Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta

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1 Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta ) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-,) e B(5,7) tem abscissa igual a: a), b), c),4 d),5 e),2 2) (UFSCar-2004) Os pontos A(, 6), B(, ) e C(x C, y C ) são vértices do triângulo ABC, sendo M(x M, y M ) e N (4, 5) pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. a) Calcule a distância entre os pontos M e N. b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do triângulo ABC. 0 b) 2 c) 2 0 d) 2 e) 0 6) (Vunesp-200) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (,5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. ) (Vunesp-200) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (- 2,) e (,- 2), respectivamente, conforme a figura, a) calcule a distância entre A e B. b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro 2 do triângulo ABC são (x G,y G ) = (,), calcule as coordenadas (x C,y C ) do vértice C do triângulo. 4) (Vunesp-998) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (, -) e (-, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas? 5) (UFSCar-200) Dados os pontos A(2,0), B(2,) e C(,), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é 0 a) 7) (UEL-998) Considere os pontos A(; -2), B(2; 0) e C(0; - ). O comprimento da mediana do triângulo ABC, relativa ao lado AC, é: a) 8 2 b) 6 2 c) 4 2 d) 2 2 e) 2 8) (UCDB-0) Um triângulo tem vértices A(5,0), B(6,0) e (0,0). Então a mediana AM mede: a) 0 u.c. b) u.c. c) 2 u.c. d) u.c. e) 9 u.c. 9) (UNIFOR-0) O triângulo de vértices (0,), ( 2,0) e (2, 2 ) é: a) inexistente b) equilátero c) isósceles d) escaleno e) retângulo 0) (Fuvest-999) Uma reta passa pelo ponto P = (,) e é tangente à circunferência de centro C = (,) e raio num ponto T. Então a medida do segmento PT é: a) b) 2 Projeto Futuro Militar

2 c) 5 d) 6 e) 7 ) (UFMG-995) Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y = mx, têm abscissas a e a +, respectivamente. A distância entre P e Q é 0. A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Nessas condições, o valor de m é: a) b) 0 c) d) 0 /0 e) 0 2) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = i, z 2 = e z = + ( 2 5 )i. O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é a) 2 + i. b) + (/2)i. c) + 5i. d) 2 + (/2)i. e) 4 + 5i. ) (UNIFESP-2004) Considere os gráficos das funções definidas por f(x) = log 0 (x) e g(x) = 0 x, conforme figura (fora de escala). e) (6,0) 5) (ITA-995) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (-b, -b) b) (2b, -b) c) (4b, -2b) d) (b, -2b) e) (2b, -2b) 6) (Fuvest-2004) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: a) 5 - b) c) 5-2 d) e) ) (Mack-2007) Os gráficos de y = x + 2 e x + y = 6 definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de área a) 2 b) 6 c) 0 d) 8 e) 4 8) (VUNESP-2007) Um triângulo tem vértices P = (2,), Q = (2,5) e R = (x 0,4), com x 0 > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x 0 do ponto R é: a) 8. b) 9. c) 0. d). e) 2. a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB. b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo x >0. 4) (UNIFOR-0) No plano cartesiano, os pontos (0,0), (,) e (7, ) são vértices de um retângulo. O quarto vértice deste retângulo é: a) ( 4,4) b) (, ) c) (4,2) d) (4, 4) 9) (UNIFESP-2004) Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y = 2x e x = k, k >0. 2 Projeto Futuro Militar

