MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Escrevendo i na f.t. temos i i = ρ cis α, onde: ρ = i i = + ) = tg α = = ; como sen α < e cos α >, α é um ângulo do o quadrante, logo α = π Logo i = cis π ), e por isso: z = i cis π ) cis θ = = cis θ cis π ) θ = cis π ) θ Desta forma, temos que: Como w = w e Arg w) = Arg w), então: z = cis π )) π ) θ = cis + θ z = cis π )) θ = cis π θ) = cis π θ) E assim, vem que: w = z z = Pelo que, como θ π )) π ) cis + θ cis π θ)) = ) cis + θ + π θ) = ] π,π [, então: π ) = cis + θ π θ = cis π ) θ π < θ < π π > θ > 5π π π > π θ > π 5π π π > Arg w) > 8π π > Arg w) > 9π 9π < Arg w) < π Ou seja, a imagem geométrica de w é um ponto do segundo quadrante, e assim temos que: Re w) < Im w) > w = Ou seja, o número complexo w pertence ao conjunto A Exame 7, Ép. especial Página de 5

2 . Como z z = i z = i, calculando o valor de z, temos: z z = i + i = i) i) + i) i) E assim, temos que: z = i z = + i 8 i 6i + i = i = 8 i = 5 i = i ) 5 Escrevendo cis π na forma algébrica, temos: π cis = cos π + i sen π ) = ) + i = + i = + i Assim, o número complexo anterior verifica a condição z z = z z, porque: + i) + i) = + i i = + i = = + i) + i) = + i i = i = i = Como o número complexo cis π verifica a condição z z = z z, então a representação geométrica deste número complexo está a igual distância das representações geométricas dos complexos z e z Exame 7, a Fase. A região é defina pela conjunção de duas condições, cujas representações gráficas no plano complexo são: a região dos o e o quadrantes limitada pelas bissetrizes destes quadrantes 5π arg z) 7π ) o semiplano acima da reta horizontal defina por Im z) Assim, a região definida pela conjunção é um triângulo, cujos vértices são a origem e os pontos de coordenadas, ) e, ), ou seja, a medida da base é e da altura é, pelo que, a área A ) é: Resposta: Opção D A = = O 5π 7π i Exame 7, a Fase Página de 5

3 . Analisando cada um dos números complexos das hipóteses apresentadas, podemos verificar que: +i não pertence à região definida pela condição porque arg + i) > π 6+i não pertence à região definida pela condição porque + i Re6 + i) > 5 não per- Como Re cis π ) = cos π 6 6 =, então cisπ 6 tence à região definida pela condição porque Re cis π ) < 6 π cis π 6 cis π 6 Re z) = Re z) = i Assim, podemos concluir que o número complexo cis π, pertence à região definida pela condição, porque: 6 Re cis π ) = cos π 6 6 = cos π 6 = =, logo < Re cis π ) < 5 6 arg cis π ) )) π = arg cis 6 6 π = arg cis π ) = π 6 6, logo < arg cis π ) < π 6 Resposta: Opção C 5. Analisando cada uma das afirmações temos Exame 6, Ép. especial A) z z = z z é uma afirmação verdadeira porque z z é a distância entre os vértices correspondentes ao complexos z e z, ou seja a medida da diagonal do quadrado), tal como z z representa a medida da outra diagonal do quadrado. Como as medidas das diagonais do quadrado são iguais, a afirmação é verdadeira. z + z = Re z ) é uma afirmação verdadeira porque como o centro do quadrado está centrado na origem e os lados são paralelos aos eixos, os vértices do quadrado estão sobre as bissetrizes dos quadrantes, ou seja, z = a + ai e z = a ai, com a R + Assim, vem que z + z = a + ai + a ai = a = Re z ) C) z i = z é uma afirmação falsa porque z i = z z = z i e z = a + ai e z = a ai, com a R + Como z i = a + ai) i = ai + ai = ai + a ) = ai a = a + ai = z Ou seja, multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rotação de π radianos, no sentido positivo. Assim, fazendo a uma rotação deste tipo da imagem geométrica de z, obtemos a imagem geométrica de z e não a imagem geométrica de z D) z = z é uma afirmação verdadeira porque z = a + ai e z = a + ai, com a R + Logo z = a + ai ) = a ai) = a + ai = z Resposta: Opção C Exame 5, Ép. especial Página de 5

