Exercícios de Matemática II 2º ano

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1 Nome: nº Professor(a): Série: ª EM. Turma: Data: / /01 Sem limite para crescer Exercícios de Matemática II º ano 1º Trimestre 1. (Uem 011) Um cientista deseja determinar o calor específico de um material. Para isso, utilizando um calorímetro, ele aquece 0 miligramas desse material, mede a quantidade de calor fornecida ao material e a sua temperatura a cada instante. Na figura abaixo, é apresentado um gráfico da quantidade de calor absorvida pelo material em função da temperatura. Analise cuidadosamente o gráfico e assinale o que for correto. 01) O coeficiente angular da reta descrita pelos dados experimentais é a capacidade térmica dos 0 miligramas desse material. 0) O valor da capacidade térmica dos 0 miligramas desse material é 0,06 cal/ºc. 04) O valor do calor específico desse material é cal/(g.ºc). 08) No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de capacidade térmica é cal/(g.ºc). 16) Esses dados experimentais do cientista descrevem uma equação matemática de segundo grau.. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e). (Pucrj 01) O triângulo da figura abaixo é equilátero e tem vértices A, B = (, 4) e C = (8, 4). As coordenadas do vértice A são: a) 5, 4 7 b) 6, 4 c) 8, 5

2 d) 6, 7 e) 6, (Pucrj 01) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 5 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0). A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: a) y x 7 x b) y 5 x c) y 5 x d) y 7 x e) y 7 5. (Ufrgs 01) Os pontos A(1, ), B(6, ) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eixo das abscissas e a reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é 1 a). b) c) 1.. d) e).. 6. (Pucrj 01) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y =, x = e x + y = é: a) b) c) d) e) 4 7. (Uern 01) Uma reta tem coeficiente angular igual a e passa pelos pontos (, 4) e (4, k). A soma do coeficiente linear da reta com o valor de k é a) 5. b) 7. c) 1. d) (Uepa 01) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.

3 Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação x 4y 10 0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, as coordenadas dos pontos A e B, são respectivamente: a) ( 80, 0) e (40, 60) b) ( 40, 0) e (0, 40) c) ( 0, 0) e (0, 0) d) ( 80, 0) e (40, 50) e) ( 40, 0) e (60, 40) 9. (Uel 01) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à calçada. a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 15º com a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de metros, calcule o comprimento da rampa. b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na resolução de cada item. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 10. (Pucrs 01) Em uma aula de Geometria Analítica, o professor salientava a importância do estudo de triângulos em Engenharia, e propôs a seguinte questão: O triângulo determinado pelos pontos A (0,0), B (5,4) e C (,8) do plano cartesiano tem área igual a. Feitos os cálculos, os alunos concluíram que a resposta correta era: a) b) 4 c) 6 d) 14 e) (Ufmg 011) Considere as retas r, s e t de equações, respectivamente, y x 4, y x 11 e x 7 y. 5 a) Trace, no plano coordenado abaixo, os gráficos dessas três retas.

4 b) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção A r s,b r t e C s t. c) Determine a área do triângulo ABC. 1. (Upe 011) Sobre a equação reduzida da reta que intercepta o eixo y no ponto (0,4) e o eixo x no ponto (,0), é correto afirmar que o coeficiente angular a) da reta será um número positivo ímpar. b) da reta será um número positivo par. c) da reta será um número negativo cujo módulo é um número ímpar. d) da reta será um número negativo cujo módulo é um número par. e) da reta é nulo. 1. (Ufrgs 011) No hexágono regular representado na figura abaixo, os pontos A e B possuem, respectivamente, coordenadas (0, 0) e (,0). A reta que passa pelos pontos E e B é a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x. 14. (Ifsul 011) A equação da reta, representada no gráfico abaixo, é:

5 a) y x b) y x c) y x d) y x 15. (Uftm 011) Na figura, as retas r e s estão representadas no plano cartesiano, e P é o ponto de intersecção entre elas. Determine: a) As equações das retas r e s. b) A equação e o perímetro da circunferência de centro P que tangencia o eixo das ordenadas. 16. (Uepg 011) Considerando que os pontos A(0, 5), B(, 1) e C são vértices de um triângulo equilátero, assinale o que for correto. 01) A altura do triângulo é maior que 5 u.c. 0) A área do triângulo é 5 u.a. 4 04) O ponto C pertence à circunferência (x ) + (y 1) = 5. 08) A equação da reta suporte da altura relativa ao lado AB é y = 6x ) C pertence à reta 6x 8y + 15 = 0. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores. 17. (Unicamp 011) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de

