Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 9 - Seção 9,5 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 1/13

2 Números e Funções Reais Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 A lei dos cossenos Dado um triângulo ABC, sejam a, b e c as medidas dos lados BC, AC e AB respectivamente. Seja ainda h = AP a altura baixada de A sobre o lado BC. A figura abaixo ilustra as duas possibilidades, conforme P pertença ao segmento BC ou esteja sobre seu prolongamento. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 3/13

4 A lei dos cossenos No primeiro caso, seja x = BP = c cos ˆB. Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos ABP e APC obtemos e portanto c 2 = h 2 + x 2, b 2 = h 2 + (a x) 2 = h 2 + x 2 + a 2 2ax = h 2 + x 2 + a 2 2ac cos ˆB. b 2 = a 2 + c 2 2ac cos ˆB. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 4/13

5 A lei dos cossenos No segundo caso, x = BP = c cos(π ˆB) = c cos ˆB. Novamente, usando o Teorema de Pitágoras aos triângulos APB e APC obtemos c 2 = h 2 + x 2, b 2 = h 2 + (a + x) 2 = h 2 + x 2 + a 2 + 2ax = h 2 + x 2 + a 2 2ac cos ˆB. e daí b 2 = a 2 + c 2 2ac cos ˆB. Portanto a igualdade vale em qualquer caso. Essa é a chamada Lei dos Cossenos. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 5/13

6 Observe ainda que as mesmas figuras nos dão, no primeiro caso logo No segundo caso e e novamente obtemos h = c sen ˆB = b senĉ, b sen ˆB = c senĉ. h = b senĉ h = c sen(π ˆB) = c sen ˆB, b sen ˆB = c senĉ. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 6/13

7 Se tomarmos agora a altura baixada do vértice B sobre o lado AC, obtemos, de forma análoga, a relação a senâ = c senĉ. Daí, concluímos que sempre vale a chamada Lei dos Senos a senâ = b sen ˆB = c senĉ. a qual nos diz que, em todo triângulo, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 7/13

8 Exercício Mostre que dados números reais positivos a b c, um triângulo com lados a, b e c existe se, e somente se, tem-se que c < a + b. Solução: Primeiramente, suponhamos que existe um triângulo de lados a, b e c como na figura abaixo. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 8/13

9 Pela lei dos cossenos, temos que c 2 = a 2 + b 2 2ab cos Ĉ. Logo, como 1 < cos Ĉ < 1, temos que donde c < a + b. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos Ĉ < (a + b) 2, Por outro lado, suponhamos que sejam dados números positivos a b c, com c < a + b. Então b c < a + b b 2 c 2 < a 2 + b 2 + 2ab a 2 b 2 2ab < c 2 b 2 2ab < a 2 + b 2 c 2 a 2 1 < a2 + b 2 c 2 < 1. 2ab PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 9/13

10 Portanto, existe um ângulo 0 < Ĉ < π tal que cos Ĉ = a2 +b 2 c 2 2ab. De forma análoga, como obviamente a < b+c e b < a+c, segue-se que existem ângulos 0 <  < π e 0 < ˆB < π tais que cos  = b2 + c 2 a 2 2bc e cos ˆB = a2 + c 2 b 2. 2ac Logo, o triângulo ABC de lados a, b e c e ângulos Â, ˆB e Ĉ, é o triângulo procurado. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 10/13

11 Exercício Para que  e ˆB sejam ângulos de um triângulo e necessário e suficiente que  + ˆB < 2 retos. Solução: Inicialmnte, suponhamos que Â, ˆB são ângulos de um triângulo. Então, como a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 2 retos e nenhum deles é zero, segue-se que Â+ ˆB = 2 retos Ĉ < 2 retos onde Ĉ é o terceiro ângulo do triângulo. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 11/13

12 Por outro lado, suponhamos que 0 <  ˆB são números positivos tais que  + ˆB < 2 retos. Dado um número real positivo qualquer a, a lei dos senos nos inspira a tomar b = a sen ˆB. Agora, basta senâ tomar c = a senĉ senâ = b senĉ sen ˆB, em que Ĉ = 2 retos  ˆB. Portanto os números a, b e c formam os lados e Â, ˆB e Ĉ os ângulos do triângulo procurado. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 12/13

13 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções trigonométricas: A lei dos cossenos e a lei dos senos slide 13/13