Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 8 - Seção 8.2 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 1/13

2 Números e Funções Reais Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Começaremos o estudo das funções exponenciais e logarítmicas com uma revisão sobre potências de expoente racional. Seja a um número real positivo. a 1 = a e a k+1 = a.a k. Dado n N definimos a n por: Observações: a m a n = a m+n pois em ambos os membros temos o produto de m + n fatores iguais a a. Daí segue-se que, para quaisquer m 1, m 2,, m k N vale a m1 a m2 a m k = a m 1+m 2 + +m k. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 3/13

4 Em particular, tomando m 1 = m 2 = = m k = m concluímos que (a m ) k = a mk. Se a > 1 então, multiplicando ambos os membros por a n, obtemos a n+1 > a n. Portanto, 1 < a < a 2 < < a n < a n+1 <. De forma análoga, se a < 1 então, a n+1 < a n. Portanto, 1 > a > a 2 > > a n > a n+1 >. Portanto a sequência a n, n N, é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 4/13

5 Exercício Seja a > 1. Mostre que a sequência crescente dada pelas potências a n, n N, é ilimitada superiormente. Solução: Devemos mostrar que dado c R podemos encontrar n N tal que a n > c. Basta escrever a = 1 + d, com d > 0. Então, pela desigualdade de Bernoulli, temos que a n = (1 + d) > 1 + nd. Logo, tomando n > c 1 d obtemos que a n > 1 + nd > c. Observação: Nem toda sequência crescente é ilimitada superiormente, por exemplo, a sequência 1 2, 2 3, 3 4,..., n,... < 1, n N. n + 1 PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 5/13

6 Definição Dizemos que uma sequência (x n ) de números reais tem limite mais infinito (ou simplesmente infinito) quando para qualquer A > 0 fixado arbitrariamente, pode-se obter um índice n 0 N tal que todos os termos x n são maiores que A, sempre que n > n 0. Ou seja n > n 0 x n > A. Escrevemos lim x n = +. Exemplo: Toda sequência crescente e ilimitada superiormente tem limite infinito, pois uma vez que x n0 > A, teremos x n > x n0 > A sempre que n > n 0. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 6/13

7 Exemplo: A sequência { n, se n é ímpar x n = n 2, se n é par. tem limite infinito sem ser crescente. Exemplo: Já a sequência x n = { 1, se n é ímpar n, se n é par. é ilimitada mas não tem limite infinito. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 7/13

8 Exercício Seja 0 < a < 1. Mostre que, dado qualquer c > 0, existe um expoente n 0 N tal que a n < a n 0 < c, para todo n n 0. Solução: Tomemos b = 1 a. Então b > 1. Pelo exercício anterior, a sequência crescente (b n ) é ilimitada superiormente e portanto existe n 0 N tal que b n 0 > 1 c, ou seja, 1 a n > 1 0 c, donde concluímos que a n 0 < c. Como a sequência (a n ) é decrescente, segue-se o resultado. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 8/13

9 Queremos agora atribuir significado à potência a n com n Z, preservando a regra fundamental a m+n = a m.a n. Observe que devemos ter a 0 = 1, pois a 0.a = a 0+1 = a 1 = a o que nos obriga definir a 0 = 1. Além disso, devemos ter a n.a n = a n+n = a 0 = 1 e portanto devemos ter a n = 1 a n, n N. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 9/13

10 Com base nas observações anteriores, extendemos o conceito de potência do número real positivo a > 0, mantendo a propriedade fundamental segunda a qual a m+n = a m.a n, para expoentes inteiros da seguinte forma. Definição Dados um número real a e um inteiro n, definimos a.a... a, se n > 0 a n = 1, se n = 0 1, se n < 0. a n PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 10/13

11 Finalmente, para atribuirmos significado à potência a r com r Q, preservando a regra fundamental a r+s = a r.a s, vejamos a observação abaixo. Para r = m n, com m Z e n N, devemos ter (a r ) n = a r a r a r = a r+r+ +r = a rn = a m. portanto devemos definir: Definição Dados a R, com a > 0, r = m n Q, com m Z e n N, definimos a r = n a m. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 11/13

12 Exercício Mostre que, dados os números racionais r = m n e s = m n, tem-se Queremos a r+s = a r.a s para todo número real a > 0. Solução: Veja que a r+s = a mn +m n nn = nn a mn +m n = nn a mn a m n nn a mn nn m n = = a mn nn.a m n nn = a m n.a m n = a r.a s. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 12/13

13 . Até breve! PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, Funções exponenciais e logarítmicas: potências de expoente racional. slide 13/13