6 a) 1500 m. b) m. c) 1000 m. d) m. 18. (Uff 010) A palavra perímetro vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa em torno de, e o segundo, metron, significa medida. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas ( 1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) a) b) c) + 6 d) e) (Ufmg 010) Os pontos A = (0, ), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que 4 a) b a. 4 7 b) b a. 6 4 c) b a. 4 d) b a. 0. (Unemat 010) Dado o gráfico da figura abaixo: Seja o ponto P intersecção das duas retas, seu par ordenado será dado por: a) P(1; ) b) P(; ) c) P(; ) d) P(/; ) e) P(; 4) 1. (Uepg 010) Sabendo que os pontos A(, 1), B(, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado ABCD, assinale o que for correto. 01) A área do quadrado vale 50 u.a. 0) O vértice D tem coordenadas (4, ). 04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c. 08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x + y 10 = 0. 16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1, ).. (Puc-rio 009) Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,), B = (,4) e C = (4,1).

7 a) 5 b) c) 7 d) 4 e) 9. (Ufc 009) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(, 0), C(4, ) e D(1, ). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 4. (Ufrgs 008) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é : a). b). c). d) 5. e) (Ufscar 008) Admita os pontos A(, ) e B(-, 4) como sendo vértices opostos de um losango ACBD. a) Determine a equação geral de cada uma das retas suportes das diagonais do losango ACBD. b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD, admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das abscissas. 6. (G1 - cftsc 008) Se o ponto P(,k) pertence à reta de equação x + y - 1 = 0, então o valor de k é: a) 1. b) 0. c). d) -1. e) (G1 - cftmg 005) As retas x + ky = e x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é a) - b) -1/ c) 1/ d) 8. (Uff 005) Determine as coordenadas dos pontos da reta de equação y = x + 4 que distam quatro unidades da origem. 9. (Puc-rio 004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: a) (, 4) b) (4, 6) c) (-4, -6) d) (1, 7) e) (, ) 0. (Ufg 004) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(,1), B(,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km, é de

8 a) 17 b) 17 c) 17 d) 4 17 e) (Ufv 004) Considere os pontos A = (, - ) e B = (0, 4) do plano euclidiano. a) Determine o valor da constante k para que a reta y = kx + k passe pelo ponto médio do segmento AB. b) Calcule a distância da origem (0, 0) à reta obtida no item anterior.. (G1 - cftmg 004) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é a) y = - (1/)x - 1 b) y = (1/)x - 1 c) y = - (1/)x + 1 d) y = (1/) x + 1. (Ufmg 004) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = x +, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 4. (Ufrrj 004) Esboce graficamente as retas y = x - 1, y = x -, y = - x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada por estas retas. 5. (Unesp 00) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(,5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. 6. (Unesp 00) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas (-, 1) e (1, -), respectivamente, conforme a figura, a) calcule a distância entre A e B. b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo ABC são (xg, yg) = y C ) do vértice C do triângulo., 1, calcule as coordenadas (x C, 7. (Mackenzie 00) Os gráficos de y = x - 1 e y = definem com os eixos uma região de área: a) 6 b) 5/ c) 4 d) e) 7/ 8. (Puc-rio 00) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (, 1) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que

9 apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice. a) (, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, ). 9. (Uerj 00) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo, a) demonstre que ele é retângulo; b) calcule a sua área. 40. (Ufscar 00) Duas retas são perpendiculares entre si se o produto dos seus coeficientes angulares for igual a - 1. Logo, é perpendicular à reta x + y + = 0 a reta a) - x - y + = 0. b) x + (y/) = 0. c) x + y + = 0. d) (x/) + (y/) - 1 = 0. e) - x + y = (Puc-rio 001) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos a) (5, -4) e (1/, 1/). b) (0, 0) e (1/, 1/). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5). 4. (Unesp 001) Dada a reta r de equação 4x + y + 5 = 0 e o ponto P = (,-1), determine a) o coeficiente angular de r; b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 4. (Ufscar 001) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação ax + y - = 0. Sabendo que P = (1,-1) é um ponto de r, determine: a) o valor de a; b) o coeficiente angular de r. 44. (Unicamp 001) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = x - 5 e x - y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC? 45. (Puccamp 001) Na figura a seguir têm-se os gráficos de duas funções do 1 0. grau, f e g, que se interceptam no ponto P.

