FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato Sabe-se que,0 é uma solução da equação (0) Relativamente ao ângulo, diga, justificando, qual das afirmações seguintes é verdadeira (A) sen e tan (B) sen (C) sen (D) sen Como º Q (seno negativo), o seu seno também é negativo Temos, sen Portanto, sen opção (C) 9 (0) Indique, justificando, qual das epressões seguintes representa uma solução da equação sen (A) (B) (C) (D) Como é uma solução da equação, sabemos que Agora só temos de verificar qual das epressões dadas é equivalente a Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

2 (A) sen Falsa (B) sen sen sen Falsa (C) sen sen Falsa (D) sen Verdadeira (0) Escreva a epressão geral das soluções da equação, em radianos Efetue os arredondamentos para casas decimais Para descobrir um ângulo com seno recorremos à função inversa do seno (calculadora), (cd) é o menor ângulo (positivo) que é solução da equação (ver figura do lado) Portanto, a epressão de todas as soluções da equação é, k, k Na figura seguinte estão representados o círculo trigonométrico e um triângulo [OBC] O ponto B desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante C é o ponto de interseção do círculo trigonométrico com o referencial (0) Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, mostre que o perímetro do triângulo é dado por P sen O perímetro do triângulo é dado por P CO OB CB Como temos um triângulo isósceles, sabemos que CO OB raio Para calcular BC podemos usar o T Pitágoras Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

3 Assim, BC sen BC sen sen BC sen sen BC sen Como BC 0, temos BC sen Outro processo: calcular diretamente a distância entre B e C 0 BC sen Portanto, o perímetro do triângulo é dado por P sen (0) Sabendo que sen, determine o perímetro do triângulo Como P sen, para calcular o perímetro precisamos de conhecer sen Efetuando a redução de sen, obtemos, ou seja, Para descobrir o seno temos de recorrer à fórmula fundamental da trigonometria sen, portanto, sen 6 sen sen sen 9 Como º Q, temos sen Assim, P = = = = = 0 unidades de medida () Determine a área do triângulo [OBC] para A área do triângulo é dada por OC h A, sendo h a altura em relação à base [OC] Temos OC raio e h DB, sendo D o pé da altura Portanto, A unidades de área () Partindo de um triângulo retângulo isósceles de lado, mostre que Nota: Eplique detalhadamente todos os raciocínios efetuados até chegar à conclusão pretendida Sendo ABC um triângulo retângulo isósceles os seus catetos são iguais Portanto, os ângulos agudos são iguais Neste caso, cada ângulo agudo tem 90 º º ou radianos Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

4 Como já temos um triângulo retângulo podemos usar as definições de razões trigonométricas Estamos interessados em conhecer Para isso necessitamos das medidas do cateto adjacente e da hipotenusa Pelo teorema de Pitágoras temos h h h h h Como h é um comprimento, só nos interessa a solução positiva, portanto h Assim, cqm Na figura seguinte está representado um triângulo ABC, cujos ângulos têm amplitudes, e + () Partindo da relação entre os ângulos internos do triângulo, prove que: sen Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 80º, sabemos que Portanto, Assim, aplicando a razão seno temos sen sen Simplificando, sen cqm () Mostre que, qualquer que seja o ângulo k, k, é válida a igualdade: tan tan Este eercício pode ser resolvido, pelo menos, por dois processos: º processo: Partir do primeiro membro para o segundo (ou vice-versa) tan tan tan tan tan sen sen tan tan tan cqm º processo: Trabalhar ambos os membros Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

5 tan tan tan tan tan tan sen PV sen Portanto a igualdade dada é verdadeira (0) Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real (A) sen (C) sen (D) sen Simplifiquemos cada uma das epressões (até obter a verdadeira): (A) (B) sen sen sen sen sen sen sen sen Falsa (B) sen sen sen Falsa (C) sen sen sen Verdadeira sen sen sen sen Falsa (D) Nota: (B) e (D) nunca seriam verdadeiras porque o sinal entre as parcelas não está ao quadrado A seguir encontra-se uma representação gráfica da função f, de domínio, definida por f sen () Estude, usando a definição, f quanto à paridade Por observação do gráfico, podemos ver que f não é par nem ímpar f é par f f, Df (Definição) Ora, f = sen = sen = sen Portanto, f não é par sen = f Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

6 f é ímpar f f, Df (Definição) Ora, f = sen sen f = Portanto, f não é ímpar Conclusão: f não é par nem ímpar (0) Determine, analiticamente, a epressão geral dos zeros de f Para descobrir os zeros temos de resolver a equação f 0 0 sen sen sen 6 6 k - k, k k k, k A epressão geral dos zeros de f é k k, k () Determine, analiticamente, as soluções da equação f f, Graficamente, vemos que f tem apenas três soluções no intervalo dado Esta equação pode ser resolvida por dois processos: que estão no intervalo º processo: simplificar a epressão f f º processo: Começar por calcular f f f sen sen sen sen sen sen k k, k k 0 k, k f sen 0 f sen sen 0 sen 0 0 k, k k, k Para determinar as soluções que estão em, damos valores a k, até obtermos soluções neste intervalo A epressão do º processo é mais prática k 0 0 k k k As soluções da equação no intervalo, são apenas 0 e BOM TRABALHO! Prof José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página 6/6 Versão

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