Resoluções de Exercícios

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1 Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA IV Co Capítulo 04 Ângulos entre Retas; Inequações no Plano; Circunferência 0 D Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: 01 A) 03 C Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação: 1 o ) tg135º 1 e m s tg Calculando o comprimento do arco (altura h da professora): o ) B) 1 o ) tg e ms tg0 o 0 01 A 1 o ) x + y 6x + 4y centro c 1 (3, ) e raio R o ) x + y 10x y centro (5, 1) e raio R 3 3 o ) Distância entre os centros: d. Conclusão: As circunferências são secantes, pois R R 1 < d < R + R 1. o ) C) 1 o ) e ms o ) Conclusão: tg não existe, logo 01 E As coordenadas do ponto M são dadas por: 90 o e as retas são perpendiculares. A) R raio da circunferência maior r raio da circunferência menor d(c, p) R R (R ) + (R ) R R 8R + 8 R R 8R R R 4 + Portanto, o raio da circunferência é igual a: r 4 MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 35

2 B) y 14 e x 4 então B(4, 14) Equação da reta tangente r. A inclinação de r é 135 o, então, o coeficiente angular de r é igual a: tg 135 o ; 1 Equação de r: y x + b P(,) e r + b b 4 r : y x E 6 a parte: Lucro máximo: f(x, y) 45x + 80y f(0, 0) f(45, 0) f(4, 14) a parte: Região 1 (R 1 ) 5x + y 30 Cálculo auxiliar (0, 0) R 1 pois 5 (0) + (0) Região (R ) x 0 03 C Região 3 (R 3 ) 0 y 5 01 B 1. Lucro (f(x, y)) f(x, y) 45x + 80y A expressão acima é uma função polinomial do 1 o grau em duas variáveis.. Restrições da produção I. 5x + 0y 400 III. x 0 II. 10x + 15y 450 IV. y 0 a parte: R 1 R R 3 1 o ) Ponto D (X d, 5) reta r: 5x + y 30 Daí: 5 X D X D 0 X D 4 0 B 1 a parte: 5x + 0y 400 a parte: 10x + 15y 450 x y x y o ) a representação gráfica é um trapézio de área igual a: A T A Sejam e respectivamente, as equações das circunferências 1 e. Completando os quadrados, obtemos Logo, C 1 (0, 3) é o centro da circunferência 1. Analogamente, vem ou seja, C (3, 1) é o centro da circunferência. Portanto, a equação da reta que passa por C 1 e C é dada por 3 a parte: Verificação: 5x + 0y 400 0(0, 0) (verdadeiro) Verificação: 10x + 15y (ok!) 4 a parte: x 0 e y 0 (1 o quadrante) Os pontos da região poligonal 0ABC é a solução do sistema. 5 a parte: O ponto B é solução do sistema ~ 5y A 36 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

3 I. sen R sen II. cos R cos III. o segmento é igual ao comprimento do arco R, isto é R Então: x x R R sen x R ( sen ) e y R R Rcos R (1 cos ) y R (1 cos ) Portanto, as equações paramétricas são: Cálculo auxiliar: R R 03 E 1 a parte: m A m B 1 (retas perpendiculares) m B 1 m B a parte: c A c B 10 t t t + t 10 t 10 t 4 h 04 A 1 a parte: medicamento A. 01 A) (r): y x + 1 e (s): x 3 m s não existe. Então: tg 1 45 o e 135 o. B) r: x 3y y x + M r e s: x + y 4 0 y x + M s. Daí: tg y ax + b; a 1 y x + b (,1) reta 1 + b b 1 y x 1 a parte: medicamento B y mx + b; m y x + b (,) e reta + b b 1 y + 1 arctg 1 o quadrante (agudo) e 180 o arctg ; o quadrante (obtuso) 3 a parte: C) r: y 6x 1 6 e s: y x + 4 Daí: r e s são perpendiculares pois m s 1, logo 90 o. D) tg A a 1 e tg B m 0 A B tg 0 r e s são perpendiculares. 90 o 0 C As ratoeiras estão nos pontos A(,), B(,0), C(0,1), D(4,3), E(3,4) saindo de S para chegar em F sobre as retas r, r, r 3,..., r 9 evitando as ratoeiras, um caminho possível é caminhar sobre as retas: r 7 ; r 3 ; r 6 e r, nesta ordem. tg 05 B x 1 > + 1 > x > 4. Logo, A é mais eficiente após 4 semanas. MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 37