3 25) (Cesgranrio-994) A área do triângulo cujos vértices são os pontos (,2), (,5) e (4,-) vale: a) 4,5 b) 6 c) 7,5 d) 9 e) 5 Nestas condições, expresse, em função de k: a) a área A(k) da região sombreada. b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada. 20) (Unicamp-999) Uma reta intersecciona nos pontos A (, 4) e B (-4, ) uma circunferência centrada na origem. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. 2) (Unifesp-2002) No triângulo QPP' do plano cartesiano, temos Q = (a,0), com a < 0, P = (4,2) e P' o simétrico de P em relação ao eixo x. Sabendo que a área desse triângulo é 6, o valor de a é: a) 5. b) 4. c). d) 2. e). 22) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do x plano e r a reta de equação y = 2. a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o gráfico da reta r. x b) Se C = (x, 2 ), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C. 2) (U Passo Fundo-0) Os pontos A(-,), B(2,-2) e C(,4): a) estão alinhados b) formam um triângulo retângulo c) formam um triângulo isósceles d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a. e) formam um triângulo escaleno de 0,5 u.a. 24) (Cesgranrio-995) A área do triângulo, cujos vértices são (,2), (,4) e (4,-), é igual a: a) 6. b) 8. c) 9. d) 0. e) 2. 26) (VUNESP-2007) Sejam P = (a, b), Q = (, ) e R = (, ) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares. 27) (IBMEC-2005) Para que os pontos do plano cartesiano de coordenadas (: ), (a: 2) e (2: b) estejam sobre uma mesma reta é necessário e suficiente que a) ab = a b. b) ab = a + b. c) ab = b a. d) ab = a 2 b 2. e) ab = a 2 + b 2. 28) (UERJ-998) (O Estado de São Paulo, 6/08/97) Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha. a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando:» A está situado entre B e C;» A está situado fora do segmento BC. b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente. 29) (Fuvest-2000) Se (m + 2n, m 4) e (2 m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) 2 b) 0 c) 2 d) e) 2 Projeto Futuro Militar

4 0) (Unifesp-2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + y, x y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x y é igual a a) 8. b) 6. c). d) 8. e) 9. ) (FUVEST-2007) Na figura abaixo, os pontos A, A 2, A, A 4, A 5, A 6 são vértices de um hexágono regular de lado com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A e A 4 pertencem ao eixo x. São dados também os pontos B = (2, 0) e C = (0, ). cada distrito. A figura à direita é uma representação aproximada dos distritos de Campinas. Distrito de Campinas População (x000 hab) Casos de dengue Coeficiente de incidência (casos por 0000hab) Norte , Sul ,8 Leste ,4 Sudoeste 25 5,8 Noroeste Total 060 Fonte: Secretaria Municipal de Saúde de Campinas Coordenadoria de Vigilância e Saúde Ambiental (dados preliminares). Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine a) a equação da reta OP b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono. Responda às questões abaixo, tomando por base os dados fornecidos na tabela e na figura mostradas acima. 2) (Fuvest-996) Para cada número real m seja P m =(x m,y m ) o ponto de intersecção das retas mx + y = e x - my =. Sabendo-se que todos os pontos P m pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência? a) (/2, /2) b) (0,0) c) (-/2, /2) d) (-/2, -/2) e) (,) ) (UNICAMP-2008) O texto 2 da coletânea faz referência ao combate à dengue. A tabela abaixo fornece alguns dados relativos aos casos de dengue detectados no município de Campinas na primeira metade do ano de A primeira coluna da tabela indica os distritos do município, segundo a prefeitura. A segunda indica a população aproximada de cada distrito. A terceira informa os casos de dengue confirmados. Na última, são apresentados os coeficientes de incidência de dengue em a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo que os distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade têm, respectivamente, 75 km 2, 50 km 2, 20 km 2 e 75 km 2. b) Suponha que, como uma medida de combate à dengue, o município de Campinas tenha decidido fazer uma nebulização (ou pulverização) de inseticida. Na fase inicial da nebulização, será atendido o distrito com maior número de casos de dengue por km 2. Reproduza o diagrama ao lado em seu caderno de respostas. Em seu diagrama, marque os pontos correspondentes aos cinco distritos de Campinas. Identifique claramente o distrito 4 Projeto Futuro Militar