4 6. Como o triângulo [OAB] é equilátero, temos que z = OB = OA = Por outro lado, como a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo equilátero é π, e o ponto B está no o quadrante, temos que arg z) = π, ou então E assim, vem que arg z) = π π = 6π π = 5π z = cis ) 5π = cis ) 5π 5π O π A Resposta: Opção D B Exame 5, a Fase 7. A linha é defina pela conjunção de duas condições, cujas representações gráficas no plano complexo são: a circunferência de centro no afixo do número complexo z = + i e raio z + i = z + i) = ) a região do o quadrante limitada pelo semieixo imaginário positivo e a bissetriz dos quadrantes pares π arg z) π ) Assim, a linha definida pela conjunção é uma semicircunferência de raio, cujo comprimento C é o semiperímetro da circunferência de raio : C = P = πr = πr = π Resposta: Opção C O i Exame 5, a Fase 8. Os pontos da zona sombreada pertencem ao exterior da circunferência de centro na imagem geométrica do número complexo i e raio, ou seja, a distância à imagem geométrica de i é superior a, ou seja, os números complexos z verificam a condição z i > Como os pontos da região sombreada representam números complexos cujo argumento está comprendido entre arg + i e arg ) ) + i vamos determinar estes argumentos. Seja θ = arg + i ), assim temos que tg θ ) = = = = = Como θ é um ângulo do o quadrante, temos que θ = π ) Analogamente temos que θ = arg + i = π E assim, os números complexos z verificam a condição condição anterior, e cumulativamente, a condição π < arg z) < π Resposta: Opção C Exame, a Fase Página de 5

5 9. Escrevendo + i) na f.t. temos + i) = ρ cis θ, onde: ρ = + i) = + = + = tg θ = = ; como sen θ > e cos θ >, θ é um ângulo do o quadrante, logo θ = π Logo + i) = cis π Pela fórmula de Moivre para a potência temos que: Como w = + i) = π ) cis = cis π ) = cis π Assim: arg w) = π 5 + )π = = 5π + π = 5π + π = 5π + π Descontando as voltas completas temos arg w) = π + π = π + π = 5π Ou seja, a representação geométrica de w é um ponto do o quadrantes ímpares, pelo que = quadrante que pertence à bissetriz dos Resposta: Opção D Exame, Ép. especial. Podemos reescrever a condição dada na forma: z + i π argz + i) π z--i) π argz--i)) π Assim, sendo o ponto P a representação geométrica do número complexo i, a condição define o conjunto de pontos do plano complexo que: estão a uma distância do ponto P compreendida entre e definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem no ponto P e que se prolonga no sentido positivo do eixo, um π P π ângulo compreendido entre π rad e π rad Resposta: Opção A Exame, a Fase. Seja θ = argz ). Como Rez ) = = cos θ, z = e θ é um ângulo do o quadrante, temos que θ = π Logo sen θ = = r π z Resposta: Opção B Exame, Ép. especial Página 5 de 5

