FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica

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1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica

2 Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a² b² + c² b a c

3 Teorema de Pitágoras Para você fazer p. 15 Qual a medida de cada uma das alturas de um triângulo equilátero cujos lados medem 6cm? a b + c 6cm h 6cm 6cm 6 h h h h h cm 6 9

4 Razões trigonométricas Observe na figura o triângulo retângulo ABC, no qual α e β são as medidas dos ângulos agudos: Nesse triângulo, temos que sen sen cos cos ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) b a c a c a b a tg tg ( α ) ( β ) b c c b b β c a α

5 Tabela trigonométrica dos ângulos notáveis

6 Para você fazer - 16 Uma pessoa de 1,80 avista o ponto mais alto de um edifício, segundo um ângulo de 0º com a horizontal. Aproximando-se 50 metros deste, o ângulo passa ser igual a 60º. Utilizando-se 1,7, calcule a altura aproximada do edifício.

7 Para você fazer p. 16 0º 60º 1,80m 50m y x Da figura, temos tg60º E a y tg0º x y + 50 y y + x y 50. x y x y + 50 Substituindo x na segunda equação, temos : x y + 50 y + 50 y x y ( y ) ( y + 50) y 50 y 50 y 5m Assim, x y x 5 x 5.1,7 x 4, 5m Portanto : 4,5m + 1,80 m 45, 05m

8 Circunferência Trigonométrica Considere, no plano cartesiano, uma circunferência com centro na origem, ou seja, no ponto (0,0) e com raio unitário (R1). A circunferência anterior é chamada é chamada circunferência trigonométrica, na qual se convenciona que: y O x

9 Circunferência Trigonométrica O ponto A de coordenadas (1;0) é a origem dos arcos; O sentido anti-horário é positivo, ou seja, arcos medidos nesse sentido são positivos, enquanto arcos medidos no sentido horário são negativos; Os eixos coordenados dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas de quadrantes, contados de I a IV no sentido anti-horário. II III I IV + A (1;0)

10 Ciclo trigonométrico - completo

11 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 16 B(0 ; 1) C(-1 ; 0) D( 0 ; -1) π a)0º < x < 90º ou 0 < x < π b)90º < x < 180º ou < x < π π c)180º < x < 70º ou π < x < π d)70º < x < 60º ou < x < π

12 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 16 A extremidade do arco de 10º pertence ao segundo quadrante. 4π A extremidade do arco de rad pertence ao terceiro quadrante. A extremidade do arco de 00º pertence ao quarto quadrante. 40º

13 Circunferência Trigonométrica Na Geometria, um ângulo maior que 60º não tem significado. Porém, na Trigonometria, um ângulo maior que 60º indicará um número de voltas. Por exemplo, o arco de 780º corresponde a duas voltas completas e mais 60º, pois:

14 Circunferência Trigonométrica Observe que os arcos de 60º e 780º têm a mesma extremidade na circunferência trigonométrica. Dizemos, então que esses arcos são côngruos. Existem infinitos arcos congruentes ao arco de 60º, pois sempre que percorremos um número inteiro de voltas a partir deste, obtemos arcos com a mesma extremidade. Observe alguns exemplos: 60º + 60º. 1 40º 60º + 60º. 780º 60º + 60º. 1140º 60º + 60º. (-1) -00º 60º + 60º. (-) -660º Um expressão que generaliza todos os arcos côngruos ao arco de 60º é x 60º + 60º.k, onde k é um número inteiro.

15 Circunferência Trigonométrica O arco de 60º é chamado primeira determinação positiva (para k 0) O arco de -00º é chamado primeira determinação negativa (para k -1) Se a medida do arco α estiver expressa em radianos, os infinitos arcos côngruos a esses arcos são dados por: x α + π.k, onde k é um número inteiro.

