NÚCLEO EDUCAFRO KALUNGA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSOR DEREK PAIVA

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1 NÚCLEO EDUCAFRO KALUNGA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSOR DEREK PAIVA NOTAS DE AULA: REPRESENTAÇÕES DECIMAIS A representação decimal é a forma como escrevemos um número em uma única base, e como essa representação se chama decimal, essa base é o número. Sendo assim, cada número inteiro positivo é escrito como uma sucessão de algarismos pertencentes ao conjunto {0,,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9} e a posição que cada algarismo ocupa determina qual potência de é fator daquele algarismo. Por exemplo: 07 = = Todo número racional é um número que pode ser escrito na forma onde p e q são números inteiros e q 0. Como por exemplo, os números são números racionais positivos. p q, = = ; 8 3 ; 76 As frações decimais são frações cujo denominador é uma potência de. Por exemplo:, 3 0, são frações decimais que correspondem, respectivamente, aos números 0, ; 0, 3; 0, 008. O número decimal 0, pode ser escrito como e também,, assim como 0, 0 por 0 e também,, e assim sucessivamente, podendo escrever as frações decimais como a do exemplo a seguir: é: A representação decimal de , 3 = 0, + 0, 0 + 0, 003 =

2 Observe outros exemplos: = 0, 40 = = 64, 39 = Com isso, podemos afirmar que se b 0, b,..., b k, a 0, a, a,..., a n representam algarismos, então o número b k...b b 0, a 0 a a...a n é igual a b k k b + b a + a a n n A representar um número fracionário p q com p, q Z e q 0 em sua forma decimal, basta dividir o numerador p pelo denominador q, e com isso, obtemos dois tipos de números:. Número decimal finito cuja representação é formada por uma parte inteira nula ou não nula seguida de uma vírgula e de uma quantidade finita de casas decimais. Exemplos:. Número decimal infinito. = 0, ; 3 4 = 8, 7; 7 =, 4. Tentemos efetuar a divisão de /3 Perceba que haverá uma repetição do mesmo número ao tentar chegar ao resto zero, consequentemente, alcançar esse resto zero é impossível nesse caso! Outros casos também são iguais a esse, o que nos leva a ideia de número decimal infinito, cuja a representação é parecida com a do decimal finito, porém, a quantidade de casas decimais são infinitas! /3 = 3, Exemplos: 3 = 0, ; 6 90 = 0, Ao número decimal finito costuma-se atribuir outra nomenclatura, o número decimal periódico ou dízima periódica e podemos representar esse número pelo seu período ou por aproximações.

3 (a) Representação por período Para representar uma dízima periódica pelo seu período, basta escrever o número decimal até a sua casa de repetição e adotar um traço em cima dessa repetição, por exemplo: 6 = 0, = 0, 4 (b) Representação por aproximação Um número decimal infinito pode ser aproximado quanto ao seu período de repetição, Por exemplo: 0 6 = 6, = 6, 6 Mas, aproximações podem prejudicar um número em questão, dependendo do tamanho de um certo erro na diferença do número real para o aproximado. Por exemplo: 6, = 6, , 6 = 0, 06 O erro cometido ao usar 6,6 ao invés de 0 6 é menor do que 0, 0 =. Pode-se usar o número 6, 66 como aproximação de 0, tornando uma representação 6 melhor do que a anterior, pois esse erro ao se escrever 6, 66 é menor do que 0, 00 = 3. Podemos concluir que, a representação decimal de um número racional ou é finita ou é uma dízima periódica. Agora, vejamos, vimos que para transformar um número fracionário em decimal, basta seguir intuitivamente o que o símbolo da fração representa, uma divisão, porém, como será que podemos fazer o sentido contrário, transformar um número decimal (racional) em uma fração? Para isso, vejamos o seguinte exemplo: Considere o número x =, =, 4 Os números começam a se repetir a partir da segunda casa decimal, com o algarismo 4. Ao multiplicarmos esse número x por, teremos x =, =, 4 Agora, multipliquemos o mesmo x por 00 00x = 4, = 4, 4 3

4 Repare que, a parte decimal desses dois números (x e 00x) são iguais! E caso, subtraíamos o número maior do número menor, essas casas decimais se cancelarão! 00x x = 4, 4, 4 990x = 33 Agora, repare que, caso resolvamos a equação, encontraremos o número x, que inicialmente era, x = 33 x = Ou seja, x =, = A esse esquema de transformar um número decimal racional em fração conhecemos por geratriz de um número. Veja mais alguns exemplos. Caso. 3, = 3, 7 x = 3, = 3, 7 x = 37, = 37, 7 x x = 37, 7 3, 7 9x = 34 9x = 34 x = Caso. 0, = 0, 00 x = 0, = 0, 00 x = 0, 0... = 0, 0 00x =, 0... =, 0 00x x =, 0 0, 0 990x = x = 990. Caso 3. 0, = 0, 483 x = 0, = 0, 483 0x = 4, = 4, x = 483, = 483, x 0x = 483, 83 4, x = 49 x =