5 associado a cada ponto. Com base no gráfico obtido, indique o distrito em que será feita essa nebulização inicial. Justifique sua resposta. 4) (UNIFESP-2004) Na figura, estão representados, no plano cartesiano xoy, a reta de equação y = 2kx, 0 k 2, a parábola de equação y = -x 2 + x e os pontos O, P e Q de intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a parábola. Nestas condições, o valor de k para que a área do triângulo OPQ seja a maior possível é: a) 2 b) 4 9 c) 8 d) 8 e) 2 Assinale a opção que corresponde à alternativa correta: a) I, III e V são verdadeiras b) somente III é verdadeira c) III e V são verdadeiras d) II é falsa e) II, IV e V são verdadeiras 7) (Fuvest-2002) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-, ) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima. 8) (Fuvest-996) Considere no plano cartesiano, os pontos P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com x>0. a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX? b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ. c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que x>0 e PXQ=/4 radianos. 9) (Mack-996) Na figura a seguir, cotg = 4, tg = 2 e M (2, ) é o ponto médio de AB. Então o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é: 5) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-,) e B(5,7) tem abscissa igual a: a), b), c),4 d),5 e),2 6) (Emescam-2002) Dados os pontos A(0,0), B( 2,2), C(0,) e D(,), considere as seguintes afirmações: I. O quadrilátero ABCD é um trapézio. II. A equação da reta que passa pelos pontos A e B é x + y = 0. III. A reta de equação x 5y + 0 = 0 é perpendicular à reta que passa pelos pontos B e D. IV. O ponto simétrico de D em relação ao eixo das abscissas é o ponto S(, ). V. A área do triângulo ACD vale 4,5 u.a. (unidades de área). a) -. b) -2. c) - 5. d) e) Projeto Futuro Militar

6 40) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de terceiro grau, sabe-se que P(-) = 2, P(0) =, P() = 2 e P(2) = 7. a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x). b) Determine P(x). 4) (UFSCar-2005) Seja A = (p, p) um ponto de intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de centro C = (0,0), com p real e diferente de 0. a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de inclinação. b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências, com as características de λ, tais que p 9, calcule a área da região formada pela intersecção de R com {(x,y) y qx}. 42) (FGV-2004) a) No triângulo ABC da figura ao lado, sabe-se que: a = 7 c 4, sen = 7, 90 < b < 80 a) y = tg 72 o x + sen 72 o. b) y = tg 72 o x sen 6 o. c) y = tg 6 o x cos 6 o. d) y = tg 72 o x + cos 72 o. e) y = tg 6 o x + cos 72 o. 45) (Fatec-2002) As dimensões do retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice sobre o gráfico de f(x) = 2-2x são: a) 2 e 9 b) e 6 c) e 6 d) 2 2 e 9 2 /2 e) 2 e 2 46) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que satisfazem a relação x 2 y 2 = 0? b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio, com centro pertencente à reta x y = 0 e tangente à reta x + 4y = 0? 47) (Fuvest-998) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (,), (5,), (5,5) e (,5). Então: a) 0 < m < b) m = Determine o valor do ângulo α. b) Escreva a equação da bissetriz do maior ângulo formado pelas retas y = e y = 2 x. c) < m < d) m = e) < m < 5 4) (AFA-998) Seja P(,) o ponto médio do segmento AB, onde A é intersecção da reta (t) com a reta (r) x - y = 0 e B, a intersecção de (t) com a reta (s) x + 5y = 0. O coeficiente angular de (t) é a) negativo. b) par positivo. c) 5, pois (t) é perpendicular à (s). d) nulo, isto é, a reta é do tipo y = k, k = constante. 48) (FUVEST-2009) Na figura ao lado, a reta r tem equação y = 2 2 x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B 2, B estão na reta r, sendo B 0 = (0, ). Os pontos A 0, A, A 2, A estão no eixo Ox, com A 0 = O = (0, 0). O ponto D i pertence ao segmento A i B i, para i. Os segmentos A B, A 2 B 2, A B são paralelos ao eixo Oy, os segmentosb 0 D, B D 2, B 2 D são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e B i + é igual a 9, para 0 i 2. 44) (FMTM-2002) A figura representa um pentágono regular ABCDE no sistema de coordenadas cartesianas de origem O. O ponto A pertence ao eixo y e o segmento BC, de medida, está contido no eixo x. A equação da reta que contém o segmento AB é 6 Projeto Futuro Militar

