Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. 3 a série E.M.

Transcrição

1 Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Equação da Reta. 3 a série E.M.

2 Geometria Analítica 1 Equação da Reta. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Determine a equação da reta cujo gráfico está representado no plano cartesiano abaixo. Exercícios de Fixação Exercício 5. No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, ), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. Qual o valor de m? Exercício 6. Analisando a figura abaixo, qual o coeficiente angular da reta r? Exercício. Na figura abaixo, tem-se um triângulo equilátero de lado 6 e cujos vértices A, B, C situam-se sobre os eixos cartesianos. Exercício 7. Uma reta r 1 tem inclinação de 135 e passa pelo ponto P(3, 5). Determine a equação da reta r que é perpendicular à reta r 1 e passa pelo ponto Q(5, 3). Exercício 8. Determine o menor ângulo formado entre as retas r : y = 3x + 4 e s : y = x + 8. Exercício 9. No sistema de coordenadas cartesianas xoy, descrito na figura a seguir, estão representadas as cidades A, B, C e O e as estradas, supostas retilíneas, que ligam estas cidades, sendo a unidade de medida dos eixos de 10 Km. Qual a equação da reta que dá suporte ao lado BC? Exercício 3. Sejam r e s as retas cujas equações são, respectivamente, y = x + 3 e y = 3x + 3. Qual a área sombreada na figura abaixo, em unidade de área? Usando as informações contidas nesse mapa, determine a distância, em Km, entre as cidades C e O. Exercício 10. No plano cartesiano, a reta (r) de equação y + kx = é perpendicular à reta (s) que passa pela origem e pelo ponto ( 5, 1). Qual a abscissa do ponto de intersecção das retas (r) e (s)? Exercício 4. O ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares e tem como abscissa um número inteiro. A área do triângulo formado por A( 4; 3), B( 1; 3) e P mede 15 u.a. A reta que passa pelos pontos A e B intercepta o eixo das ordenadas em Q. Com base nesses dados, qual a distância entre P e Q? 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 11. No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b 1. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y 1 matematica@obmep.org.br

3 em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptamse em um ponto de abscissa 6, expresse b em função de b 1. Exercício 1. A figura a seguir ilustra as representações cartesianas das retas r e s de equações y = x + 3 e y = 3x + 7, respectivamente, com x e y dados em metros. Determine a área, em metros quadrados, do quadrilátero destacado. Qual a medida do lado do quadrado ABCD, em unidades lineares? Exercício 13. Uma circunferência de centro C(6, 0) e raio 5, é interceptada por uma reta r no ponto Q de ordenada 4, conforme mostra a figura Sabendo que a reta r passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P de ordenada, qual a abscissa do ponto P? Exercício 14. Um quadrado ABCD tem seus lados paralelos aos eixos ortogonais do plano cartesiano e seu vértice A tem coordenadas (4, 7). O quadrado é intersectado pela bissetriz dos quadrantes ímpares, conforme indica a figura a sequir, formando o polígono hachurado de área 3. matematica@obmep.org.br

