 1,5,5 1,5, (, 8). Logo, a equação da mediatriz do segmento BM é dada por y 8 (x ) y x Daí, a ordenada do circuncentro é Página 11 de 15

12 1 86 9,5 y 7,5 8, Portanto, como o ponto (7,5; 8,5) corresponde ao centro do quadrado G8, segue-se o resultado. Resposta da questão 1: [B] Fazendo y 0 na equação 1x 5y 60, obtemos o ponto A (5, 0), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x 0, encontramos o ponto B (0,1), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita no triângulo AOB. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 1. Logo, temos OA OB OA OB AB r 5 1 (5 1 1) r r. Resposta da questão 1: a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto 1 médio de AB é, e o coeficiente angular da reta AB é 1, segue-se que a equação da mediatriz de AB é dada por 1 y x x y 0. b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C (0, α), com α 0. Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos α α 1 α 1 α α ou α 4. Página 1 de 15

13 Porém, sendo α 0, só pode ser α 4. Resposta da questão 14: [D] 4 ( ) O coeficiente angular da reta AC é igual a m. Daí, como AC e BD são AC 1 perpendiculares, segue-se que m m 1 m, com m sendo o coeficiente AC BD BD BD angular da reta BD. Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos ( 1) 4 M, (1,1). Sabendo que M é o ponto de interseção das retas AC e BD, concluímos que a equação de BD é 1 y 1 (x 1) y x. Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto de interseção de BD com o eixo Oy é igual a 1. Resposta da questão 15: [D] Considere a figura. A equação da reta AB é dada por yb 4 y x y x. x B Logo, tem-se y Q,y 4 e y M,0, 4 com 0 y 4. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 4 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) x x 8 B C 4 y x. 5 5 Página 1 de 15

14 Daí, 5y P, y 4 e 5y N, 0, 4 com 0 y 4. A área do retângulo MNPQ é dada por (MNPQ) MN PN 5y y (y 0) 4 4 y 8y [(y ) 4)] 8 (y ). Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 16: [C] Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se da, r db, r d, então M pertence à reta r. Logo, 11 P, M,, 4 e, portanto, a equação de r é 11 y 4 tg45 x y x. Em consequência, tomando y 0, segue-se que Resposta da questão 17: [E] C, 0. De acordo com as informações, temos r : y 10x a e s : y 9x b. Logo, se x 6 é a abscissa do ponto de interseção de r e s, então 10 6 a 96 b b a 6. Resposta da questão 18: [D] Página 14 de 15

15 O ponto D pertence à mediatriz do segmento BC, logo D é (K,). Considerando que D é equidistante dos pontos A e B, temos: AD BD K 1 4 K 5 5 K K 11 K 10K 5 4 8K 7 7 K 8 7 Portanto, D,. 8 Logo, a medida do raio r será dada por: R AD 1 ( 4) Página 15 de 15