5 Agora, vamos retomar ao número 3. E também, podemos dizer que 3 = 3, , = = = 3 ( ). Repare que dentro dos parêntesis há uma soma cujas parcelas formam uma progressão geométrica de razão q = e termo inicial a =. Como a razão é igual a, podemos calcular a soma de inifinitos termos, usando a fórmula da soma de uma PG infinita. Daí, temos que S n = a q Ou seja, + + E com isso, portanto, S n = a q S n = +... = 3 9. = 9 = 9 O termo correto para esse resultado é dizer que o somatório dessa série converge para 9. ( ) 3, = 3 = 9 3. Temos um caso em matemática bastante famoso que é o número 0, ser igual a. Peguemos esse caso e analisemos como o anterior. 0, = 0, 9 + 0, , = = Uma PG de razão q = e termo inicial a = 9 e pela soma da PG inifnita, S n = a q S n = E assim, portanto, é correto afirmar que 9 0, =. Nesses dois casos encontramos uma soma de uma progressão geométrica inifinita. Esse fato não é uma coinscidência! Toda dízima períodica traz embutida uma soma de uma PG e sempre conseguimos transformar um número decimal racional em número fracionário (conceito de geratriz de um número) por analise com soma de PG. = 9 9 = Na verdade, aqui usamos uma aplicação da fórmula da soma de uma PG infinita, pois só se é possível somar os termos infinitos de uma PG (ou até mesmo PA) considerando essa soma como uma série infinita e calcular a sua convergência ou divergência, tal assunto necessita de um conceito que só será visto à nível superior, o conceito de limite.

6 Assim, podemos concluir que um número racional deve ser estritamente representado em sua forma fracionária, podendo se transformar em um decimal finito ou decimal infinito, estabelecendo o conjunto dos números racionais Q. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R Como já dito anteriormente, os números nasceram da necessidade do homem em contar objetos. Chegamos até o conjunto dos números racionais, porém, lá por volta do século V a.c., os gregos perceberam que esse conjunto (Q) não era suficiente para representar todo o tipo de medida, ou seja, eles perceberam existiam números que não podiam ser escritos na forma de uma fração p com p, q Z e q 0. q Vamos a um exemplo clássico que aponta um novo tipo de número: o número irracional. Considere o quadrado cujos lados medem unidade de comprimento. A diagonal desse quadrado é um segmento de reta de comprimento d. O Teorema de Pitágoras, que veremos futuramente, nos dá a dica de como calcular o valor de d: a diagonal do quadrado é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem. Disso, temos que Figura : Representação do quadrado de lado e diagonal d. Logo, d =. d = + d = + d = Com isso, vemos que o número é um número que pode ser associado à reta, já que ele representa o comprimento de um segmento. Figura : Representação dos comprimentos do quadrado de lado e diagonal. 6

7 Mas, como é que sabemos que o número não é um número racional? Para isso, precisamos conhecer uma das provas mais famosas da matemática. Se fosse um número racional, ele poderia ser escrito como uma fração irredutível na forma p com p, q Z e p 0. Assim, seguimos então, que q p = q Logo, se elevarmos os dois lados da equação ao quadrado, teremos Que, equivale dizer que ( ) = ( ) p = p q q p = q Para prosseguirmos daqui, precisamos de um conceito sobre os números primos que diz que qualquer que seja um número inteiro positivo, ele pode ser escrito como um produto de fatores primos e quando elevamos esse número ao quadrado, os fatores aparecem em dobro. Como exemplo, usaremos o número 6: 6 = 3 O número 6 escrito como o produto dos números e 3, que são números primos. Assim, se elevarmos 6 ao quadrado, teremos 6 = ( 3) = 3 3 Então, sejam os números p = a a... a m e q = b b... b n, com a i e b j números primos, i =,, 3,..., m e j =,, 3,..., n e i j com m, n N, e com isso e p = (a a... a m ) q = (b b... b n ) Então, as quantidades de fatores primos em ambos p e q, seguindo o conceito, seriam pares. Assim, teríamos que p = q = (a a... a m ) = (b b... b n ) Com isso, as quantidades que eram em pares do número q, acabam virando ímpares, pois o número (que é primo) é acrescentado ao produto dos fatores. E então, temos o que chamamos em matemática de um absurdo! Temos uma igualdade dizendo que um número escrito pelo produto em fatores primos é igual a outro escrito da mesma forma, e que eles ao quadrado continuam na igualdade, sendo que um deles, passa a ter um fator a mais, o tornando em quantidades ímpares. Um número primo é um número que pertence ao conjunto dos números inteiros positivos (Z + ) e que é apenas divisível por ele mesmo e mais nenhum outro. 7

