Matemática B Extensivo V. 7

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1 Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) ) 6 Temos que: 6 e 6 Logo, C (, ) (, ). 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( 6) ( ) ( 6 9) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) Logo, C (, ) e r. Portanto, ( ). Já que C é o diâmetro da circunferência, então o centro é dado pelo ponto médio do segmento C. M C 6 M C Logo, C (, ) (, ). Raio é dado por: r d M ( ) ( ) Portanto, a equação da circunferência é dada por: ( ) ( ) ( ) ) C Raio é dado por: r d CP ( ) ( ) ( ) 8 Portanto, a equação é: ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) 8 5) E Ponto médio de A : M A 5 M A 6 Logo, M(, ). Portanto, o raio da circunferência é: r d MO ( ) ( ) 9 6) E ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 5 Do gráfico, obtemos A (5, 5). Logo, A Matemática

2 GAARITO 7) D ² A² C Para que represente uma equação de circunferência temos: A e, reescrevendo a equação: ² ² C (I) ² ² ² ² R² (II) Sabemos que d, então R 5. Comparando I e II, temos: a) b) c) ² ² R² C ( )² ()² (5)² C 5 C C Logo, A C ( ). 8) D Nossa equação é dada por: ² ² p q m, que, ao completar quadrados, fica: p p q q m ou seja, p q p q m. p q Logo, o centro é C,. A distância entre C e K é p d d C, K q p q d 9 p 9 q p q. Ilustrando os três pontos dados no plano, temos: Note, pelo gráfico, que o centro dessa circunferência é o ponto médio entre (, ) e (, ). Assim: C M e C M Logo, C (, ). Como o centro da circunferência pela nossa equação é,, temos que: p p q p q q E a distância entre C e K fica: p q ( ) ( ). 5 5 d. Falta encontrar m, mas como o ponto (, ) está na circunferência, ele satisfaz a equação da circunferência, ou seja, ² ² ( ). ( ). m m. Portanto, d. m ( ) Matemática

3 GAARITO 9) d P, C ( ) ( ( )), que é, por sinal, o dobro do raio da circunferência que tem raio. ) A A M ² ² 6 p ( ) ( ) 9 p ( ) ( ) p Devemos ter: p > > p Portanto, o maior número p é. ) A Ponto médio: M A M A Logo, M(, ). O raio da circunferência é dado por: r d MA ( ) ( ) r ) A ( ) ( ) 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( ) ( ) ( 5 ) 5 5 A intersecção de L e L é dada por: 5.( ) 5 8 Assim, P L L (, ). Por outro lado, o centro da circunferência é o ponto C (, ) e a distância entre P e C é: ² ² 8 k (I) ² ² ² ² r² (II) Comparando I e II, temos: a) b) 8 8 c) ² r² k ² ( )² r² k 6 r² k k r² Como r² >, temos k > k >.( ) k < ) a) R < b) R 6 R ( ) ( ) 9 R ( ) ( ) 9 R a) Devemos ter: 9 R > R > R < b) Devemos ter: 9 R R R Matemática

4 GAARITO ) Temos que o ponto P é simétrico ao ponto (, ), ou seja, P(, ). O centro da circunferência λ é dado por: ( ) ( ) 5 Logo, C(, 5). Temos ainda que o raio da circunferência é: r d CF ( ) 5 ( ) ( ) ( ) r ( ) ( 5 ) r 5)D ( ) ( ) r 6 r 7 Portanto, a equação da circunferência é dada por: ( ) ( 5) ( 7 ) Note que o ponto médio M é o centro da circunferência. Assim: C M A 6 8 C M A 5 7 Raio é dado por: 7 r d MA ( ) 5 r ( ) Portanto, a equação é dada por: ( ) ( 7 ) ( 5 ) ) a) A(, ); (, ); C(, 5) b) s: 7 7 c) λ: ( ) ( 5) 5 7) a) A(, ) (, ) C(, 5) b) Equação da reta s: ( ) 7 7 c) r d C ( ) ( 5 ) r ( ) 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( ) ( 5) ( 5 ) ( ) ( 5) 5 Da equação ² ² temos que: ² ² ², e assim o raio é igual a. Logo, o octógono é formado por 8 triângulos isósceles de lados côngruos iguais a. r 9 r 5 r 5 Mas note que o ponto (, ), com >, é um vértice do octógono e é pertencente a essa circunferência. Matemática

