lim f ( x) Limites Limites

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. O ite de uma função Limites Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Consideremos uma mola que se romperá se lhe for apenso um peso de 10 kg ou mais. Para determinar o quanto a mola se distenderá sem se romper, poderemos anear-lhe pesos cada vez maiores, medindo o comprimento da mola para cada peso w, conforme a figura acima. 4 Limites 1. O ite de uma função 1.O ite de uma função.propriedades dos ites.técnicas para o cálculo de ites 4.Limites unilaterais.comportamento não-itado 6.Epressões indeterminadas 7.Limites no infinito 8.Limites Se o comprimento da mola tende para um valor L, então dizemos que o ite de quando w tende para 10 é L. Um ite matemático é bastante semelhante ao ite de uma mola. 1. O ite de uma função 1. O ite de uma função Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao ite de uma velocidade, ao ite do peso de um lutador, ao ite da resistência humana, ou ao ite de uma mola. Todas essas epressões sugerem que o ite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida ou mesmo ultrapassada. A notação para ite é f ( ) L c que se lê o ite de f() quando tende para c é L. 6 1

2 1. O ite de uma função 1. O ite de uma função Eemplo 1: Ache o ite de: ( 1) 1 Seja f() 1. Pelo gráfico de f na figura ao lado, tudo indica que f() se aproima de quando se aproima de 1 pela direita ou pela esquerda. Podemos, assim, escrever 1 ( ) 1 1 Eemplo : Ache o ite de: 1 1 A tabela abaio reforça esta conclusão. Certifique-se de que não importa se f() não é definida para 1. O ite depende somente dos valores de f() na vizinhança de 1, e não em 1. f() 1,900 tende para 1 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 1,990 1,999? tende para 1,001,010, f() tende para f() tende para 1. O ite de uma função 1. O ite de uma função Eemplo 1: Ache o ite de: ( 1) f() 0,900 1,810 1 A tabela abaio chega à mesma conclusão. Note que quando fica cada vez mais próimo de 1, f() fica cada vez mais próima de. tende para 1 0,990 1,980 0,999 1,998 1,000,000 tende para 1 1,001,00 1,010,00 1,100,00 8 f() tende para f() tende para Eemplo : Ache o ite de: Podemos ver que f() -1 para todos os valores à esquerda de 1, e f() 1 para todos os valores à direita de 1. Em tais situações, dizemos que o ite não eiste O ite de uma função 1. O ite de uma função 1 Eemplo : Ache o ite de: 1 1 Eemplo : Ache o ite de: O gráfico de f, na figura ao lado, sugere que f() se aproima de quando se aproima de 1 por qualquer dos dois lados. A tabela abaio reforça esta conclusão. tende para 1 tende para 1 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1, f() -1,00-1,00-1,00? 1,00 1,00 1,00 f() tende para -1 f() tende para 1 9 1

3 1. O ite de uma função 1. O ite de uma função, 1 Eemplo 4: Ache o ite de: f ( ) 0, 1 Pelo gráfico de f, parece que f() tende para 1 quando tende para 1 por qualquer dos dois lados.. O valor de f() para c não tem qualquer influência na eistência ou não-eistência do ite de f() quando tende para c. Por eemplo, no Eemplo, o ite de f() eiste quando tende para 1, mesmo que a função não seja definida em O ite de uma função 1. O ite de uma função, 1 Eemplo 4: Ache o ite de: f ( ) 0, 1 A tabela abaio reforça esta conclusão. Não importa que f(1) 0. O ite depende somente dos valores de f() na vizinhança de 1, não em 1. tende para 1 tende para 1 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 Definição de Limite de uma Função Se f() se torna arbitrariamente próima de um número (único) L quando tende para c de qualquer lado, então f ( ) L c f() 0,900 0,990 0,999 0,000 1,001 1,010 1,100 que se lê o ite de f(), quando tende para c é L. 14 f() tende para 1 f() tende para O ite de uma função. Propriedades dos ites Há três idéias importantes que podemos etrair dos eemplos anteriores: 1. Dizer que o ite de f() é L quando tende para c significa que o valor de f() pode tornarse arbitrariamente próimo do número L escolhendo-se cada vez mais próimo de c.. Para que um ite eista, devemos fazer tender para c por ambos os lados de c. Se f() tende para números diferentes quando tende para c pela esquerda ou pela direita, então o ite não eiste. 1 Muitas vezes o ite de f(), quando tende para c, é simplesmente f(c), conforme ilustrado no Eemplo 1. Sempre que o ite de f() quando tende para c é f ( ) f ( c ), Substituição direta c dizemos que o ite pode ser calculado por substituição direta. É importante que saibamos reconhecer os tipos de funções que apresentam esta propriedade. 18