7 combustíveis torna o abastecimento mais vantajoso em cada um dos estados. Justifique sua resposta. () Nessas condições: a) Determine as abscissas de A, A 2, A. b) Sendo R i o retângulo de base Ai A i + e altura A i + D i +, para 0 i 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R 0, R e R 2. 49) (Mack-2008) As retas y = x, y = e x = 0 definem 2 4 um triângulo, cuja raiz quadrada da área é a) 4 b) 6 2 c) 4 d) 8 e) 5 50) (FGV-SP-2008) Os carros flex, com motores que funcionam tanto a gasolina quanto a álcool, já representam mais da metade dos veículos novos vendidos no País, mas muitos consumidores ainda têm dúvidas sobre a confiabilidade, o consumo, o funcionamento e a manutenção dos motores bicombustíveis, bem como sobre quando utilizar álcool ou gasolina para economizar. Segundo informações de uma montadora a respeito de um carro flex por ela lançado recentemente, o consumo médio do veículo na cidade é de 0,0 km/l com gasolina e 7, km/l quando abastecido com álcool. a) A partir do consumo médio do veículo com gasolina e com álcool, estabeleça uma função que forneça a distância que o veículo percorre com álcool em relação à que percorre com gasolina, considerando a mesma quantidade de litros dos dois combustíveis. Esboce o gráfico dessa função. () b) Em que condição é mais vantajoso abastecer com álcool? Justifique a sua resposta a partir da análise do gráfico esboçado no item A.a). (2) c) A tabela abaixo apresenta dados sobre o preço médio da gasolina e do álcool, no período de 22 a 28/07/2007, em alguns estados brasileiros. Analise qual dos dois Preços praticados em alguns estados do Brasil, período de 22 a 28/07/2007 ESTADO Preço médio Preço médio álcool gasolina AMAPA 2,29,98 MATO 2,920,25 GROSSO PIAUI 2,576,866 SÃO PAULO 2,99,76 (adaptado de 5) (Vunesp-2006) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, ) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q = (, 2) são, respectivamente: a) ; x - y - 5 = 0 2 b) ; 2x - y - = 0 c) - ; x + y - 5 = 0 d) ; x + y - 5 = 0 e) - ; x + y + 5 = 0 52) (FUVEST-2006) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t 2 - t - 6 = 0, onde t = x - y, consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parábola. e) duas parábolas. 5) (FMTM-2005) Sejam (r) e (s) retas de equações 2x+y- 4=0 e x-2y+=0, respectivamente. Em relação ao losango ACBD, sabe-se que: - os vértices A e B são os interceptos de (r) com os eixos cartesianos; - o vértice C pertence à reta (s) e dista 6 unidades da reta (r); - os vértices C e D não são consecutivos. Em tais condições, a área do losango ACBD é a) 2 5. b) Projeto Futuro Militar

8 c) 4 5. d) 4 2. e) ) (Mack-2005) Uma reta passa pelos pontos (, 0) e (0, b), sendo que o seu coeficiente angular é a raiz de um polinômio de grau com coeficientes inteiros e não nulos. Então, necessariamente, b é um número: a) inteiro par. b) inteiro ímpar. c) racional positivo. d) racional negativo. e) irracional 55) (UFSCar-2004) Os pontos A(, 6), B(, ) e C(x C, y C ) são vértices do triângulo ABC, sendo M(x M, y M ) e N (4, 5) pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. a) Calcule a distância entre os pontos M e N. b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do triângulo ABC. b) circunferência de centro em B e raio é x 2 + y 2-6x - 4y + 5 = 0. c) reta horizontal que passa por A é y = 2. d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do o quadrante é x - y - 2 = 0. e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do o quadrante é x + y - 2 = 0. 58) (Vunesp-998) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xoy, considere a reta r de equação y = x + e o ponto P = (2,). O lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de equação: a) y = x -. b) y = - x +. c) y = x +. d) y = x -. e) y = - x ) (Mack-2002) 56) (FGV-2004) Seja r a reta 4x + 7y - 56 = 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O(0,0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC. a) Encontre a equação da reta s. b) Determine as coordenadas do ponto C. 57) (Fatec-200) Na figura abaixo os pontos A, B e C estão representados em um sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O. Os pontos A e B estão no gráfico de y = /x, x > 0. A reta r, determinada pelos pontos A e B, forma com os eixos cartesianos um triângulo de área: a) 2 b) 2 c) 4 7 d) 4 9 É verdade que a equação da e) 2 5 a) circunferência de centro em B e raio é x 2 + y 2-8x - 6y + 24 = 0. 8 Projeto Futuro Militar