4 06 C 1 a ) Coeficiente angular da reta s m s a ) tg45 o ou 1 09 A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele. Cálculo do ponto médio de 10 Coeficiente angular da reta que passa por A e B. Portanto, o coeficiente angular da mediatriz r é. Encontrando, agora, a equação da mediatriz r. 1 a Parte: Equação da rodovia inicial (reta AB) ou (não convém) Logo, a equação da reta será: y 3x + b; se (,4) b b 10 y 3x E Uma das retas passa pelos pontos A (4, 0) e B (0, ). Coeficiente angular ( ): reta, então a. A equação de r é dada por: y x + b A(1,) r 1 + b b 0. Daí: r : y x. a Parte: Seja um dos ângulos formados pelas retas r : y x e s : y 3x 1. tg Resp: arc tg e e 1 o quadrante Equação do feixe de paralelas: y x + b x y c; c b. Com b reais. 08 C 01 D 1 a parte: d(e, r) x x d (E, V) ( + 18x ) + 49 Considere duas retas do feixe r e s: 1 a ) Coeficientes Angulares m s x a parte: Seja r a reta x + y y x 9 1. Então, o coeficiente da reta s que passa por E e é perpendicular à r, será 1, pois m s a parte: A reta VE será paralela à r se os coeficientes angulares das retas forem iguais, então: a ) Equações de r e s. I. Sendo E(1, 0), teríamos m VE 7 e I. r : y II. Sendo E(17, 0), m VE. (4, ) r + b b r : y em ambos os casos, as retas não seriam paralelas. Portanto: 1. Verdadeiro;. Verdadeiro; 3. Falso. II. s : y r : x 5y t 0 A Vitamina V 1 x + y 4 (0, 4) s t 4. s : y x + 4 x + y a ) A equação do feixe é dada por: (x 5y + ) + k (x + y 8) 0 k r. Vitamina V x + y 6 e x e y Logo, (x, y) é solução do sistema: 38 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

5 03 D Seja x a quantidade de bobinas e y a quantidade de cartuchos carregados. De acordo com os dados do problema, temos que: 1 o ) 0,3x + 0,5y 75 e 0,3x + 0,5y 75 Verificando (0, 0) na desigualdade 0,3. (0) + 0,5. (0) < 75 conclui-se que todos os pontos do 1 o quadrante abaixo da reta 0,3x + 0,5y 75 satisfazem a desigualdade. o ) 0,30x + 0,08y 30 Obs.: (0, 0) não satisfaz a inequação. Logo, os pontos do 1 o quadrante que estão acima da reta satisfazem a desigualdade. Então, fazendo a interseção das regiões do sistema: O tempo máximo será de 5 horas. 06 D R 4 é a interseção das três regiões do plano. 1 a região: L + V 0 V 0 L a região: L 1 3 a região V 5 obtemos uma região triangular no 1 o quadrante. 04 D Para viajarem juntos é necessário que: y x y x x y x +. Os pontos P(x, y) que satisfazem são soluções do sistema: Cálculos Auxiliares a) y x x 1 y b) y x +, que representa a região escura da figura abaixo. y 1 1 x + x Área Escura A E 1 A E 1 Então, a probabilidade procurada será igual a: P. 05 C x tempo da festa em horas. Valor cobrado pelo conjunto A : A(x) x Valor cobrado pelo conjunto B : B(x) x 4 a intersecção das 3 regiões. 07 A 1 a reta r: x 3y y x + Coeficiente angular de r : a reta s: m s 1 (s r) m s 1 m s Equação do s: y x + b P(5,10) s b b 10 + b s : y x + y 3x x + y B Seja x o n o de vacas e y o n o de bezerros. 1 a ) A total. (100) m m o ) x y Então: I. se x 0 y y 50 MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 39

6 II. se y 0 x x 0 O posto comportará 10 vagas e 5 bezerros, pois 10 x (1 000) x (400) A Sejam x e y, respectivamente, o número de vacas e o número de bezerros. Logo, as seguintes condições devem ser satisfeitas: 01 A) C(1, 7) e R 10 B) C( 4, ) e R C) C e R D) C(0, 0) e R E) C(, 3) e R 4 F) x + y + 4x 5y + 0 C e R R A representação gráfica das condições acima é a região triangular limitada pelos eixos coordenados e a reta y x A G) x + (y 5) 16 C(0, 5) e R 4 H) (x 1) + (y + 4) 64 C(1, 4) e R 8 I) x + y 1 C(0, 0) e R 1 Note que os ângulos e são congruentes, então, o setor centrado em B e o setor centrado em C são congruentes. Então, a área A não alcançada será: A A trapézio ABCD A círculo 10 0 A) (8 ) 400 (8 3) 000 km. 03 C 1 o ) x + y 8x 8y círculo de centro (4,4) e raio 4 o ) Área do círculo 4 m 1 placas m Se 1 lata pinta 3 m, então o número n de latas será: B) n 16. Logo, o número de latas vermelhas será igual a: 8 8 x 3,14 5,1 latas. O número mínimo de latas vermelhas será igual a C (x + x + 1) + (y + y + 1) 3 + (x + 1) + (y + 1) 5, onde x 0 e y 0. O gráfico que melhor representa é um arco de circunferência do centro ( 1, 1) e raio E Se y x, então: x + 4x + x + 4x 3 0 5x + 6x D x 1,6 e y 3,4 3k 5 k Então, k 40 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