5 GAARITO 8) Logo, ² ² ² ² ±, e como >,. Ou seja, P (, ) pertence à circunferência. Assim, o lado do octógono é dado por: d P, (, ) ( ) ( ) 8. Assim, como a área de um octógono de lado a é dada por a². ( ), temos que: ( ) A. 8. ( ). (8 ). ( ). ( ). ( ) 8. ² ² ² ² ² ( )² ² ( )². Então o centro é (, ) e o raio é. Agora, note que, como é um triângulo equilátero, todo ângulo interno do triângulo é 6. E, assim, tomando AC como a seguir: 9) C: ( )² ( )² 6 e r:. Verdadeiro. Quando, em C temos: ( )² ( )² 6 ² ² 8 9 ( 8 ) ± ± 8 8 ± 7 ' 7 '' 7 Quando, em C temos: ( )² ( )² 6 6 ² ² 6 9 ( 6 ) ± ± Note que temos dois valores de intersecção para e um valor para.. Verdadeiro. C(, ), pois ( C ) ( C ) R.. Verdadeiro. AC C C d rc A d rc d rc d rc 5 Temos que AC e, assim, como A, o triângulo retângulo tem lado C igual a: A tg A C C C C d rc 5 5 d rc 8. Falso. Do item temos que d rc < R, com isso podemos afirmar que r é secante, logo r C. 6. Verdadeiro. r:, note que <, logo é decrescente. Logo, o lado do triângulo é. C. Matemática 5

6 GAARITO ) 8. Falso. Primeiro vamos descobrir o centro da circunferência: ² ² 6 9. a) b) 6 6 C(, ) Se as circunferências são concêntricas, então elas têm o mesmo centro: ( ( ))² ( )² ² ( )² ( )² 9 ² ² ² ² 6. Verdadeiro. m( ) ( ) m( ( )) m( ) 6m m 6 m. Falso. Substituindo o ponto P(, ) na equação da circunferência, temos: > Portanto, o ponto P é eterior. 8. Falso. r: 5 s: m r Então, r // s. m s 6 6. Verdadeiro. d AP d P ( ) ( ) ( ) ( ) A P A P P P ( p)² ( )² ( p)² ( )² 9 6p p p p ) 9 6p 8 p p p p. Correta. Temos que Centro: C(6, ) Raio: r Logo, a equação da circunferência é dada por: ( 6) ( ) Correta. Equação da reta determinada pelos pontos A e C ( ) 6 ( ). Incorreta. d AC, 8 ( ) Incorreta. Caso os pontos (7; ), (; ) e (; 6) sejam colineares, então satisfazem a mesma equação de reta. No item (), calculamos a equação da reta que passa pelos pontos (, ) e (; 6), isto é,. Assim, o ponto (7, ) deve satisfazer a equação para que os pontos sejam colineares.. 7. (ok!) Portanto, os pontos são colineares. 6 Matemática

7 GAARITO 6. Correta. O valor real do raio é: R r.. m Área A π. R π. () π m ) F V V F F (F) Ponto (, ). ( ). ( ). 8 < Logo, o ponto (, ) é interior. (V) Ponto (, 6) > Logo, o ponto (6, ) é eterior. (V) Ponto (, ). ( ) ( ). ( ). ( ) Logo, o ponto pertence a c. (F) Ponto ( 5, ). ( 5). ( 5). 5 > Logo, o ponto ( 5, ) é eterior a c. (F) Ponto (, )... 7 < Logo, o ponto (, ) é interior. ) E ) Verdadeira. P(, ) ( ) ( ) 5 ( ) Logo, o ponto P pertence a c. ) Falso. ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5 ) Logo, o raio é r 5. ) Verdadeira. Centro C(, ) ) (ok!) Logo, a reta passa pelo ponto C(, ).. Correta. 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) Note que a ordenada é e o raio é r. Portanto, a circunferência é tangente ao eio das abscissas.. Correta. 6 9 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Note que a abscissa é e o raio é r. Portanto, a circunferência é tangente ao eio da ordenada.. Correta. Para Q(, ) ( ) ( ). ( ) 6. ( ) (ok!) Portanto, o ponto Q pertence à circunferência de centro (, ). 8. Correta. Centro: (, ) Para C(, ) ( ) 9 (ok!) Portanto, a circunferência passa pelo ponto C(, ). 6. Correta. 6 Completanto quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Logo, o raio é r. Matemática 7