9 60) (UFMG-994) Observe a figura. Nessa figura, M = (a, a) é ponto médio do segmento AC, A = (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). A equação da reta BC é: a) 2y - x = 6 b) 2y + x = 6 c) x + 4y = 2 d) x - 4y = 2 e) 4x + 2y = 2 6) (Fuvest-200) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes angulares é e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0, ). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: a) 2 b) c) 4 d) 5 e) 6 62) (Mack-2002) Pelo vértice da curva y = x 2 4x +, e pelo ponto onde a mesma encontra o eixo das ordenadas, passa uma reta que define com os eixos um triângulo de área: a) 2 b) 4 c) 4 d) e) 4 9 6) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do x plano e r a reta de equação y = 2. a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o gráfico da reta r. x b) Se C = (x, 2 ), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C. 64) (UFPI-0) A reta r passa pelos pontos (, 2) e (, ) e intercepta os eixos coordenados nos pontos P e Q. O valor numérico da distância entre P e Q é: 5 a) 2 5 b) c) 2 25 d) e) 4 65) (Fuvest-982) Dados os pontos A (2, ) e B (8, 5): a) Achar a equação da reta AB. b) Achar a equação da mediatriz do segmento AB. 66) (Fuvest-999) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos Ox e Oy. Se a área desse triângulo é 8, a equação de r é: a) x y = 4 b) x y = 6 c) x + y = 2 d) x + y = 4 e) x + y = 6 67) (UFSCar-2000) Considere a reta r: (a+) 2 x+(a 2 -a)y - 4a 2 + a - = 0 a) Mostre que essa reta passa por um ponto cujas coordenadas não dependem do parâmetro a. b) Determine a de modo que r seja perpendicular à reta s: x - = 0. 68) (UFSCar-2008) Admita os pontos A(2, 2) e B(, 4) como sendo vértices opostos de um losango ACBD. a) Determine a equação geral de cada uma das retas suportes das diagonais do losango ACBD. b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD, admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das abscissas. 69) (UNICAMP-2007) Seja dada a reta x y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). 9 Projeto Futuro Militar

10 70) (Mack-2005) Na figura, se a equação da reta r é x + y - 4 = 0, a área do triângulo ABC é: caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas é 4m 2 a) 2m b) 4m 2 8m c) m 2m0 d) 2m a) 240 b) 220 c) 200 d) 260 e) 280 7) (Unicamp-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = /x, x > 0. As abcissas de A, B e C são iguais a 2, e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. 72) (AFA-998) A reta (s), simétrica de (r) x - y + = 0 em relação à reta (t) 2x + y + 4 = 0, a) passa pela origem. b) forma um ângulo de 60 O com (r). c) tem - 5 como coeficiente angular. d) é paralela à reta de equação 7y - x + 7 = 0. 7) (Fuvest-200) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r : y = 5x -, e um de seus catetos está contido na reta s : y = x -. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine a) todos os vértices do triângulo; b) a área do triângulo. 74) (Fuvest-999) A reta r tem equação 2x + y = e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(, 2) é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente: a) determine a equação de s. b) calcule a área do triângulo ABC. 75) (UFMG-200) Considere as retas cujas equações são y = -x+4 e y = mx, em que m é uma constante positiva. Nesse 76) (UFMG-200) Considere a parábola de equação y = 8x - 2x 2 e a reta que contém os pontos (4,0) e (0,8). Sejam A e B os pontos da interseção entre a reta e a parábola. DETERMINE a equação da mediatriz do segmento AB. 77) (AFA-999) O eixo das ordenadas, a reta r: y = 2x - e s, que é perpendicular a r e passa pela origem, determinam um polígono cujo valor da área é a) 5. 2 b) 5. c) d) ) (Mauá-2002) Precisa-se projetar um canal retilíneo para a ligação entre dois rios situados numa região plana. Nessa região, a representação matemática do curso de um dos rios é dada pela equação y = x 2 e a do outro, pela equação y = x- 2. Admitindo-se que o canal possa ser construído em qualquer lugar entre os dois rios, qual seu menor comprimento possível? 79) (ITA-996) São dadas as parábolas p :y=x 2 4x e p 2 :y=x 2 x+/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V e V 2. Sabendo que r é a reta que contém V e V 2, então a distância de r até à origem é: a) 5/ 26 b) 7/ 26 c) 7/ 50 d) 7/ 50 e) / 74 0 Projeto Futuro Militar