4 . Propriedades dos ites. Propriedades dos ites Propriedades dos Limites Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo. 1. b b. c c c n n n n. c 4. c c c Na propriedade 4, se n é par, c deve ser positivo. Eemplo : Calcule ( ) ( ) Propriedade aditiva () Substituição direta 4 4 Simplificar Combinando as propriedades de ites com as seguintes regras para operar com eles, podemos determinar os ites de uma ampla diversidade de funções. 19. Propriedades dos ites. Propriedades dos ites Operações com Limites Sejam b e c números reais e n um inteiro positivo. Se os ites de f() e g() eistem quando tende para c, então valem as seguintes operações. [ ] 1. Múltiplo constante bf ( ) b f ( ) c c. Adição f ( ) ± g( ) f ( ) ± g( ) [ ] c c c [ ]. Multiplicação f ( ) g( ) f ( ) g( ) c c c Limite de uma Função Polinomial Se p é uma função polinomial e c é um número real arbitrário, então p( ) p( c) c 0. Propriedades dos ites. Técnicas para o cálculo de ites Operações com Limites Sejam b e c números reais e n um inteiro positivo. Se os ites de f() e g() eistem quando tende para c, então valem as seguintes operações. 4. Divisão f ( ) f ( ) c, c g( ) g( ) g( ) 0 c n [ f ] c. Potência ( ) f ( ) c c 6. Radical n f ( ) n f ( ) c c Na propriedade 6, se n é par e f ( ) L, c então L deve ser positivo. n 1 Muitas técnicas para o cálculo de ites se baseiam no teorema da substituição. Basicamente, o teorema afirma que se duas funções coincidem em todos os pontos eceto no ponto (único) c, então elas têm comportamento ite idêntico em c. 4 4

5 . Técnicas para o cálculo de ites. Técnicas para o cálculo de ites O Teorema da Substituição Seja c um número real e seja f() g() para todo c. Se o ite de g() eiste quando c, então o ite de f() também eiste e f ( ) g( ) c c Para aplicar o Teorema da Substituição, podemos utilizar um resultado da álgebra, que afirma que, para uma função polinomial p, p(c) 0 se e somente se ( c) é fator de p(). A figura acima ilustra este resultado graficamente. Note que os dois gráficos são idênticos, com a única diferença que o gráfico de g contém o ponto (1, ), enquanto este ponto está ausente do gráfico de f. Na figura à esquerda, o ponto ausente é representado por um ponto 8 aberto.. Técnicas para o cálculo de ites. Técnicas para o cálculo de ites 1 Eemplo 6: Calcule 1 1 Eemplo 7: Calcule 6 Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para 1. Isto implica que ( 1) é fator de ambos, podendo, pois, ser cancelado. 1 ( 1)( 1) 1 1 ( 1)( 1) 1 1, 1 Simplificar Fatoração do numerador Cancelamento do fator comum 6 A substituição direta falha porque tanto o numerador como o denominador se anulam quando -. ( ) ( ) Todavia, como ambos os ites do numerador e do denominador são zero, sabemos que eles têm um fator comum ( ). Assim, para todo -, podemos cancelar este fator, obtendo: 9. Técnicas para o cálculo de ites. Técnicas para o cálculo de ites Assim, a função racional ( 1)/( 1) e a função polinomial 1 concordam para todos os valores de tais que 1. Podemos, pois, aplicar o Teorema da Substituição. 1 ( ) ( )( ) Fatoração do numerador ( )( ) Cancelamento do fator comum ( ) Simplificar Substituição direta 7 0

