TEOREMA DE PITÁGORAS AULA ESCRITA

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Teresa Ventura Martins
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1 TEOREMA DE PITÁGORAS AULA ESCRITA 1. Introdução O Teorema de Pitágoras é uma ferramenta importante na matemática. Ele permite calcular a medida de alguma coisa que não conseguimos com o uso de trenas ou outro instrumento manual de medidas. Exemplo: Quero medir a altura de um muro alto, e não consigo subir nele para jogar a trena. Eu tenho uma vara com 5 metros. Coloco essa vara na ponta do muro, na diagonal. Medindo a distância entre o pé do muro à vara no chão, achei 4 metros. O muro, o chão e a vara formaram um triângulo retângulo. Como eu conheço duas medidas (vara e chão), eu consigo calcular a terceira medida, que é a do muro.

2 2. O que é necessário? Para utilizar o Teorema de Pitágoras, é necessário: i. que haja a formação de um triângulo, ii. que este triângulo seja retângulo (tenha um ângulo de 90º), iii. e que a medida de dois lados sejam conhecidos. 3. Nome dos lados no triângulo retângulo Repare o ângulo reto (aquele representado por um quadrado com um ponto no meio).

3 Os dois lados que tocam nele se chamam catetos. O lado que não toca nele se chama hipotenusa. Não importa a posição do triângulo. A hipotenusa será sempre o lado que não toca no ângulo reto. 4. O maior lado do triângulo retângulo A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo. 5. O Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras é: a² = b² + c² em que a é a hipotenusa, b e c são os catetos. Podemos escrever, para melhor memorização:

4 hipotenusa² = cateto² + cateto² ou abreviado: hip² = cat² + cat² 6. Demonstração do Teorema de Pitágoras Perceba que os três quadrados na figura acima formaram um triângulo retângulo no interior. O quadrado que tem lado a (vermelho) tem 5 de medida. O quadrado de lado b (azul) tem 3 de medida. O quadrado de lado c (amarelo) tem 4 de medida. Assim, temos quadrado de 5, quadrado de 4 e quadrado de 3. Vamos chamar o quadrado de 5 de hipotenusa e os demais de catetos. Perceba que o quadrado da hipotenusa tem 25 quadradinhos em sua superfície. O quadrado do cateto azul tem 9 quadradinhos, enquanto o quadrado amarelo tem 16. Perceba, ainda, que se somarmos os quadrados que estão na superfície dos catetos (9 e 16), teremos 16 quadrados. Essa quantidade é a mesma do quadrado

5 da hipotenusa. Assim, a soma dos quadrados dos catetos tem a mesma quantidade do quadrado da hipotenusa. Podemos resumir assim: O quadrado da hipotenusa é igual ao quadrado de um cateto mais o quadrado do outro cateto. Fica melhor ainda se ao invés de escrever quadrado, representarmos com expoente 2, que também é lido como quadrado: hipotenusa² = cateto² + cateto² E se quisermos economizar mais letras, a² = b² + c² Existem diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras. Mas, ficaremos com apenas essa. 7. Os números pitagóricos Os números pitagóricos são 3, 4 e 5. Fique claro que existem outros ternos pitagóricos, mas vamos fixar nesses.

6 8. Como calcular o Teorema de Pitágoras Eu separei 3 métodos de resolução: Método 1D: para quem não gosta de usar fórmula. Método 2D: para quem prefere usar fórmula. Método 3D: para quem prefere macetes e truques. Veremos o método 1D. 9. Resolvendo o Teorema de Pitágoras pelo método 1D Sabendo que os números pitagóricos são 3,4 e 5, podemos fazer uma tabela com os seus múltiplos. A 1ª coluna tem os múltiplos de 3, a 2ª coluna tem os múltiplos de 4 e a 3ª tem os múltiplos de 5.

7 Para calcular qualquer lado do triângulo retângulo, basta recorrer à tabela acima. Exemplo 1: Neste exemplo, temos as medidas dos catetos e queremos a medida da hipotenusa. Para descobrir, recorreremos à linha 1 da tabela. Observe que na linha 1, temos o cateto 3 e 4, como temos no exemplo 1. Logo, a resposta está também na linha 1. A hipotenusa mede 5. Exemplo 2:

8 No exemplo 2, temos os catetos 9 e 12 e queremos a hipotenusa. Buscando na tabela, encontramos na linha 3 os catetos 9 e 12. A mesma linha indica que a hipotenusa é 15. Exemplo 3: Neste exemplo, não temos a medida de um dos catetos. Mas, sabemos que o outro cateto é 28 e a hipotenusa é 35. Recorrendo à tabela, encontramos essas medidas na linha 7.

9 Observe que na linha 7 a medida que não temos é a do cateto 21. Logo, essa é a resposta. Atenção: Essa tabela não serve para todos os triângulos retângulos. Veja um exemplo: Neste caso, temos o cateto 6 e 7. Procurando na tabela uma linha que tenha essas duas medidas, não encontramos.

