Rene Freire. c Matemática e Física

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1 } Números Definições Ingênuas } Rene Freire M Φ c Matemática e Física

2 Números Neste post faremos algo diferente, não exatamente relacionado a ENEM, vestibular, etc., mas algo mais matemático. Ainda assim, pode ajudar algumas pessoas que têm muita dificuldade com alguns conceitos básicos como somar frações, etc. e além disso pode ser do interesse de alguém mais curioso com assuntos de matemática, ciência e filosofia. É comum classificar os números da seguinte forma: Números Naturais N: são os números que usamos para contar objetos:, 2, 3,etc. Em alguns sistemas o zero também está incluído nos números naturais. Números Pares e Impares: um número par é aquele que pode ser agrupado em pares ou seja, é divisivel por 2 e um impar é aquele que não é. Podemos escrever um número par P e um número impar I quaisquer da seguinte forma: P = 2K, I = 2K +, onde K é um número natural qualquer. Números Inteiros Z: (o símbolo Z vem do alemão Zahlen, números ) são os números naturais mas incluindo os negativos:..., 3, 2,, 0,, 2, 3,.... Números Racionais Q: (o símbolo vem do Italiano quoziente) são os números que são formados por frações dos números Inteiros, por exemplo, 0.5 = /2, 5 = 5/, 7/43, etc. Operações com Números Racionais: como uma fração é a parte de algo só podemos somar frações com denominadores (o número pelo qual se divide) iguais: = + 5 = = 3 2. Se os denominadores não são iguais simplesmente multiplicamos eles, para que tenham a mesma razão, e aplicamos a seguinte regra: queremos somar a/b e c/d, então: Por exemplo: a b + c d ad + cb =. bd = = 7 6.

3 A multiplicação é feita termo à termo: a b c d = a c b d. Na divisão invertemos a ordem do número que divide: ( a ) ( c / = b d) a b d c. Porcentagem: uma porcentagem de algum número nada mais é do que este número dividido por cem, ou seja, é uma fração de cem: Por exemplo: I% = I 00. 0% = 0 00 = 50, 50% = 0 00 = 5 0 = 2, etc. Quando dizemos uma frase do tipo I% de a escrevemos isso matematicamente da seguinte forma: ( I ) I%a = a. 00 Por exemplo: 0% de 270 é: 0%270 = = 270 = Quando dizemos a frase ao valor V 0 foi acrescido uma taxa de I% dizemos isso matematicamente assim: V 0 + I%V 0. Por exemplo, se em um restaurante gastamos R$75.00 e a taxa de serviço é de 3% então pagaremos: %75.00 = = = = = Números Reais R: de forma básica são os números que usamos para medir coisas contínuas, por exemplo, medir comprimento, tempo, etc. Nos números 2

4 Reais estão inclusos os naturais, inteiros (podemos medir grandezas contínuas negativas) e racionais; mas além destes também os números irracionais, por exemplo, π, 2, etc., que são números que não podem ser colocados em forma de frações de dois números inteiros. Curiosidades: A história dos números Reais é absolutamente fascinante, e está intimamente ligada com conceitos complexos e sutis como o de infinito. Os números Reais são, intuitivamente, aqueles números usados para medir coisas contínuas, coisas que não são simplesmente listáveis. Poderíamos pensar que os números Racionais dariam conta disso, afinal eles são formados por uma grandeza dividida por um número e poderíamos, digamos, medir um comprimento definindo o todo como sendo sendo uma unidade de comprimento e qualquer parte desse comprimento poderíamos dividir, formando números Racionais. A coisa é tão séria que há inclusive suspeitas de que no culto dos Pitagóricos uma pessoa que descobriu e espalhou o conhecimento dos números Irracionais foi assassinada Mas no próprio ato de medir um comprimento surgem dificuldades quanto a suficiência dos números Racionais: por exemplo, em um triangulo retângulo isósceles de lado a hipotenusa terá comprimento l 2 = = 2. É um exercício simples de matemática elementar mostrar que 2 não é racional. Vejamos: se 2 for racional ele pode ser escrito em forma de uma fração irredutível p/q: p 2 q 2 = 2 p2 = 2q 2, ou seja, p 2 é um número par e p também será, pois se ele fosse impar, digamos, p = 2k + então p 2 = 4k 2 + 4k + = 2(2k 2 + 2k) + = 2k + também seria. E se p é par então podemos escrever p = 2k e assim 4k 2 = 2q 2 q 2 = 2k 2, ou seja, q também é par. Isso contradiz a hipótese de que p/q é uma fração irredutível se ela não fosse irredutível bastaria cortar o elemento comum e tomar esta última fração como p/q, ou seja, essencialmente isso mostra que 2 não pode ser colocado na forma p/q. Ainda assim, há mais curiosidades: já sabemos que precisamos dos Irracionais para montar a reta Real (o contínuo), mas há um teorema de análise 3

5 que diz que o conjunto dos números Racionais é denso na reta Real, ou seja, todo número na reta Real ou é um Racional ou pode ser aproximado de forma arbitrária de um Racional. O mesmo também vale para os Irracionais, que também é um conjunto denso na reta Real. Mas além disso, também é um exercício relativamente simples mostrar que o conjunto dos Racionais é do mesmo tamanho dos números Naturais, ou seja, há uma forma única e reversível de transformar todo número Racional em um Número Natural, o que sugere que (mesmo sendo infinitos) há tantos números Racionais quanto Naturais (dizemos que os Racionais são, por isso, contáveis). Já os números Irracionais não são assim: não há uma forma única e reversível de transformar um Irracional num Natural (dizemos que eles são incontáveis). Se tentarmos imaginar isso geometricamente a intuição seria a seguinte: a reta real é formada por Racionais e Irracionais e os Racionais na reta são pontos, um isolado do outro, e os Irracionais são como um mar entre esses pontos. Deste texto cheio de curiosidades já vemos que o contínuo é algo muito esquisito. Em teorias Físicas o contínuo gera vários problemas (por exemplo, nas teorias quânticas de campos que necessitam renormalização). Há inclusive trabalhos que pretendem construir uma teoria onde o conceito de medida não é relacionado à um número Real a priori. 4