7 07 A a parte: d(c 1, C ) Como d(c 1, C ) > R + R 1 as circunferências são exteriores. d(a, C) d (A, B) x + y 4 [x 10x y ] 3x + 3y 40x B Completando o quadrado, vem Portanto, o centro da circunferência é o ponto (, 1) e seu raio é. 09 A Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos: portanto, a equação da circunferência será dada por: 10 C O espelho será representado por uma circunferência de centro (,) e raio 0,4. 0 C 1 o ) Equação da reta y ax + b; a a Logo y x + b Como (0, 1) pertence a reta, temos: b b 1 Equação da reta: y x + 1 o ) Equação da circunferência de centro (0, 0) e Raio 1 (x) + (y) 1 3 o ) Resolvendo o sistema: x + 1 x + x + x x + x + x x 0 x + x 0 x. 0 x 0 ou x + 0 x ' Portanto, a altura h será dada por h 0,4 1,60m. x x 0 não convém, logo: x P e y 1 x y 1 y 01 A) 1 a parte: x + y + 6x 8y 0 e x + y 8x + 8y 0 x + y 4x + 14y 11 0 Centro C 1 ( 3, 4) e Raio R 1 Centro C (, 7) Raio R R 8 a parte: d(c 1, C ) Logo, como R R 1 < d (C 1, C ) < R 1 + R as circunferências são secantes. B) 1 a parte: x + y + 10x 6y e x + y 8x 1y x + y + 5x 3y + 0 C 1 Raio R 1 C (4, 6) e Raio R R A x + y 04 C 05 D,5 representa uma circunferência de centro (0, 0) e raio R 1,5 Se a escala é 1: em cm, temos: 1 cm cm 1,5 x x cm 150 km Logo: Área (150) 500 km. I. Verdadeiro. Sendo P, a d(p, C) d(p, C) 1,1 1,4 1,54 Logo, como o raio é 1,5 a cidade não está na região de influência da feira, pois d(p, C) > R. d(p,r) 4 MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 41

8 06 D 07 D Centro 0(5, ) e raio R 1. Equação do lugar: (x 5) + (y ) 1 1 (x 5) y y + A) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto (, 4) sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem. Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto (, 0): Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada por (x 3) + (y 4) 4. Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que esse ponto é (3,0) e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por x + y 3. A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima e representa todos os pontos que satisfazem ao sistema. 08 D A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência de centro ( 0, 0) e raio, cuja equação é dada por Logo, sabendo que Y < 0 temos com 09 A Para determinar os pontos de intersecção entre duas circunferências devemos resolver um sistema com as suas equações: Subtraindo a equação da equação 1, obtemos: e y. 0 C As coordenadas da nova antena são N(x, 0). Se o posto rodoviário e a estação da guarda florestal tem coordenadas P(0,0) e G(3,4), respectivamente, então: d(n, P) d(n, G) 64x 1600 x 5 64x E Centro da circuferência é C(, 3) e raio R R 7 Diâmetro 7 14 Área R 49 3,14 153, E A circunferência de equação x + y 9 possui centro no ponto (0, 0) e raio igual a 3. A parábola de equação y x 1, com x variando de 1 a 1, possui concavidade voltada para baixo e vértice no ponto (0, 1). Portanto, a única alternativa possível é a alternativa E. 05 A Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado temos: (R 8) + 1 R 16R 08 R 13 Logo, o centro é o ponto C(1, 5) E a equação da circunferência (x 1) + (y + 5) 13 Ou seja, (x 1) + (y +5) A D é o ponto de interseção da mediatriz de de centro C e raio 10. com a circunferência 07 D Determinando o centro C e o raio R da circunferência, temos: Logo, C(0,1) e o raio R 1. Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d e sua área será dada por: 08 E Existem duas possíveis posições para a circunferência citada no enunciado da questão e, nos dois casos, o raio das circunferências é dado por c. 10 A O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, 3) à reta isto é, Portanto, a equação da circunferência é 01 E cos t x 1 e sen t y sen t + cos t 1 (y ) + (x 1) 1 (x 1) + (y ) 1. O corte produz uma circunferência de raio 1 e centro C(1, ). Logo, produz uma peça representada na figura 1. Logo, a equação da circunferência será: 4 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