16 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 7 Assim, 480º 1. 60º + 10º Portanto, a expressão geral de todos os arcos côngruos a 480º é x 10º + 60º. k (k inteiro) 19π 18π π + 6π voltas Assim, a expressão geral de todos os arcos côngruos a 19π é x π + π.k

17 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 7 Assim, 1160º. 60º + 80º Portanto, os arcos são côngruos 19π 1π 7π π π Assim, como, os arcos não 6 6 são côngruos. Assim, como 45º 115º, os arcos não são côngruos. 16π 1π 4π + Assim, 16 π 4.π + π,os arcos são côngruos.

18 Circunferência Trigonométrica Para você fazer p. 7 e) Estabeleça uma relação entre dois arcos congruentes quaisquer. 1160º- 80º 1080º Assim, 80º e 1160º são côngruos, pois. 60º π 19π Enquanto e não são côngruos, π π 18 π pois π que não é múltiplo de

19 Circunferência Trigonométrica Anteriormente, estudamos as razões seno e cosseno no triângulo retângulo, em que só era possível trabalhar com ângulos agudos, ou seja, menores que 90º ou π/ rad. Vamos agora ampliar essas ideias para a circunferência trigonométrica. Para isso, considere a circunferência trigonométrica e um arco AP cuja medida é α. No triângulo retângulo OPP', temos que : PP' PP' senα PP' OP" OP 1 OP' OP' senα OP' OP 1

20 Circunferência Trigonométrica Conceito Em uma circunferência trigonométrica, definise seno do arco de medida α (representa-se por sen α) como sendo a ordenada do ponto P e cosseno de arco de medida α (representa-se por cos α) a abscissa do ponto P.

21 Circunferência Trigonométrica Essa definição tem a vantagem de não restringir as razões para arcos com medidas menores que 90º. Observe o que ocorre no segundo, terceiro e quarto quadrantes: Além dos já conhecidos arcos notáveis de medidas 0º, 45º e 60º, existem valores importantes na circunferência trigonométrica.

22 Circunferência Trigonométrica

23 Circunferência Trigonométrica Lembrando que os pontos A, B, C e D são extremidades de arcos de medidas 0º (ou 60º), 90º, 180º e 70º respectivamente, temos que: π sen90º sen 1 π cos 90º cos 0 sen180º senπ 0 cos180º cosπ 1 π sen70º sen 1 π cos 70º cos 0 sen60º senπ 0 cos 60º cos π 1

24 Tabela Trigonométrica

25 Para você fazer p. 9 sen(450º ) 7π cos sen(90º ) 1 π cos 0

26 Redução ao primeiro quadrante Qual é o valor do seno e do cosseno de 10º Observe que ordenada do ponto P é igual à ordenada do ponto Q, enquanto a abscissa de P é oposto da abscissa de Q. Assim, podemos escrever que sen10º sen 60º e cos 10º - cos 60º. Genericamente, podemos escrever que : sen cos ( sen 180º - x) sen ( x) ( cos180º x) cos( x) Para o arco x medido em radianos, temos sen(π x) sen cos(π x) cos ( x) ( x)

27 Para você fazer p. 0 V W sen10º sen0º cos 10º cos0º sen15º sen45º cos15º cos 45º 1

28 Para você fazer p. 0 Se um arco x pertence ao terceiro quadrante : sen cos ( x) sen( x 180º ) ( x) cos( x 180º ) Se um arco x pertence ao quarto quadrante : sen cos ( x) sen( 60º x) ( x) cos( 60º x) Para o arco x medido em radianos, basta substituir 180º por π e 60º por π

29 Para você fazer p. 0 Q P Assim, sen (-0º) - sen (0º) cos (-0º) - cos (0º) Mesmo sem mencionar os fatos de que as funções seno e cosseno são respectivamente, ímpar e par, é importante enfatizar a ideia de que qualquer que seja a medida do arco, são Verdadeiras as igualdades sen (-x) - sen (x) cos (-x) - cos (x)

30 Para você fazer p. 0 E E E E.. sen( 0º ).cos( 40º ) ( sen0º ). ( cos 60º ) E 1