8 Ou seja, não podemos escrever o número como sendo uma fração p com p, q Z e q 0, q então, concluimos que o número não faz parte do conjunto dos nnúmeros racionais. E assim, é posto um novo conjunto, o conjunto dos números irracionais. Como poderíamos encontrar em sua forma decimal? Como será que essa forma deve ser? Como não é um número racional a sua forma em decimal não pode ser finita e muito menos infinita periódica. A única forma de encontrarmos a forma decimal de uma número irracional é por aproximação. Sabemos que o número está entre os quadrados perfeitos 3 e 4, e então dizemos que < < 4 Logo, a raiz quadrada desses números satisfazem a desigualdade < < Então, agora, podemos por tentativa, encontrar uma aproximação com uma casa decimal de um número elevado ao quadrado que dê. = ; (, ) =, ; (, ) =, 44; (, 3) =, 69; (, 4) =, 96; (, ) =, Mas, (, ) passou de, portanto conluímos até aqui que, 96 < <,, e então, 4 < <, Então, podemos dizer que, 4 é uma aproximação para e que esse erro de aproximação é menor do que 0,. Podemos encontrar mais casas decimais para a aproximação de, tentemos com casas decimais. (, 4) =, 988; (, 4) =, 064 E então, (, 4) passou o, e disso tiramos que, 988 < <, 064, logo, 4 < <, 4 O erro de aproximação por duas casa decimais é menor do que 0, 0. Como sabemos, o número é um número irracional, portanto, esse processo de aproximação nunca terá um fim! Uma aproximação com erro menor do que 8 para esse número é =, Para cada número natural n, sua raiz quadrada n é um número real, pois representa a medida de algum segmento de reta Quadrados perfeitos são números cuja raiz quadrada é um número exato. Exemplo: 4 =, 9 = 3, 6 = 8

9 Figura 3: Representação dos comprimentos dos triângulos desenhados a partir do anterior. Todo número na forma n, com n N e que n não seja um quadrado perfeito, dizemos que n é um número irracional. Existe, assim como os números racionais, uma infinidade de números irracionais, que não são contemplados pelas raízes quadradas cujo radicando não seja um quadrado perfeito, um exemplo deles é o número áurea. O número áurea é um número encontrado na natureza, tal fato que intriga muitos matemáticos até os dias de hoje. Um exemplo muito simples está ligado à sequência mais famosa mundialmente da matemática, a sequência de Fibonacci. Essa sequência é obtida considerando-se o primeiro e segundo termos como sendo o número, e a partir daí, obtém-se todos os outros termos somando os dois anteriores. Termo inicial: a = ; Termo seguinte: a = ; Temos que, com n N e n 3. a n = a n + a n, A sequência de Fibonacci {,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89,...}. Olhando para os termos formados dessa sequência, pode-se observar uma propriedade ao dividir um termo pelo seu anterior. Por exemplo, 3 =, 63...; 34 =, ; 34 =, ; 89 =, Essas razões presentes na sequência de Fibonacci, parecem seguir para o número áureo, também conhecido como número φ e tem seu valor numérico φ = + =,

10 Esse número também pode ser obtido através da construção de retângulos, que também leva a mais um de seus npmes, o retângulo áureo. Vamos construir o retângulo áureo. Começamos pela construção do quadrado ABCD de lados iguais a e marcaremos o ponto O como metade do lado do quadrado. Figura 4: Construindo o quadrado ABCD. O comprimento de OB =, e ligando os pontos ODB temos um triângulo retângulo que conhecemos os seus catetos, os lados OB e BD. Conhecendo os catetos, pode-se conhecer a hipotenusa de um triângulo retângulo usando o teorema de Pitágoras. Figura : O quadrado ABCD, com a medida OB e o triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, temos que OD = OB + BD ( ) OD = + OD = 4 + = 4 ( ) OD = = = 4 4. Agora, sabemos que a hipotenusa OD é igual a, e com isso, ao passarmos essa medida para a reta logo ao lado do quadrado termos um segmento OF que mede + = + = φ.

11 Figura 6: A medida do segmento OD projetada em uma reta contendo um lado do quadrado. Outro número irracional famoso e importante em Matemática, principalmente em geometria e em trigonometria (que você estudará neste curso, em breve) é o número π. Uma aproximação para com erro menor do que 8 é 3, 496. A aproximação π 3, 4 é a mais usada em escolas, pois leva a contas razoavelmente curtas. Só tome cuidado para não escrever π = 3, 4, pois isso é falso.