8 GAARITO 5) D Note que se P (, a), então substituindo as coordenadas de P em ( )² ( )² 5, temos: ( )² (a )² 5 9 a² a 5 a² a 5 a 5 ou a. Para P(, ), temos: 7) A Logo, se a (, 5), P é interior à circunferência. Se a ou a 5, P é ponto da circunferência. Se a < ou a > 5, P é eterno à circunferência. r 6) A R T t 7 C D(,o) ( ) Logo: C(, ) r Coeficiente angular da reta t: m TC T C T C m t m TC Logo, a reta t é dada por: ( ) ( ) ( ) ( )... C 7 R d r,c ( ) R 8 5 R 5 5 R 5 Portanto, a equação da circunferência é: ( 7) ( ) 5 ( 7) ( ) 5 8) D ² ² 6 7 ² ( )² 9 7 ² ( )² I. Falso. O raio é. II. Verdadeiro. III. Verdadeiro. Note que tem coeficiente angular m, enquanto que o coeficiente angular da reta que passa pelo centro (, ) e por P (, ) é: ( ) ( ). ( ). m Portanto, m. m, e, assim, é perpendicular. 8 Matemática

9 GAARITO 9) a) b) ( ) ( ) 5 λ: ² ² 6 λ: ( )² ( )² 6 Logo, C λ (, ) e r λ. a) Se é perpendicular à reta r, seu coeficiente angular é, pois m r. E como passa pelo centro C λ (, ), temos:. ( ). b) Como é tangente à reta r, o raio é a distância do centro até r, ou seja, d Cλ, r Logo, a equação da circunferência concêntrica a λ é: ( )² ( )² 5 5. ) D )D s: (I) l: ( )² ( )² ² ² ² ² ² 6 (II) Substituindo I em II, temos: ² ( )² 6( ) ² ² 6 ² (dividindo por ) ² 7 ( 7 ) ± 9 7 ± 9 7 ± 5 Substituindo em I, temos: C(, ) s: 8 C s a) ' b) '' 5 P (, ) P (5, ) Para encontrarmos o raio, precisamos calcular a distância entre C e s: AC C C d Cs A d Cs.. 8 ( ) d Cs d Cs 5 d Cs 5 r Então a equação da circunferência é: ( )² ( )² ² ( )² ( )² Por Pitágoras temos: ( PP ) ( 5)² ( )² ( PP ) ( )² ( )² PP 9 9 PP 8 Matemática 9

10 GAARITO ) C Para b ser tangente à circunferência de equação ² ², precisamos ter: ² ( b)² ² ² b b² ² b b² E Δ deve ser zero, ou seja: (b)².. (b² ) b² 8b² 8 b² 8 b² b ±. Como, pelo enunciado, queremos o valor positivo de b, tomamos b. s r P C ) A Substituindo k em, temos: (k ) (k ) k k k k (k k ) Como eiste um único ponto em comum, ou seja, são tangentes, então Δ. Δ ( k).. (k k ) k 8 (k k ) k 8k 6k 8 k 6k 8.( ¼) k k Resolvendo a equação acima, temos: k' ou k'' Portanto: k' k'' k' k'' ) 8 5 ( ) ( ) 6 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5 ) Logo: Centro: P(, ) Raio: r 5 m r P P Logo: m s m r Vamos encontrar o ponto A. Equação da reta r: Substituindo em 8 5, teremos: () 8. () (/5) Resolvendo a equação acima, obtemos: ' ou '' Substituindo ' em, temos:. Logo, A(, ). Portanto, a equação da reta s é dada por: m s ( ) ( ) ( ) 5 Matemática