10 O ponto P é a) (600; 0) b) (800; 40) c) (1000; 0) d) (1000; 40) e) (1500; 50) 46. (Fgv 001) No plano cartesiano, considere os pontos A(1,) e B(-5,4). Considere também a reta (r) de equação x+y=7. a) Obtenha a equação da reta (s) que é paralela à (r) e que passa por A. b) Obtenha a equação da reta (t) que é perpendicular a (r) e que passa por A. c) Seja P o ponto onde a reta (r) intercepta o eixo x. Obtenha a distância de P até B. d) Obtenha a distância do ponto B à reta (r). 47. (Puc-rio 000) Os pontos (0,8), (,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/ d) 11/ e) 5, 48. (Fuvest 000) Se (m + n, m - 4) e ( - m, n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então m n é igual a: a) - b) 0 d) 1 e) 1/ 49. (Uff 000) Com relação ao triângulo ABC sabe-se que: - o ponto A pertence ao eixo das abcissas; - o ponto B pertence ao eixo das ordenadas; - a equação da reta que contém os pontos A e C é x + y + 5 = 0; - a equação da reta que contém os pontos B e C é x - y - = 0. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C. 50. (Unirio 000)

11 A equação geral da reta anterior representada é: a) x - y + 6 = 0 b) x + y + 6 = 0 c) x - y - = 0 d) y = x + e) y = (x+)

12 Gabarito: Resposta da questão 1: = 07 01) Correto. C Q 0) Correto. Q 1,5 C 0,06cal/º C 50 5 C 0,06 04) Correto. c cal / gºc 0,0 08) Errado. A unidade correta é J/(kg.K) 16) Errado. Esses dados experimentais do cientista descrevem uma equação matemática de primeiro grau. Resposta da questão : [B] Como o triângulo ABC é equilátero, segue que AC AB ( 11) (0 0). Resposta da questão : [A] Dado que ABC é equilátero e observando que B e C estão sobre a reta y 4, segue que a abscissa do ponto A é dada por xb xc 8 xa 5. Além disso, como o coeficiente angular da reta AB é igual a tg60, segue que a sua equação é y 4 (x ) y x 4. Portanto, a ordenada do vértice A é igual a Resposta da questão 4: [D] ya Sabendo que a área do triângulo ABC mede 5, obtemos AB BC 5 5 (c 4) 5 c 14. A equação de r é dada por yc ya 0 5 y y C (x x C) y 0 (x 14) x x 14 4 C Resposta da questão 5: [E] A x y 7.

13 sen60. Resposta da questão 6: [E] Considere a figura. O triângulo, cujo perímetro queremos calcular, tem vértices nos pontos (0, 0), (0, ) e (, 0). Portanto, como esse triângulo é retângulo e isósceles, segue que seu perímetro é dado por 4. Resposta da questão 7: [C] Se a reta passa pelos pontos (, 4) e (4, k), e o coeficiente angular é igual a, então k 4 k. 4 Além disso, a equação explícita da reta é dada por y 4 (x ) y x 10. Portanto, o coeficiente linear da reta é igual a 10 e a soma pedida vale Resposta da questão 8: [A]

14 Fazendo y = 0, temos: x + 10 = 0 x = 40. Fazendo x = 0, temos: 4y + 10 = 0 y = 0. Logo, x( 40, 0) e y(0, 0) Determinando o ponto A: x A = = 80. y A = 0 0 = 0. Portanto, temos ponto A( 80, 0). Determinando o ponto B: x B = = 40. y B = = 60. Portanto, temos B(40, 60). Resposta da questão 9: a) Equação da reta r. (m r = -1 e passa por (,0)) y 0 = -1. (x ) x + y = 0. Determinando o ponto Q (fazendo x = 0): 0 + y - = 0 y =. Logo, Q(0,). Calculando o tamanho R da rampa: R = + R = m b) Calculando a distância do ponto P(pássaro) à reta r: d = 4 m 1 1 Resposta da questão 10: [D] A área do triângulo ABC é igual a u.a Resposta da questão 11: a) Considere a figura abaixo.

15 b) O ponto A é a solução do sistema formado pelas equações de r e s: y x 4 x 4 x 11 xa 5 e ya 6. y x 11 O ponto B é a solução do sistema formado pelas equações de r e t: y x 4 x 7 x 7 x 4 xb e yb. y 5 5 O ponto C é a solução do sistema formado pelas equações de s e t: y x 11 x 7 x 7 x 11 xc 8 e yc. y 5 5 c) A área do triângulo ABC é dada por: Resposta da questão 1: [D] m = u.a. Número negativo, cujo módulo é um número par. Resposta da questão 1: [A] Como o hexágono ABCDEF é regular, segue que o triângulo AFE é isósceles, com Cossenos no triângulo AFE, obtemos AE AF FE AF FE cos AFE ˆ AE cos10 AFE ˆ 10. Então, aplicando a Lei dos AE AE. Portanto, como E (0, ) e B (, 0), segue que a equação da reta EB é dada por 0 y 0 (x ) y x. 0 Resposta da questão 14: [B]