10 Temos a linha 2 o cateto 6. Perceba que, para utilizar a tabela, o outro cateto deveria ser 8, e não 7. Como não encontramos linha que tenha a medida 6 e 7, a tabela não funciona. Triângulos que tem as medidas na tabela acima, são chamados de triângulos pitagóricos. No método 3D vou ensinar a calcular essas medidas de cabeça. 10. Resolvendo o Teorema de Pitágoras pelo método 2D Pelo método 2D, utilizamos fórmulas. Neste caso, nós vamos resolver pelo Teorema de Pitágoras. Exemplo 1: a² = b² + c²

11 Eu sei as medidas dos catetos. Então, troco b e c por essas medidas. A hipotenusa foi representada por x. Troco a por ele. x² = 3² + 4² Os próximos passos são resoluções de potências e equações. 3² é 9 (3 3) e 4² é 16 (4 4). Posso trocar: x² = Somando 9 com 16, achamos 25. x² = 25 Qual é o número que elevado ao quadrado dá 25? Ou ainda, o quadrado passa para o outro termo como raiz quadrada. x = 25 A raiz de 25 é 5. Logo, o valor de x que procuramos é 5. x = 5. Pelo método 1D nós vimos que a hipotenusa dos catetos 3 e 4 era realmente 5.

12 Exemplo 2: Temos catetos 9 e 12. a² = b² + c² a² = 9² + 12² a² = a² = 225 a = 225 a = 15 Exemplo 3:

13 Neste caso temos cateto e hipotenusa. Cuidado com a letra que você vai substituir. Neste exemplo, a hipotenusa será substituída. a² = b² + c² 35² = 28² + x² 1225 = x² = x² 441 = x² x = 441 x = 21 A medida do cateto é 21. Exemplo 4:

14 a² = b² + c² x² = 6² + 7² x² = x² = 85 x = 85 x 9,21 Observe que, quando uma raiz quadrada não é exata (tem números decimais), ou você adota 1 ou 2 algarismos à direita da vírgula, ou simplifica a raiz. 11. Resolvendo o Teorema de Pitágoras pelo método 3D Pelo método 3D, usamos cálculos mais rápidos, mais curtos. Perceba que você pode resolver os triângulos retângulos mentalmente: Para isso, você precisa memorizar o triângulo pitagórico 3,4 e 5.

15 A partir daí, é entender que ele foi aumentado por algum valor, que chamarei de k. Exemplo: vou aumentar esse triângulo por 2. O cateto que era 3, será 6. O cateto que era 4, será 8. A hipotenusa que era 5, será 10. Logo, a nova medida dele será 6, 8 e 10. Neste método, o segredo é descobrir o valor que foi aumentado, ou seja, o valor de k. Veja esse exemplo 1:

16 No triângulo acima, temos 9 e 12 como catetos. Ora, onde está o 9, deveria ser o 3. Isso significa que o lado foi aumentado por 3. Onde está o 12 era para ser 4. Logo, também foi multiplicado por 3. Se duas medidas foram aumentadas pelo mesmo número, a terceira medida também será. Assim, se a hipotenusa deveria ser 5, será aumentada também por 3, resultando 15. A hipotenusa deste triângulo é 15. Exemplo 3:

17 Pela hipotenusa, já sei que os lados do triângulo foram aumentados por 7. Isso porque a hipotenusa deveria ser 5. Quanto que eu multiplico o 5 para chegara 35? Pelo 7. Vou testar no outro cateto: Cateto de lado 28, deveria ser o cateto de lado 4. Sim, ele foi aumentado também por 7. Se os dois lados foram aumentados por 7, o terceiro lado também foi. Assim, o cateto que deveria ser 3 será multiplicado por 7, chegando a 21. O cateto x mede 21. Exemplo 3:

18 Este método só serve para os triângulos pitagóricos. Para os não pitagóricos há outra forma de fazer de cabeça. Perceba como saber quando dá errado: Um lado do cateto é 6. Isso significa que o k é 2, ou seja, o cateto que era 3 foi multiplicado por 2. O outro cateto que era 4 deveria ser multiplicado por 2, resultando 8. Como o outro cateto não é 8, não dá para fazer por esse método. Nesta caso, faça pelo método 2D. 12. Considerações finais Vimos que usamos o Teorema de Pitágoras para descobrir o terceiro lado de um triângulo retângulo; que podemos podemos dividir dois tipos de triângulos: os pitagóricos e os não pitagóricos,

19 que os pitagóricos podem ser feitos pelo método 1D e 2D, que o método 2D serve para qualquer triângulo, contanto que seja retângulo e que o Teorema de Pitágoras é a² = b² + c². Agora é hora de fazer os exercícios. início da aula

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