9 09 E 04 C ' 10 D Fazendo y 4, temos a seguinte equação: Como P está no primeiro quadrante, temos: Portanto, 05 A Comprimento da corda (x + y), onde no ponto p temos x y, então x + x 10 x 0 x 10, Logo, o comprimento será igual a x 0. Sejam A(1,1), B(5,3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de vereadores e da prefeitura. O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a mediatriz do segmento de reta. O coeficiente angular da reta suporte do segmento é 1. Seja M o ponto médio do segmento, então, M (4,). Se m s é o coeficiente angular da mediatriz do segmento m s 1 m s 1., então Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek é: s : y ( 1). (x 4) s : y x + 6. Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que: x y P (,4). Centro C(,3) e raio r 4, então: CA 4 e PC Portanto: PA 01 D 06 B F 1 é a projeção do foguete no plano xy após o 1 o movimento e F a projeção após o o movimento. As coordenadas x e y de F, neste momento, são x 8 e y 3. Se a distância inicial de F ao plano xy é 7, após subir 11 km passará a ser 18 km. Então, as coordenadas de F são: F(8, 3, 18). Traçando as mediatrizes dos segmentos determinados por Itajuípe e Itabuna e Itabuna e Ilhéus encontraremos a cidade de Lava-pés. 0 B Raio: R km + 11 km 641 km e R 630 km + 50 km 680 km. A estratosfera está representada na figura pela região limitada pelas circunferências de equações: x + y 641 e x + y E 07 B r e 180 o. No gráfico, note que as coordenadas do ponto p são substituindo t 180 o, nas equações das alternativas temos: A) r 3cos(t) 3 cos(360 o ) 3 B) r 1 cos(t) 1 cos(180 o ) 1 ( 1) C) r sen(5t) sen(5 x 180 o ) 0 D) r 4sen(t) 4 sen(180 o ) 0 E) r 3 cos(t) 3 cos(180 o ) 3 ( 1) 4 Então, a equação que representa o cardióide é a do item b. MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 43

10 08 A Completando os quadrados, obtemos e 09 E Desse modo, como o centro de C 1 é o ponto (0, 3) e seu raio é igual a, segue-se que A (0, 5). Além disso, sendo (6, 0) o centro de C e 6 o seu raio, concluímos que B (1, 0). Portanto, o resultado é 03 A Fazendo y 0, temos: 3x x 40. Fazendo x 0, temos: 4y y 30. Logo, x( 40, 0) e y(0, 30) Determinando o ponto A: x A y A Portanto, temos ponto A( 80, 30). Determinando o ponto B: x B y B Portanto, temos B(40, 60). 04 B Temos que o comprimento do segmento P 1 P 0 é dado por Determinando um ponto P da reta r de abscissa x 0, temos: P (0,1). m s 3/4 r // s. Considerando a medida R do raio da circunferência, temos: Portanto a área do círculo será dada por: 05 D C 1 : x x + y y 0 centro (1,1) e raio C : x 4x + y 4y 0 centro (,) e raio 8 A 10 B Representado as duas regiões no plano cartesiano e destacando a região comum, cuja área é A. 06 A 07 E Portanto, A A 1 ' Logo, temos então uma semicircunferência de raio e centro no ponto ( 1,0). Resolvendo um sistema com as equações da reta e da semicircunferência, temos os pontos (1,0) e ( 1, ). 01 B r 6 6 cos(t) r 6 (1 cos(t)) a 6 Logo: A A A equação da reta pedida é dada por Logo, a área pedida será dada por: 08 E Calculando a distância entre os pontos dados, temos: Logo, o triângulo é retângulo (6, 8 e 10), o diâmetro da circunferência é a hipotenusa. Portanto: R 5 cm e o centro é o ponto médio entre A e B, isto é: A equação da circunferência será:. 44 MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