16 Seja y ax b a equação procurada. Como a reta passa pelos pontos (0, ) e (, 0), temos que (0, ) b pedida é y x. (, 0) 0 a a. Portanto, a equação Resposta da questão 15: a) Como a reta r passa pelos pontos (0, 6) e (6, 0), segue que a sua equação é dada por: x y 1 x y Por outro lado, a reta s passa pelos pontos (0, ) e (, 0). Logo, sua equação é: x y 1 x y. b) As coordenadas do ponto P correspondem à solução do sistema formado pelas equações de r e de s, ou seja, x y 6 x 4. x y y Assim, como a circunferência tem centro em P e tangencia o eixo das abscissas, segue que o seu raio é. Portanto, seu perímetro mede π 4πu.c., e sua equação é: (x 4) (y ) (x 4) (y ) 4. Resposta da questão 16: =. Cálculos auxiliares d(a,b) uc. O lado do Triângulo equilátero vale: Item (01) Falso L 5 htriângulo uc 5 Item (0) Verdadeiro L (5) 5 Atriângulo ua Item (04) Verdadeiro Dada a circunferência, (x ) + (y 1) = 5, temos: Coordenadas do centro C(,1) e Raio R=5. Portanto, como o triângulo é equilátero, o ponto C pertence à circunferência. Item (08) Falso A equação da reta suporte da altura em relação à reta AB passa pelo ponto médio de A(0,5) e B (,1), isto é: perpendicular à reta AB. Logo, possui coeficiente angular m h. 4 Portanto: 15 y x y x D, e é Item (16) Verdadeiro A reta que possui o ponto C é a reta definida no item anterior que, em sua forma geral, é dada por 6x 8y + 15 = 0. Resposta da questão 17:

17 [B] Sejam A(1,1) e B(5, ), respectivamente, as coordenadas da catedral e da câmara de vereadores. Assim, a distância entre os pontos A e B é AB d (5 1) ( 1) 0 5. Como a catedral dista unidades da prefeitura, segue que a escala do gráfico é e a câmara é m. Resposta da questão 18: [E] x y Logo x y P = P = Portanto, a distância real entre a catedral y 5 7 x 5 5 y x Resposta da questão 19: [B] 10 d A, C b d ( a 0) ( b ) (a 4) (b 0) a b 6b 9 a 8a 16 b A, B 4a 7-6 Resposta da questão 0: [B] Resolvendo o sistema, temos: y x y 4 x x = e y =, logo P(,) Resposta da questão 1: = 1 8a 7 8a 6b 7 b 6 A, B (01) Verdadeiroado = d ( ( )) (6 ( 1)) 50, A =50 (0) Verdadeiro M(1,) (centro do quadrado) xd ( ) yd 6 1 xd 4 e y D logo D(4,-)

18 (04) Verdadeiro, R = 50. R = 5 x y 1 (08) Verdadeiro, x + y 10 = (16) Verdadeiro, o ponto M(1,) é o ponto de encontro das diagonais. Resposta da questão : [C] Resposta da questão : a) y 0 0 (x 0) y x b) y 0 0 (x ) y x 9. 1 c) Dos itens (a) e (b), obtemos o sistema y x 4 y x 9, cuja solução é o ponto P,. Resposta da questão 4: [E] AB d AB ( 4) 5. 5 Resposta da questão 5: a) x + 5y - 14 = 0 e 10x - 4y + 17 = 0. b) Resposta da questão 6: [D]

19 Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: (0,4) e (-1/5, -16/5) Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 0: [A] Resposta da questão 1: a) k = 1/ b) d = 5 /5 u.c. Resposta da questão : [C] Resposta da questão : [B] Resposta da questão 4: Observe a figura abaixo: A = A 1 + A = u.a. Resposta da questão 5: [B] Resposta da questão 6: a) AB =

20 b) C (; 4) Resposta da questão 7: [C] Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: a) Observe a demonstração a seguir: b) 8 u.a. Resposta da questão 40: [E] Resposta da questão 41: [A] Resposta da questão 4: a) - b) x - y - 4 = 0 Resposta da questão 4: a) 4 b) - Resposta da questão 44: a) (; 1), (-; 1) e (5; 5) b) 1 u.a. Resposta da questão 45: [C] Resposta da questão 46: a) x + y - 11 = 0 b) x - y + = 0 c) 5 d) 5 1 Resposta da questão 47: [C]

21 Resposta da questão 48: [E] Resposta da questão 49: A (-5, 0) B (0, -) C (-1, -4) Resposta da questão 50: [A]