4 Respostas e Soluções. 1. (Extraído do vestibular da UFPB) A reta tem coeficiente angular a = ( 1) = 1. Além disso, podemos calcular o coeficiente linear fazendo a = 1 b 1 0, ou seja, b = 1. A reta terá equação y = x + 1 ou, escrevendo-a de outra forma, x y + 1 = 0.. (Extraído do vestibular da UNIFOR (CE)) A altura de um triângulo equilátero é l 3, onde l é a medida do seu ( lado. Sendo assim, temos que B = (3, 0) e C = 0, 3 ) 3. Portanto, o a reta tem coeficiente angular a = = 3. O coeficiente 3 0 linear pode ser obtido pela interseção da reta com o eixo y, ou seja, b = 3 3. Assim equação da reta é BC : y = 3x ou BC : 3x + y 3 3 = (Adaptado do vestibular da UFJF (MG)) A reta r intersecta o eixo x no ponto (3, 0), a reta s intersecta o eixo x no ponto (, 0) e ambas intersectam y no ponto (0, 3). Então o triângulo da figura tem base medindo 5, altura 3 e área 3 5 = 7, 5. Agora, para calcular a área da parte sombreada, basta subtrairmos a área do retângulo branco, que vale 1 =. Portanto, a área procurada é 7, 5 = 5, 5 u.a.. 4. (Adaptado do vestibular da IFPR) O ponto P tem como coordenadas ( x, x), pois pertence à segunda bissetriz, e a área do triângulo mencionado é dada por 1 x x = 15 1 (3x 1 x) (3 3x 4x) = 15 9x 15 = 30 Podemos ter 9x 15 = 30, resultando em x = 5, ou podemos ter 9x 15 = 30, resultando em x = 5/3. Como x é inteiro, P = ( 5, 5). Agora, dado que A, B e Q estão alinhados, y Q ( 3) = 3 ( 3) 0 ( 4) 1 ( 4) y Q = y Q + 3 = 8 y Q = 5 Assim Q = (0, 5). A medida PQ será igual a (0 ( 5)) + (5 5) = 5 = (Adaptado do vestibular da FGV) Num triângulo retângulo, as retas que dão suporte aos catetos são perpendiculares e seus coeficientes angulares possuem produto 1. Logo, a AB = 4 m 1 e a AC = 6 = 4. Daí, temos m 1 = = m 1 m = (Adaptado do vestibular da UNIFOR (CE)) Se tg α e tg β representam os coeficientes angulares de r e s, respectivamente, temos tg β = = 1 e tg 135 = tg(α β) tg α 1/ 1 = 1 + tg α 1 1 tg α 1 = tg α 1 3 tg α = 1 tg α = (Extraído do vestibular da EFEI (MG)) O valor de a r1 é igual a tg 135 = 1, então uma perpendicular a ela tem coeficiente angular igual a a r = 1. Para passar pelo ponto (5, 3), devemos ter 3 = b, logo b r = e a equação é r : y = x. 8. Sendo θ o ângulo pedido, α e β os ângulos das inclinações das retas dadas com o eixo x, temos tg θ = tg β tg α 1 + tg β tg α. As retas têm coeficientes angulares iguais a 3 e, logo tg θ = 3 ( ) ( ) = 5 5 = 1. Logo, θ = 135, mas como foi pedido o menor ângulo, tomamos o complementar e obtemos com matematica@obmep.org.br

5 9. (Extraído do vestibular da UFU (MG) 014) As retas perpendiculares AB e BC têm a AB = 4 1 = 1 3 e a BC = 3. O ponto ( 5, 4) pertence a BC, logo, se b é o coeficiente linear de tal reta, temos 4 = 3 ( 5) + b, produzindo b = 19 e C = ( 193 ), 0. Por fim, teremos que CO = = km. 10. (Adaptado do vestibular da FGV 014) Como a reta (s) passa pela origem e pelo ponto ( 5, 1), seu coeficiente angular vale 5. Como a reta (r) é perpendicular à reta s, seu coeficiente angular é 1. Portanto, dado que 5 r : y = kx +, temos k = 5. Agora, tendo obtido r : y = 5x + e s : y = x, podemos encontrar a 5 interseção das duas resolvendo a equação 14. (Adaptado do vestibular da São Camilo (SP) 014) Chamemos de E e F os pontos de encontro da reta y = x com os lados AD e AB, respectivamente. Concluímos então que E = (4, 4) e F = (7, 7). Logo, a área de ADF é igual a 3 3 = 4, 5. Por fim, a área do quadrado é igual a soma da parte colorida com S ADF, o que é 16, e o lado mede, portanto, 4. produzindo assim o ponto x + = x 5, ( 5 ) 13, 1, cuja abscissa é (Adaptado do vestibular da IBMEC (SP) 014) Temos r : y = 10x + b 1 e s : y = 9x + b. Como elas têm um ponto comum quando x = 6, podemos escrever 54 + b = 60 + b 1 b = b (Adaptado do vestibular da IFPE (PE) 014) A área cinza pode ser calcula pela subtração do triângulo maior com vértices nos pontos de interseção das retas com o eixo x e entre si e do triângulo menor de área 3 3 = 4, 5m. O ponto de concorrência das retas será obtido como solução do sistema { y = x + 3 y = 3x + 7, cuja solução é (6, 9). Por fim, a área do triângulo grande é igual a 1 9 = 54m e a área cinza é 54 4, 5 = 49, 5m. 13. (Adaptado do vestibular da Univag (MT) 014) Como CRQ éum triângulo retângulo em R, com hipotenusa CO = 5 e cateto RQ = 4, o outro cateto mede CR = 5 4 = 3. Portanto, R = (9, 0), Q = (9, 4) e a reta PQ tem coeficiente angular a PQ = 4. Assim a reta 9 suporte de PQ possui equação y = 4x. Daí, obtemos 9 = 4x S 9 e x S = 4, 5. Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 4 matematica@obmep.org.br