11 09 E [Equação I]: x + y + x y 0 (x + 1) + (y 1) centro C( 1,1) e raio R. [Equação II]: não representa circunferência, pois os termos quadrados de x e y apresentam sinais opostos. [Equação III]: não representa circunferência, pois possui um termo retangular xy. [Equação IV]: x + y 4x 5 0 (x ) + y 9 centro C(,0) e raio 3. Portanto, a [Equação I] representa uma circunferência de raio e centro ( 1,1). 10 C 04 D 1 Temos uma parábola de vértice V (1, ) com concavidade para a esquerda e p 3, pois 1 4P. A equação da diretriz será x No esboço ao lado temos uma corda AB onde A e B são pontos de intersecção da reta com a parábola. 1 a parte: Determinação de A e B x (y 3) Substituindo x y 3 na equação I, temos: y 4 (y 3) 0 y 8y Então, sendo A (1, ) e B (9, 6) d (A, B) d (A, B) 4 5 Resposta: 4 5 Observando as figuras, concluímos que a área pedida é: 01 E Vértice (0, 3) (x v, y v ) Seja y ax + bx + c a equação geral. x v 0 b 0 y v 3 3 c 3 Logo: y ax a o ) x v o ) d(v, r) y v d(v, r) Reta: 3x 4y 1 0 a y x + 3, 10 x 10 0 A ƒ(t) a (t t 0 ) + h é a forma canônica da função quadrática, onde t 0 representa a abscissa do vértice, isto é, t Daí: ƒ(t) a (t 1 740) + h 0 B 03 A y + 4y 3x + 4 y + y y + y (y + 1) (y + 1) (x ). Parábola com concavidade para esquerda de vértice V (, 1) 0 (x 4) (y ) é a equação de uma Pelos dados do problema podemos afirmar que: ƒ(1 740) a. ( ) + h h e ƒ(t) a (t 1 740) Finalmente se ƒ(1 730) temos que: a. ( ) a 5. A função ƒ é dada por: ƒ(t) 5. (t 1 740) B ƒ(t) (4 t) t e g(y) y + 4 g(ƒ(t)) (4 t) t + 4 g(ƒ(t)) t + 4t + 4 y V 8 h MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 45

12 04 A P 1 k P 0 k P 1 3P 0 3 V é ponto médio de. Logo V(0, 0). Se P 1, então, a equação será: y x x 4y A 1 a parte: y x + 8x 15 A parábola intercepta o eixo dos x nas raízes da equação: x + 8x 15 0 x 8x x 1 3 ou x 5 Então, A (3, 0) e B (5, 0). 05 V ( 1, 3) x y 6y + 8 x 8 y 6y x y 6y (x + 1) (y 3) Equação de uma parábola com vértice V ( 1, 3) de concavidade para direita e p. Equação reduzida da parábola com diretriz paralela ao eixo dos y. Concavidade para direita 4P. (x x o ) (y y o ) a parte: Vértice c (X V, Y V ) X V 4 e Y V 1 Concavidade para esquerda 4P (x x o ) (y y o ) 01 C 3 meses m B m A + 5t + t + 41 t 5t 1 m B m A 4t 4t + 40 t x V 3 meses 0 A A) y x B) y x 01 C a 3, b 1 a b + c c c Resp.: Logo: c 4 0 C Pela 3 a Lei de Kepler, o quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do raio médio da órbita, portanto, se o raio médio da órbita do satélite permanece constante, o período não se altera. T T Logo R 1 R é a região hachurada. 03 E a 10 e b 8 03 E A interseção é não vazia se o sistema Resolução 4x + k x + 3x x x k 0 x x ( + k) 0 A equação terá solução real se: () ( + k) k k 17 k O menor valor de k é. tiver soluções. Os aspersores estão nos focos F 1 e F. Calcule a 6 + c c c 6 Logo c 1 m. 04 D 04 A a 10 e b 8 a b + c c c 6 Então 1 Resp.: 1 05 A 1 o ) a c MATEMÁTICA Volume 04 MATEMÁTICA IV

13 Então, sabendo que a b + c, temos: b + b b b b b 149, km 01 A o ) Excentricidade 0 C Período P e x é a distância média entre a Terra e o Sol. 03 D 3 a Lei: é constante para todos os planetas. Considere 1 planeta A. Distância média de A até o Sol 4 x e período P. Se o período orbital da Terra é de 4 h, então: P (4) 4 4 P 4 4 P 19 horas d d d 40 m d 80 m (distância focal) 04 B 0,943 c 0,943a a 5 + c a 5 + (0,943a) a 5 + 0,889a 0,111a 5 a a 15 A distância é a m 05 D R Da a equação, temos que: y sen t (1 cos t) y sen t sen t y x x ; 1 x 1 A equação representa um arco de parábola com 1 x 1. MATEMÁTICA IV MATEMÁTICA Volume 04 47