6 . A coroa circular representada é o conjunto dos pontos que distam da origem entre e 6 unidades, ou seja a representação dos números complexos z, tais que z 6 Os pontos assinalados devem ainda satisfazer a condição de que o ângulo medido a partir da representação geométrica do complexo + i está compreendido entre π rad e π rad. R Ou seja: π arg z + i)) π π arg z + i) π P π Q π Resposta: Opção C Exame, a Fase. A opção I) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição π arg z) π. Os números complexos que verificam esta condição têm as respetivas representações geométricas nos o, o e o quadrantes, ao contrário dos pontos assinalados na opção I). A opção II) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição z z z. Os números complexos que satisfazem esta condição têm as respetivas representações geométricas no semiplano delimitado pela bissetriz do segmento de reta [OC] e que contém o ponto C, ou seja os pontos cuja distância à origem é não inferior à distância ao ponto C. Os pontos assinalados na opção II) estão mais perto da origem do que do ponto C. A opção III) não representa a região definida pela condição porque não satisfaz a condição z z. Os números complexos que verificam esta condição têm as respetivas representações geométricas no interior da circunferência de raio e centro em C, e alguns pontos assinalados na opção III) estão no exterior desta circunferência pertencem ao interior da circunferência com o mesmo raio, mas centrada na origem). Logo a opção correta é a opção IV). Exame, Ép. especial. A região apresentada na figura é definida pelo interior da circunferência de centro na origem e raio OA e pelo conjuntos de pontos que representam números complexos com argumentos compreendidos entre arg + i) e π. Assim temos que OA = + i = ) + = + = = E, sendo θ = arg + i), vem que: tg θ = = =, como sen θ > e cos θ <, θ é um ângulo do o quadrante, B A logo θ = π π 6 = 6π 6 π 6 = 5π 6 Desta forma z < + i arg + i) arg z) π z 5π 6 arg z) π Resposta: Opção B Exame, a Fase Página 6 de 5

7 5. Considerando z = a + bi com a R e b R), temos que: z = a bi z + z = a + bi + a bi = a i z + z) = ia) = ia i z + z) = ia = a = Ou seja o conjunto A é o conjunto dos números complexos z, tais que Re z) =, ou seja a sua representação geométrica coincide com o eixo imaginário. Resposta: Opção B 6. Começamos por escrever z na f.a.: z = π ) cis = cos π + i sen π ) = ) + i = + i = + i Exame, Ép. especial O raio da da circunferência é z z, ou seja, a distância entre as representações geométricas dos dois números complexos. Logo temos que : z z = + i) = i = i = + ) = + = 5 Assim a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z e que passa na imagem geométrica de z é definida por: z z = z z z = 5 Exame, a Fase 7. Os números complexos das opções A) e C) não pertencem ao semiplano apresentado, porque as respetivas representações geométricas distam menos de unidades da origem. Como o número complexo da opção D) está sobre o eixo imaginário, também não pertence ao semiplano apresentado. Como Re π )) cis = cos π 6 6 = = = 9 Temos que Re π )) cis > 6 Resposta: Opção B D) C) A) B) Exame, a Fase 8. Os pontos representado na região a sombreado satisfazem cumulativamente três condições: Re z), ou seja pertencem ao semiplano à direita da reta definida por Re z) = Im z), ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida por Im z) = z z i), ou seja pertencem ao semiplano definido pela reta definida por z = z i) que contém a representação geométrica de i), porque queremos considerar os pontos cuja distância ao ponto,) é maior que a distância ao ponto, ). Resposta: Opção A i) Exame 9, a Fase Página 7 de 5

8 9. Como z = bi, Ou seja z é um número imaginário puro, com a respetiva representação geométrica sobre o eixo imaginário. Logo z ) = bi) = b i = b ) = b é um número real negativo com a respetiva representação geométrica sobre a parte negativa do eixo real. Logo z ) = bi) = b i = b i) = b i é um número imaginário puro, com a respetiva representação geométrica sobre o eixo imaginário. z ) z A única opção em que triângulo tem dois vértices sobre o eixo imaginário e o terceiro sobre a parte negativa do eixo real é a opção C). Resposta: Opção C z ) Exame 9, a Fase. Analisando cada uma das opções apresentadas, temos que: A condição z + = 5 pode ser escrita como z ) = 5 e define os pontos do plano complexo, cuja distância à representação geométrica do número complexo w = é igual a 5. Ou seja, a circunferência de centro no ponto de coordenadas,) e raio 5. A condição z = z + i pode ser escrita como z = z i) e define os pontos do plano complexo, que são equidistantes das representações geométricas do números complexos w = e w = i. Ou seja, a mediatriz do reta cujos extremos são os pontos de coordenadas,) e, ). A condição arg z) π define todos os números complexos cuja representação geométrica define com a origem e a parte positiva do eixo real um ângulo compreendido entre e π radianos. Ou seja, a totalidade dos o e o quadrantes. A condição Re z) + Im z) = define todos os números complexos da forma w = a + a)i, com a R. Ou seja a reta paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares que contém o ponto de coordenadas, ). Resposta: Opção A Exame 8, Ép. especial. Os pontos representado na região a sombreado satisfazem cumulativamente duas condições: Re z), ou seja, pertencem ao semiplano à direita da reta definida por Re z) = π arg z), ou seja, os pontos que são imagens geométricas de números complexos cujo argumento está compreendido entre π e Resposta: Opção A Re z) = π Exame 8, a Fase. Sendo z = a + bi, com a R e b R, vem que z = a bi. Assim, temos que z + z = a + bi + a bi = a = a = Ou seja, a condição z + z = pode ser escrita como Re z) =, e a sua representação geométrica é a reta paralela ao eixo imaginário que contém a representação geométrica do número complexo w =. Resposta: Opção B Exame 8, a Fase Página 8 de 5