6 . Técnicas para o cálculo de ites 4. Limites unilaterais Eemplo 9: Ache o ite, quando 0 pela esquerda, e o ite, quando 0 pela direita, da função f ( ) A figura acima mostra o resultado. Note que o gráfico de f coincide com o gráfico de g(), com a diferença que o gráfico de f tem uma interrupção (buraco) em (-, -). 1 Pelo gráfico de f, vemos que f() - para todo < 0 e que f() para todo >0. Limite à esquerda 0 Limite à direita 0 4. Técnicas para o cálculo de ites 4. Limites unilaterais Eemplo 8: Calcule Como o ite do denominador não é zero, podemos utilizar o ite de um quociente. No Eemplo 9, a função tem ites diferentes à esquerda e à direita. Em tais casos, o ite de f() quando c não eiste. Para que o ite de uma função eista quando c, ambos os ites laterais devem eistir e ser iguais. ( ) Substituição direta 0 4 Simplificar 0 O ite é 0 4. Limites unilaterais 4. Limites unilaterais No Eemplo, vimos que um ite pode não eistir pelo fato de uma função tender para valores diferentes à esquerda e à direita de c. Este tipo de comportamento pode ser descrito de modo mais conciso com o conceito de ite unilateral. f ( ) L Limite à esquerda c f ( ) L Limite à direita c O primeiro ite lê-se como o ite de f() quando tende para c pela esquerda é L. O segundo lê-se: o ite de f() quando tende para c pela direita é L. Eistência de um Limite Se f é uma função e c e L são números reais, então f ( ) L c se e somente se ambos os ites à esquerda e à direita são iguais a L. 6 6

7 4. Limites unilaterais 4. Limites unilaterais Eemplo 10: Ache o ite de f(), quando tende para 1. 4, < 1 f ( ) 4, > 1 Tenha em mente que o que nos interessa é o valor de f na vizinhança de 1, e não em 1. Assim, podemos utilizar a substituição direta para achar os ites à esquerda e à direita de 1. 7 Eemplo 11: Um serviço de entregas noturnas cobra $ 8 pela primeira lb e $ por cada lb adicional. Seja o peso de uma encomenda e f() o custo de entrega. Mostre que o ite de f(), quando, não eiste. f ( ) 10 f ( ) 1 Como esses ites unilaterais são diferentes, o ite de f(), quando, não eiste Limites unilaterais. Comportamento não-itado Eemplo 10: Ache o ite de f(), quando tende para 1. 4, < 1 f ( ) 4, > 1 Para < 1 f ( ) (4 ) Para > f 1 ( ) (4 ) Como ambos os ites laterais eistem e são iguais a, decorre que f ( ) 1 8 O Eemplo 11 mostra um ite que não eiste porque os ites à esquerda e à direita são diferentes. Outra maneira importante pela qual um ite pode não eistir é quando f() aumenta ou diminui indefinidamente quando tende para c Limites unilaterais. Comportamento não-itado Eemplo 11: Um serviço de entregas noturnas cobra $ 8 pela primeira lb e $ por cada lb adicional. Seja o peso de uma encomenda e f() o custo de entrega. Mostre que o ite de f(), quando, não eiste. 8, 0 < 1 f ( ) 10, 1< 1, < Eemplo 1: Calcule o ite (se possível): Pela figura, vemos que f() decresce sem ite quando tende para pela esquerda e cresce sem ite quando tende para pela direita. Simbolicamente, podemos escrever 9 4 7

