MA14 - Aritmética Unidade 6 - Parte 3 Resumo

Transcrição

1 MA14 - Aritmética Unidade 6 - Parte 3 Resumo A Equação Pitagórica Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 5 - Seção 5.5 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 2/8

3 A Equação Pitagórica Vamos, nesta aula, resolver em Z a equação pitagórica X 2 + Y 2 = Z 2. Note que as únicas soluções com uma das coordenadas nula são (0, b, ±b), (a, 0, ±a), onde a, b Z. Essas serão chamadas de soluções triviais. Por outro lado, como os expoentes a que estão elevadas as incógnitas são todos pares, basta encontrar as soluções em números naturais. Para determinarmos tais soluções, precisaremos do resultado preliminar: Lema Dados dois números naturais a e b primos entre si, se ab é um quadrado, então tanto a quanto b são quadrados. A prova desse Lema encontra-se na Seção 5.5 do livro texto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 3/8

4 Voltemos à equação pitagórica. Um terno (a, b, c) de números naturais será dito um terno pitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja, quando a 2 + b 2 = c 2. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triângulo retângulo cujos lados são números naturais coprimos. Um terno que representa os lados de um triângulo pitagórico primitivo será chamado terno pitagórico primitivo. Os ternos pitagóricos primitivos (a, b, c) dão origem a todos os ternos( pitagóricos. ) De fato, se (a, b, c ) é um terno pitagórico, então a d, b d, c d, onde d é o mdc de a, b e c, é um terno pitagórico primitivo. Segue-se que, a menos de sinais, toda solução não trivial da equação pitagórica é um múltiplo por um natural de um terno pitagórico primitivo. Portanto, podemos concentrar a nossa atenção nos ternos primitivos. Se a, b e c são coprimos e satisfazem à relação a 2 + b 2 = c 2, eles devem ser dois a dois coprimos. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 4/8

5 É um exercício fácil mostrar que se a, b e c são dois a dois coprimos e vale a relação a 2 + b 2 = c 2, então dois desses números são ímpares, não podendo ser a e b. Logo a e b têm paridades distintas e, consequentemente, c terá que ser ímpar. Portanto, sem perda de generalidade, podemos supor a e c ímpares e b par. A relação a 2 + b 2 = c 2 pode ser reescrita como c 2 a 2 = b 2, ou seja ( ) 2 c + a c a b = Os inteiros c+a 2 e c a 2 (não esqueça que a e c são ímpares) são positivos e coprimos, pois o seu mdc deve dividir a sua soma c e a sua diferença a, que são coprimos. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 5/8

6 Pelo Lema acima, existem números naturais n e m, com n > m, (n, m) = 1 e de paridades diferentes, tais que c + a 2 = n 2, c a 2 = m 2, ou seja, a = n 2 m 2, b = 2nm, c = n 2 + m 2. (1) PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 6/8

7 Reciprocamente, dados números naturais n e m, com n > m, (n, m) = 1 e de paridades diferentes, pondo a = n 2 m 2, b = 2nm e c = n 2 + m 2, temos que (a, b, c) é uma solução primitiva. De fato, é imediato verificar que a 2 + b 2 = c 2, faltando apenas mostrar que o mdc de a, b e c é 1, o que é deixado como exercício para o leitor. As soluções primitivas (1) da equação pitagórica são devidas a Euclides, e toda solução primitiva é representada de modo único nessa forma. De fato, se n 2 m 2 = r 2 s 2, 2nm = 2rs e n 2 m 2 = r 2 s 2, é fácil verificar que n = r e m = s. Portanto, uma solução a, b, c determina univocamente n e m do seguinte modo: Se b é par, a fração reduzida equivalente à fração a+c b é n m. Se a é par, a fração reduzida equivalente à fração b+c a é n m. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 7/8

8 Por exemplo, para achar n e m para a solução (20, 21, 29), basta calcular = = 5 2, para ver que n = 5 e m = 2. Vamos agora enunciar os resultados que obtivemos acima. Teorema As soluções em N da equação pitagórica X 2 + Y 2 = Z 2 expressam-se de modo único, a menos da ordem de x e y, como x = l(n 2 m 2 ), y = 2lnm e z = l(n 2 + m 2 ), onde l, n, m N, n > m, com m e n coprimos e com paridades distintas. Reciprocamente, todo terno (x, y, z), como acima, é um terno pitagórico. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 6 - Parte 3 - Resumo - A Equação Pitagórica slide 8/8