9 . Na figura ao lado está representado, a sombreado, a região B, que é a interseção de três condições: z, o interior da circunferência centrada na origem e raio Re z), o semiplano à direita do eixo imaginário, ou o conjunto dos pontos com a parte real não nula z z i, o semiplano limitado superiormente pela bisetriz dos quadrantes ímpares A região B pode ser decomposta num quarto do círculo de raio e num setor circular que corresponde a metade de um quarto de círculo, pois é delimitada pela bissetriz dos quadrantes ímpares. O Assim, a área pode ser calculada como: A = A + A = A + A 8 = A + A 8 8 = A = π = π = π = π Exame 6, Ép. especial. Designando por P e Q as representações geométricas dos números complexos w = e w =, respetivamente, temos que a região sombreada é o conjunto dos pontos do plano complexo que satisfazem cumulativamente duas condições: estão a uma distância superior a do ponto P estão a uma distância inferior a do ponto Q Assim temos que a região sombreada é definida por Resposta: Opção A z z P Q Exame 6, a Fase Página 9 de 5

10 5. A condição z < define a coroa circular delimitada pelas cir- cunferências centradas na origem e de raios e z < ; e a condição π arg z) 5π define a região do plano complexo, dos o e o quadrantes compreendido entre as bissetrizes dos quadrantes, como nas figuras ao lado. A condição z π arg z) 5π, é a interseção das duas regiões definidas, pelo que a sua representação geométrica é a zona representada a sombreado na figura ao lado. A área da coroa circular pode ser calculada como a diferença das áreas dos dois círculos: Área do círculo de raio : A = π = π ) Área do círculo de raio : A = π = π = π Área da coroa circular A = π π = π π = π Como as bissetrizes dos quadrantes dividem a coroa circular em quatro partes iguais, a área da região defina pela condição é π A = = π 6 Exame 6, a Fase 6. Sendo P a representação geométrica do número complexo z, a condição z z z z z, define uma região do plano complexo que é a interseção de duas regiões distintas: o interior da circunferência de centro em P e raio z z ) o semiplano cuja fronteira é a mediatriz do segmento de reta, cujos extremos são a origem e o ponto P e que contém a origem; ou seja o conjunto dos pontos que estão mais perto da origem do que do ponto P z z z ) Assim, na figura ao lado, a sombreado, está a representação geométrica da região definida pela condição. Para o traçado da figura pode ser útil considerar que a circunferência deve passar pela origem porque tem raio e z = ; que a reta que define o semiplano é perpendicular ao segmento de reta [OP ] e contém o ponto médio desse segmento de reta; e que o ponto P tem de coordenadas,87; ), arredondando a abcissa às décimas. P Exame 5, Ép. especial cód. 5) Página de 5