11 GAARITO 5) C : ² ² 6 C (, ) e R 8 a) b) c) ² ² R² 6 ² ² 6 R² R² 8 R 8 r: 6. Falso.C (, ) e R d CC R R ( ) ( ). Falso. AC C C d Cr A d Cr.. 6 d Cr 6 d Cr d Cr.. d Cr Elas são tangentes.. Verdadeiro. A pr² A p( 8)² A 8p 8. Verdadeiro. Justificativa no começo da questão. 6) 9 6. Falso. d PC ( ) ( ) P C P C d PC ( ) ( ) d PC d PC d PC 5 < P é interior. C : ² ² C (, ) e R a) b) c) ² ² R² ( )² ( )² R² R² R² R R P(, ) e s:. Verdadeiro. d CP ( C P) ( C P) d CP ( ) ( ) d CP ( ) ( ) d CP 9 6 d CP 5 5 Note que 5 é a distância entre P e o centro da circunferência, então se descontarmos o raio teremos a distância de P à "borda" da circunferência; 5 u.c.. Falso. s: m s Se s r, sendo r a reta que passa por P, então m r. Logo, a equação de r é: P m r ( P ) ( ). Matemática

12 GAARITO. Falso. d Cs d Cs d Cs A C C C A.( ).( ) Vamos calcular d OP : d OP ( 8 ) ( ) d OP 6 7 d OP 6 9 d OP 85 No triângulo OAP, temos: d Cs 5. (d OP ) r (d PA ) (Teorema de Pitágoras) ( 85 ) (d PA ) d Cs 5. d Cs 5 > s é eterior. 8. Verdadeiro. P(, ) C(, ) Q(, ) 8) D (d PA ) 85 6 (d PA ) 69 d PA 69 C : ² ² 8 6 a) 8 8 7) D DP DS ( ) ( ) 8 A D 6 u. a 6 Completando quadrado, temos: ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 Logo, C(, ) e r. P d DP b) 6 6 c) ² ² R² ( )² ( )² R² 6 9 R² R² 5 R 5 R 5 Então, C (, ) e R 5. C : ² ² 6 a) r A d PA 8 b) 6 c) ² ² R² 8² 6² R² 6 6 R² R² R Matemática

13 GAARITO R ) A Então, C (8, 6) e R. Calculando a distância entre C e C, temos: d CC ( ) ( ) d CC C C C C ( 8) ( 6) d CC ) 8 ( ) ( 9 d CC d CC 5 d CC 5 C C (, o) Note que d CC R R 5 5, logo C e C são tangentes eternas. A (o, ) 9) C ² ² ( )² ( )² ( )² ( )² 9. Logo, o centro de C é (, ) e raio r. Agora, note que o raio de C é igual a d C, C raio de C, pois elas são tangentes. Logo, r C ( ) ( ) ) D De C temos: ² ² ( )² ( )² ( )² ( )². Logo, o centro de C é (, ) e o raio de C é r. De C temos: ² ² ( )² ( )² ( )² ( )² 8. Logo, o centro de C é (, ) e o raio de C e r 8. Assim, área de C A C π. r π. ( )² π e área de C A C π. r π. ( 8)² 8π. Da equação c, temos: 6 5 Ponto A(, ) Resolvendo a equação acima, obtemos: ' 5 ou '' (não serve) Portanto, A(, 5). Da equação c, temos: Ponto (, ) ( ) ' ou '' '' Portanto, (, ). Assim, d A é dada por: d A ( ) ( 5 ) d A ( ) ( 5) d A 5 d A 69 d A Portanto, a área hachurada é igual a A A C A C 8π π 6π. Matemática

14 GAARITO ) A,9. 5) Equação da elipse. h T ( ) ( ) b a Da figura, obtemos: C(, ) C( 5, 7) a b Logo, a equação é dada por: Ponto T é dado: Logo, T(, ) Portanto, a soma das coordenadas do ponto T: 6,9,9 )V F V F F (V) ( )² ² ² ² ² ² (F) Como o raio de λ é r λ, o seu comprimento é π. r λ π. π. (V) A reta A é: ( ). ( ). Se, A, devemos ter., logo pertence. (F) Pois A nem pertence a essa reta. (F) Pela lei dos senos temos que senα senβ ( senα ) ( senβ ). ) C Pela definição de elipse, a corda deverá medir a, como a, a corda deverá medir. m. 6) A 7) D ( ( 5 )) ( ) 7 ( 5 ) ( ) Equação da elipse centrada na origem. b a Temos que a e b. Portanto, a equação é dada por: 9 Pelas informações do gráfico temos que: a 5 e b 8. Logo, por Pitágoras, temos: a² b² c² 5² ² c² c² c. 8) Assim, como F F c, temos que a distância é de. c. 8 metros. Ecentricidade e : e c a Como a 5 e a b c 5 c 5 c c c. Matemática