8 . Comportamento não-itado 6. Epressões indeterminadas Eemplo 1: Calcule o ite (se possível): Como f é não-itada quando tende para, o ite não eiste Vejamos por eemplo, a epressão 0/0. Sejam f e g funções tais que: f ( ) g( ) 0 a a Comportamento não-itado 6. Epressões indeterminadas Nota: O sinal de igualdade em f ( ) c não significa que o ite eista! Pelo contrário, diz-nos como o ite deia de eistir denotando o comportamento não-itado de f() quando tende para c. Nada se pode afirmar, a priori, sobre o ite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não eistir. Eprimimos isso dizendo que 0/0 é um símbolo de indeterminação Epressões indeterminadas 6. Epressões indeterminadas Costuma-se dizer que as epressões do tipo: 0,,,0,0 0, 0,1 0 são indeterminadas. Para comprovar o que foi dito, vejamos dois eemplos: (i) Sejam f() e g(). Temos, f ( ) g( ) f ( ) e g( )

9 6. Epressões indeterminadas (ii) Sejam f() e g(). Temos, Temos, f ( ) g( ) f ( ) 1 1 e. 0 0 g( ) Se n é um número inteiro positivo, então: Eemplo 14: Determinar o ite da epressão 1 0 ± n 4 Novamente temos uma indeterminação do tipo /. Vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de, que neste caso é. 0 Eemplo 1: Determinar o ite da epressão Temos, 8 Neste caso, temos uma indeterminação do tipo /. Vamos dividir o numerador e o denominador por e depois aplicar as propriedades de ites, juntamente com a propriedade vista no slide anterior

10 Eemplo 1: Determinar o ite da epressão Neste caso dividimos o numerador e o denominador por. No denominador tomamos raiz quadrada de, já que os valores de podem ser considerados positivos ( ). Temos, 0 ( 0 ) 8 8. Limites Temos, Se n é um número inteiro positivo, então: 0 1 n 0 1, se n é par n, se n é ímpar Propriedades dos ites Eemplo 16: Determinar o ite da epressão Como no eemplo anterior, dividimos o numerador e o denominador por. Como neste caso -, os valores de podem ser considerados negativos. Então, para o denominador, tomamos - como sendo a raiz quadrada de. 7 De certo modo, as propriedades das operações envolvendo ites permanecem válidas para ites. A tabela seguinte nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os ites, onde podemos ter a, a, a -, ou

11 8.1. Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites f ( ) g( ) h( ) h( ) simbolicamente 01 ± ± f ( ) g( ) ± ± ± ± 0 f ( ) g( )? ( ) ( ) é indeterminação 0 k f ( ) g( ) k 04 k f ( ) g( ) k 0 f ( ) g( ) ( ) ( ) 06 f ( ) g( ) ( ) ( ) 07 k > 0 f ( ) g( ) ( ) k, k > 0 08 k < 0 f ( ) g( ) ( ) k, k < 0 09 ± 0 f ( ) g( )? ( ± ) 0 é indeterminação 10 k ± f ( ) / g( ) 0 k / ( ± ) 0 11 ± ± f ( ) / g( )? ± / ± é indeterminação 1 k > 0 0 f ( ) / g( ) k / 0, k f ( ) / g( ) / 0 14 k > f ( ) / g( ) k / 0, k f ( ) / g( ) / f ( ) / g( )? 0 / 0 é indeterminação 61 Eemplo 18: Determinar o ite da epressão ( ) 4 1 Neste caso, temos uma indeterminação do tipo -. Para determinarmos o ite usamos um artifício de cálculo Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo 17: Determinar o ite da epressão ( ) ( ) Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites ( ) ( ) Eemplo 19: Determinar o ite das epressões, e

12 8.1. Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Para > 0, temos. Assim, Eemplo 0: Determinar o ite da epressão Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Para < 0, temos -. Portanto, Quando -1, 1 0. Assim, ( ) Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo 1: Determinar o ite das epressões , e

13 8.1. Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo : Determinar o ite da epressão ( )( ) Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites ( )( ) Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo : Determinar o ite da epressão Conclusão????

14 8.1. Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo : Determinar o ite da epressão Propriedades dos ites 8.1. Propriedades dos ites Eemplo 4: Determinar o ite da epressão Propriedades dos ites