11 7. Sendo P a representação geométrica do número complexo w, e observando que Re w ) = Re +i) = a condição Re z) Re w ) z w, define uma região do plano complexo que é a interseção de duas regiões distintas: o interior da circunferência de centro em P e raio z z ) o semiplano à direita da reta definida pela condição Re z) = Assim, na figura ao lado, a sombreado, está a representação geométrica da região definida pela condição. P Para o traçado da figura pode ser útil considerar que a circunferência deve passar pela origem porque tem raio e w = ; que a reta que define o semiplano é perpendicular ao eixo real e passa no ponto de coordenadas,); e que o ponto P tem de coordenadas ;.7), arredondando a ordenada às décimas. Exame 5, a fase cód. 5) 8. A região assinalada na figura a sombreado, é o conjunto dos pontos do plano complexo que verificam cumulativamente três condições: são representações geométricas de números complexos que têm parte real superior a -; ou seja pertencem ao semiplano à direita da reta definida pela condição Re z) =, Re z) ) são representações geométricas de números complexos que têm parte imaginária superior a ; ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida pela condição Im z) =, Im z) ) estão mais perto do ponto,) do que do ponto,); ou seja pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta cujos extremos são as representações geométricas dos números complexos e i e que contém a representação geométrica de -, z i) z ) z i z + ) Assim, a conjunção das três condições é Re z) Im z) z i z + Resposta: Opção C Exame, a Fase cód. 5) 9. A circunferência de centro na imagem geométrica de w e que passa na origem do referencial é definda pela condição z w = w ; como w = + i e w = + = + = 5, vem que: z w = w z + i) = 5 z i = 5 Para que seja considerada apenas a parte da cirunferência que etá contida no quarto quadrante, temos que definir cumulativamente que os pontos devem obedecer à condição Re z) > Im z) <, ou seja que só consideramos pontos que sejam representações geométricas de números complexos com parte real positiva e parte imaginária negativa. Assim a condição é z i = 5 Re z) > Im z) < Exame, Prova para militares cód. 5) Página de 5

12 . A condição indicada é a conjunção de três condições distintas, ou seja, os pontos que pertencem à região assinalada satisfazem cumulativamente as condições: z, ou seja, os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro na origem e raio arg z π, ou seja, os pontos que são representações geométricas de números complexos, cujo argumento está entre zero e π, ou seja os pontos do primeiro quadrante situados abaixo da mediatriz dos quadrantes ímpares Re z, ou seja, os pontos que estão à direita da reta vertical definida pela condição Re z = Resposta: Opção B π z = Re z) = Exame, a fase - a chamada cód. 5). Uma condição que define no plano complexo a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z e que passa na imagem geométrica de z, é da forma z z = z z, uma vez que z z é a distância entre as imagens geométricas de z e z. Desta forma z z = i + i) = i + i = i = + ) = = Assim temos que z z = z z z i) = z + i = Exame, a fase - a chamada cód. 5). A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos pertencentes à região definida pela condição satisfazem cumulativamente as condições: z z, ou seja, são os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro em z e raio arg z z ) π, ou seja, são os pontos que definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem na representação geométrica do ponto z um ângulo entre zero e π radianos. Assim, na figura ao lado está, a sombreado, a representação geométrica da região definida pela condição. π Exame, Prova para militares cód. 5). A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos que pertençem à região assinalada satisfazem cumulativamente as condições: z + = z i z = z i), ou seja, os pontos que pertencem à mediatriz do segmento de reta cujos extremos são as representações geométricas dos números complexos e i, que é a bissetriz dos quadrantes pares Im z), ou seja, os pontos que pertencem à região do plano compreendida entre as retas definidas pelas condições Im z) e Im z) Resposta: Opção B Exame, a fase - a chamada cód. 5) Página de 5