15 GAARITO Portanto: e 5 Ecentricidade e : e c a Temos a 5 e a b c 5 6 c 5 6 c 9 c c. Portanto: e 5 Logo: e 5 5 e 5 5 9) Centro: C (, ); a 5, b ; focos F (, ), F (7, ) Centro (, ) Como a 5 e b, por Pitágoras c. Assim, os focos são: F (, ) (, ) F (, ) (7, ) e as medidas dos eios são: maior. a. 5 menor. b. 8 5) ( ) ( ) ; focos F (, ), F (, ) ² ² 6 ( )² ( )² 6 ( )² ( )² ( ) ( ) a b c² a² b² c. Logo, os focos são F (, ), F (, ). 5) ( ) ( ) ; focos F (, ), F (, 8) 6 9² 5² 5 9 ( 9)² 8 5 (² 8) 9 ( ( )) ² 5 ( )² 8 9 ( ) ² 5 ( )² 8 ( ) ( ) 6 b a 6 5) E Por Pitágoras, c² a² b² 6 6 c. Assim, F (, ), F (, 8) ( ) 5 ( ) 6 9 ( ) 6 5 ( ) ( ) 5 ( ) 5 ( 5) ( ) ( ) 5 9 5) a) Centro: C(, ). Portanto, incorreta. b) Eio maior: a. 5. Portanto, incorreta. c) Eio menor: b. 6. Portanto, incorreta. d) Distância focal. c a b c 5 9 c 6 c 6 c Logo, a distância focal é dada por: c. 8. Portanto, incorreta. e) Ecentricidade. e c a 5,8 Portanto, correta ( ) 6 9 ( 6) 88 ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( 9) ( ) ( ) 9 Portanto, o gráfico da circunferência é: Matemática 5

16 GAARITO 5) C 55) C b a Logo, a circunferência tangencia o eio das abscissas. E : 6 5 ( ) 5 6 Temos ainda: E : 6 9 ( ) Área E : E A E 5.. π π u.a. Área E : A E. π π u.a. E Logo, A A E A E π π 8π u.a. ( ) ( 5) 6 ( 6) ( ) ( 5) 6 9 Maior valor : 6 8 Maior valor : 5 Portanto, m n ) 9 ( 9) 9 9. Correta. Pois, a b.. Correta. Para. 9 9 ± 9 ± Logo, a cônica intercepta o eio das abscissas em (, ) e (, ).. Correta. Uma elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fios é constante a. Então, AD AE D E a. Portanto, o perímetro é dado: Δ DAE : p: AD AE DE a DE Δ DE : p: D E DE a DE Logo, os perímetros são iguais. 8. Incorreta. i () 9 () ii Fazendo (ii) (i), teremos: 7 7 ' 7 ou '' 7 Substituindo ' e '' em (i), obtemos: Matemática

17 GAARITO (Absurdo!) Portanto, não eiste ponto de intersecção, e assim não são tangentes. 6. Correta. Para ( ) ± ± Logo, o ponto (, ) pertence à cônica. 59) D Assim, P ( 5, 5) e, com isso, d O, P 5 5. ( ) ( ) Do enunciado temos a figura: A(,9) 9 6 F a 9 b? c 6 (,) 5 57) E 6 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 6 Logo, o centro é C(, ). Temos ainda, 5 ( ) 5 c a b c 5 c c Logo, os focos são F (, ) e F (, ). Portanto, a reta com menor coeficiente é determinada pelos pontos C(, ) e F (, ). 58) ( ) Note que P pertence à reta, logo P (k, k). Como (k, k) está na elipse, temos: k k k² k² 5k² k² 5 k 5, positivo pelo fato de P quadrante. 6) E 6 Temos que b² c² a² b² 6² 9² b² 5 b 5. Assim, a equação da elipse fica: 8 5. Como (, ) pertence à elipse, temos: 8 5. F Logo, a área do triângulo F F é:... Como está centrada na origem e passa pelos pontos (, ) e (, ), temos que a e b. Assim: c² a² b² ² ² c. Logo, a distância focal é. c e a ecentricidade c é e a. Matemática 7