11 80) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o triângulo que delimita a região definida pelas inequações y 2, x 0 e x y 2. a) Obtenha as equações de todas as retas que são eqüidistantes dos três vértices do triângulo T. b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao triângulo T, destacando o centro e o raio. 8) (Vunesp-2006) Fixado um sistema de coordenadas ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0), A(0, 2) e a reta r de equação y = -. a) Se a distância do ponto Q(x 0, 2) ao ponto A é igual à distância de Q à reta r, obtenha o valor de x0, supondo x 0 > 0. b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual à distância até a reta r. centro de massa é, por definição, o ponto a c e b d f M,. Se os vértices dessa lâmina estão nos pontos A (0, 0), B (2, 0) e C (0, 9), a distância, em unidades de comprimento, do seu centro de massa M à reta que passa pelos pontos B e C, será: 4 a) 5 2 b) 5 c) 5 d) 5 e) 2 f) 4 82) (AFA-999) A distância entre o ponto de interseção das x t 2 y t retas r: 2x - y + 4 = 0 e s: 2, t R e a reta q: y x = 2 8 é 85) (UNIFESP-2004) Considere a reta de equação 4x - y + 5 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P =, 2 conforme a figura. A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é: a) 4 5. b) c) d) ) (VUNESP-2009) Determine as equações das retas que formam um ângulo de 5º com o eixo dos x e estão à distância 2 do ponto ( 4, ). 2 2 a) 5 2 b) c) d) e) 5 84) (UFPB-2006) Em uma lâmina triangular homogênea, com vértices nos pontos A (a, b ), B (c, d ) e C (e, f ), o seu 86) (FGV-2005) No plano cartesiano, seja P o ponto situado no º- quadrante e pertencente à reta de equação y = x. Sabendo que a distância de P à reta de equação x + 4y = 0 é igual a, podemos afirmar que a soma das coordenadas de P vale: a) 5,6 b) 5,2 c) 4,8 d) 4,0 Projeto Futuro Militar

12 e) 4,4 87) (UFC-2004) Considere a reta r cuja equação é y = x. Se P o é o ponto de r mais próximo do ponto Q(, ) e d é a distância de P o a Q, então d 0 é igual a: a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 88) (FGV-200) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m, ) à reta de equação x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: 6 a) - 7 b) - 8 c) - 9 d) - 20 e) - 89) (Mack-2002) A equação de uma reta, paralela à reta x + y - 4 = 0 e distante 2 do ponto P = (2,), é: a) x + y + = 0 b) x + y + 9 = 0 c) x + y - = 0 d) x - y - 6 = 0 e) x + y - 2 = 0 2 Projeto Futuro Militar

13 Gabarito ) Alternativa: E 7 2) a) 2 b) x - 4y + = 0 2) Alternativa: B 22) a) ) a) AB = 2 b) C(; 4) 4) y = 2, 5) Alternativa: D 6) Alternativa: B 7) Alternativa: E 8) Alternativa: D 9) Alternativa: C 0) Alternativa: A ) Alternativa: A 2) Alternativa: B, ) a) M = 2 2. b) demonstração. b) C(8,4) 2) Alternativa: E 24) Alternativa: A 25) Alternativa: C 26) Resposta: P = (2, 5) 27) Alternativa: B 28) a) b) 0 e 0cm respectivamente. 4) Alternativa: D 5) Alternativa: C 6) Alternativa: B Perceba que P está a direita de C. Perceba também que o triângulo BPQ (sendo Q o encontro da perpendicular a AB por P com o segmento BC) é isósceles e deve ter metade da área da figura toda. 7) Alternativa: E 8) Alternativa: E 9) a) K 2 b) K( + 5 ) 20) a) R = 5 b) 50 u.a. d AC = 2 d AB x 2 + y 2-40x + 00 = 0 circunferência 29) Alternativa: E 0) Alternativa: A ) a)y = 2 x b) 6 6 2) Alternativa: A 8, e 6 6, 8 Projeto Futuro Militar