13 . Resposta: Opção A Sendo z = a + bi com a R e b R), temos que z = a bi, assim a condição z + z = pode ser escrita como a + bi + a bi = a = a = ou seja a condição z + z = Re z) = define os números complexos imaginários puros, ou seja o eixo imaginário. A condição Im z) = define os números complexos da forma z = a + i com a R) ou seja a reta paralela ao eixo real que contém o ponto de coordenadas,) A condição z = define os pontos que estão à distância zero da origem, ou seja define apenas a origem do referencial. Sendo z = a bi com a R e b R), temos que z = a bi, assim a condição z + z = pode ser escrita como a + bi a bi) = a + bi a + bi) = bi = b = ou seja a condição z z = Im z) = define os números reais, ou seja o eixo Real. Exame, a fase - a chamada cód. 5) 5. A condição indicada é a conjunção de duas condições distintas, ou seja, os pontos pertencentes à região definida pela condição satisfazem cumulativamente as condições: z, ou seja, são os pontos que pertencem ao interior da circunferência de centro na origem e raio argz) = π, ou seja, são os pontos que pertencem à parte positiva do eixo imaginário Resposta: Opção A Exame, Ép. especial cód. 5) 6. Seja w o número complexo + i, se escrevermos w na f.t. temos w = ρ cis θ, em que ρ = w = + i = + = = 5 = 5 e sabemos ainda que θ é um ângulo do o quadrante, porque sen θ > e cos θ > Logo, as raízes quadradas ) de w são: θ + kπ w = 5 cis, k {,}, ou seja, temos raízes quadradas: k = z = ) θ 5 cis k = z = 5 cis θ + π ) = 5 cis ) θ + π Como < θ < π, porque θ é um ângulo do o quadrante, < θ < π, logo θ também é um ângulo do o quadrante. z π z w E se θ é um ângulo do o quadrante, θ + π é um ângulo do o quadrante. Resposta: Opção A Exame, a fase cód. 5) Página de 5

14 7. Como z = cis π logo arg z ) = π, ou seja z é número complexo, cuja representação geométrica é o vértice representado no o quadrante. Como o pentágono é regular, sendo z o número complexo cuja representação geométrica é o vértice representado no o quadrante, e arg z ) = π + π 5 = 5π 5 + 6π 5 = π 5 Assim a região indicada a sombreado é o conjunto dos pontos que são representação geométrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condições: os pontos devem pertencer ao interior da circunferência de centro na origem e raio z, ou seja z < 5 os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ângulo compreendido entre π radianos e π 5 radianos, ou seja π arg z) π 5 Assim, temos que a condição que define a região a sombreado é: z < 5 π arg z) π 5 Exame, a fase - a chamada cód. 5) 8. Resposta: Opção D Sendo z = define os números complexos, cujas representações geométricas são pontos do plano complexo, cuja distância ao ponto que é a representação geométrica do número complexo é, ou seja a circunferência de centro no ponto,) e raio. A condição mathrmarg z) = π com o semieixo real positivo um ângulo de π semieixo positivo imaginário. os números complexos cujas representações geométricas são pontos que definem radianos. Ous seja a semirreta que coincide com o Como a z + i = z = i, a condição z + i = representa apenas o ponto situado sobre a parte negativa do eixo imaginário) que é a representação geométrica do número complexo z = i Como z = z + i z = z i), a condição z = z + i define os números complexos, cujas representações geométricas são pontos do plano complexo situados a igual distância das representações geométricas dos complexos e i, ou seja define a mediatriz do segmento de reta de extremos nestes dois pontos, que coincide com a bissetriz dos quadrantes pares. Exame, a Fase cód. 5) 9. Seja M o ponto médio do segmento de reta [AB]. Como A e B são as imagens geométrica dos números complexos e i, M é a imagem geométrica do número complexo w = + i A circunferência inscrita no quadrado tem raio ) ) w = + = + = = e centro na origem, pelo que é definida pela condição: D A M B z = C Exame, a fase - a chamada cód. 5) Página de 5

15 . A parte do conjunto A contida no segundo quadrante é o conjunto dos pontos que são representação geométrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condições: como devem ser pontos do o quadrante excluíndo os eixos), os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ângulo compreendido entre π radianos e π radianos, ou seja π < arg z) < π como devem pertencer ao conjunto A, os pontos devem estar a uma distância da origem, inferior a, ou seja z < Assim, temos que a condição que define a região a sombreado é: z < π < arg z) < π Exame, a fase - a chamada cód. 5) Página 5 de 5