14 ) a) 800 km 2 b) Sudoeste: A reta tem maior inclinação, denunciando a maior relação entre casos de dengue e área. 42) a) a = 60 b) y = x + 4 N NO SO S L 4) Alternativa: A 44) Alternativa: A 45) Alternativa: B 4) Alternativa: B 5) Alternativa: E 6) Alternativa: E 7) a) A = 64 b) u = 7 2 ( 7u 54 28u 64) y 5 y 5 8) a) m PX = x e m QX = x 0x 2 2 b) tg = x y 25 c) O LG é um arco de circunferência de centro (5,0) e raio 5 2 cujos pontos tem abscissa positiva. 9) Alternativa: A 40) a) y = 2x + b) P(x) = x + x 2 x + 4) a) ângulo de inclinação = 60º 46) (x 5 ) 2 5 +( y ) 2 5 = 9 ou (x + ) 2 + (y ) Alternativa: C 48) a), 6 e 9 b) ) Alternativa: A 5 ) 2 = ) a) A = 0,7G (com G 0), em que G e A são as distâncias percorridas em km com gasolina e com álcool, respectivamente. y 7, x 0 b) Quando o preço do litro de álcool for inferior a 7% do preço do litro de gasolina, e nesse caso, o coeficiente angular m da reta A = m.g for menor que 0,7. c) No Amapá, é mais vantajoso o uso da gasolina (m=0,89). Em São Paulo (m = 0,49), Mato Grosso (m = 0,42) e Piauí (m = 0,72), o álcool é melhor. 5) Alternativa: C b) 60 4 Projeto Futuro Militar

15 52) Alternativa: B 5) Alternativa: A 54) Alternativa: E 7 55) a) 2 b) x - 4y + = 0 56) a) y = 7 2 x b) 28 8, 57) Alternativa: D 58) Alternativa: D 59) Alternativa: D 60) Alternativa: C 6) Alternativa: B 62) Alternativa: E 6) a) Assim, chutando dois valores quaisquer de a (aqui cuidadosamente escolhidos para facilitar as contas), temos: a = 0: r: x- = 0 x = a = -: r: 2y - 6 = 0 y = Se o ponto único existir, ele terá que ser (, ) pois é a intersecção obtida das duas retas acima. Verificando o ponto (, ) na equação de r, temos que (a+) 2.+(a 2 -a). - 4a 2 + a - = 0 a 2-2a + + a 2 - a - 4a 2 + a - = 0 0 = 0 (verdadeiro) ou seja, a reta passa por (, ) independentemente do valor de a. b) como a reta s é vertical, a reta r terá que ser horizontal para ser perpendicular. Assim sendo, o coeficiente de x deve ser zero: (a+) 2 = 0 a+ = 0 a = - resp: a) demostração b) a = - 68) a) 2x + 5y 4 = 0 e 0x 4y + 7 = 0 b) ) a) Duas retas. b) y = 2x + e y 2 x. 70) Alternativa: A b) C(8,4) 64) Alternativa: C 65) a) x - y + 7 = 0 b) x + y - 9 = 0 66) Alternativa: E 67) a) Considerando os infinitos valores possíveis para a, as infinitas retas dadas por (a+) 2 x+(a 2 -a)y - 4a 2 + a - = 0 teriam que se cruzar num único ponto para que exista um ponto independente de a por onde elas passem. 2 D, 7) a) 2 b) Calculemos pontos médios M e N dos segmentos AB e CD, respectivamente: 5 5,, M= 2 2 e N= 4 24 Calculemos o coeficiente angular m da reta MN: m = 2 4 = 6 Obtendo a equação da reta MN, obtemos y = 6 x, o que comprova que a reta MN passa pela origem. 72) Alternativa: D 5 Projeto Futuro Militar

16 7) a) (6, 5), (, 2) e (4, 7) b) A = 6 os valores de m são 22/ e -8/. 89) Alternativa: A 74) a) x - 2y = 8 b) 20 75) Alternativa: C 76) 2x- 4y+7 = 0 77) Alternativa: A 78) Resposta: (,24) unidades de comprimento. 79) Alternativa: E 80) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no mesmo semiplano. Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x b) (x-2) 2 + y 2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2 8) a) b) y 6 ( x 2 + ) 82) Alternativa: C 8) Resposta: y = x e y = x + OBS: Estamos considerando que formar ângulo de 5º com o eixo equivale a ter inclinação de 5º, conforme a figura. Desta forma, não estamos considerando como resposta as retas com inclinação de 45º (e que, a bem da verdade, também fazem ângulo de 5º com o eixo x) 84) Alternativa: B 85) Alternativa: E 86) Alternativa: D 87) Alternativa: D 88) Alternativa: A 6 Projeto Futuro Militar