Notas sobre primitivas

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1 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada em I seja f; isto é, F () f () : Eemplos:. F () é uma primitiva de f () ; pois F () :. F () 5 é uma primitiva de f () ; pois F () 5 :. Sendo a R, F () + a é uma primitiva de f () ; pois F () + a : 4. Sendo a R, F () a é uma primitiva de f () a; pois F () (a) a: 5. F () e + é uma primitiva de f () e ; pois F () (e + ) e : 6. F () arctan é uma primitiva de f () +, pois F () (arctan ) + : 7. F () ln ( + ) é uma primitiva de f () + ; pois F () ln + + : 8. F () n+ n + (n 6 ) é uma primitiva de f () n ; pois F n+ () n : n +

2 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas É fácil perceber que a primitiva de uma função não é única. Basta observar os eemplos, e atrás e imaginar muitas situações análogas. As proposições seguintes caracterizam o conjunto das primitivas de uma função num intervalo. Proposição Se, num dado intervalo, uma função f tem uma primitiva F; então f tem nesse intervalo uma in nidade de primitivas. Demonstração: Se F () é uma primitiva de f (), então, 8c R, F () + c também é primitiva de f; pois (F () + c) F () + f () : Proposição Se, num dado intervalo I, F e G são primitivas de uma mesma função f; então F e G diferem por uma constante nesse intervalo, isto é eiste c R tal que F () G () c: Demonstração: Como, 8 I; (F () G ()) F () G () f () f () ; então F () G () é constante em I: (é sabido que se uma função tem derivada nula num intervalo então é constante nesse intervalo). A partir destas proposições conclui-se que o conjunto de todas as primitivas de uma função f num intervalo se pode calcular a partir do conhecimento de uma primitiva. Assim, sendo F () uma primitiva de f () ; o conjunto das primitivas de f () é ff () + c : c Rg Vamos designar o conjunto das primitivas ou integral inde nido de uma função f por P (f) ou por R f () d. Sendo F () uma primitiva de f () temos, então, escrevendo de forma simpli cada, P (f ()) F () + c; c R ou, em notação integral, f () d F () + c; c R: A epressão f () d lê-se "integral de f () relativamente a " e a partícula d, embora possa assumir um signi cado preciso, serve simplesmente para indicar a variável relativamente à qual se está a integrar. Eemplos:. Se f () ; o conjunto das suas primitivas em R é P () + c; c R

3 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas ou d + c; c R:. Se f () ; o seu integral inde nido R em é P () + c; c R ou d + c; c R:. Se f (), o conjunto das suas primitivas em R é P + c; c R 4. Se f (t) e t ; o seu integral inde nido é e t dt e t + c; c R: Nem sempre eiste primitiva de uma função f num intervalo I: Quando eiste diz-se que a função é primitivável ou integrável em I: O teorema seguinte dá uma condição su ciente para uma função ter primitiva, apesar de nem sempre ser possível determiná-la analiticamente. Teorema Se f é contínua num intervalo real I; então f é primitivável em I: (O intervalo I pode ser todo o conjunto R) Este teorema garante apenas que as funções contínuas são primitiváveis. Não diz que funções não contínuas não são primitiváveis. Das propriedades das derivadas podem-se inferir propriedades para as primitivas: Proposição Sejam f e g funcões primitiváveis num intervalo I e k uma constante arbitrária. Então:. kf é primitivável e sendo F uma primitiva de f, kf é primitiva de kf; ou seja, P (kf ()) kp (f ()) : Em notação integral, tem-se kf () d k f () d:

4 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 4. f + g é primitivável e sendo F uma primitiva de f e G uma primitiva de g, F + G é primitiva de f + g; ou seja, P (f () + g ()) P (f ()) + P (g ()) : Em notação integral, tem-se f () + g () d f () d + g () d: Demonstração:. Para ver que kf é primitiva de kf; basta derivar: (kf ) kf kf:. Para ver que F + G é primitiva de f + g; basta derivar: (F + G) F + G f + g: O primeiro resultado permite que constantes "atravessem" o sinal de integral, o que facilita o cálculo de muitas primitivas, como veremos na secção seguinte. O segundo resultado é facilmente generalizado à soma de qualquer número de funções e permite decompor a primitiva de uma função que inclua somas na soma de várias primitivas o que, novamente, facilita muitos cálculos. Eemplos:. P (5 ) 5P ( ) 5 + c; c R. # : da Prop.. P (cos + sin ) # P (cos ) + P (sin ) sin cos + c; c R. : da Prop.. P ( ) # P ( 5 ) + P ( 4 ) P ( ) + P (4) P (5) + P (6) : da Prop. # P ( 5 ) + P ( 4 ) P ( ) + 4P ( ) 5P () + P (6) : da Prop. # E. 8 da pg c; c R. Proposição 4 Se f é uma função primitivável num intervalo I, a I e b R, eiste uma única primitiva F de f veri cando a condição F (a) b:

5 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 5 Demonstração: Se G () é uma primitiva de f; então a função F () G () G (a) + b é também primitiva de f (proposição ) e F (a) G (a) G (a) + b b; o que prova a eistência de F nas condições do enunciado. Se houver duas funções satisfazendo essas condições, a sua diferença é uma constante (proposição ) e, como no ponto a essa diferença é, as duas funções têm de ser a mesma. Esta proposição permite resolver os chamados "problemas de valor inicial" ou "problemas de Cauchy", dos quais, de seguida, damos um eemplo. Eemplo: Determinar a primitiva F () da função f () que veri ca a condição F () 5. (Enunciados alternativos: ou que para tem o valor 5 ou cujo grá co passa no ponto de coordenadas (; 5)). Neste eemplo a e b 5: Considerando a primitiva G () da função f () (e. da pg. ), pela demonstração anterior, a função F () G () G () é a primitiva procurada. Alternativamente o problema pode-se resolver determinando o conjunto das primitivas de f e depois calculando a constante c de modo a obter F nas condições requeridas: Como P () + c; c R, a função F () procurada é da forma F () + c: Mas, para F () 5, tem de ser F () 5 ) ) + c 5 ) c ; pelo que F () + :

6 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 6 Primitivas imediatas Designam-se por primitivas imediatas aquelas que podem ser calculadas a partir de derivadas já conhecidas e por "inversão" das regras de derivação. A partir da tabela de derivadas podemos inferir uma tabela análoga para primitivas. Primitivas Se é uma variável: Se f é uma função de :. P ( ) c: (para 6 ) P (f :f ) f + + c: (para 6 ) +. P (e ) e + c: P e f :f e f + c:. P (a ) a ln a + c: (para a R+ ) P a f :f af ln a + c: (para a R+ ) f 4. P ( ) P ln jj + c: P ln jfj + c: f 5. P (cos ) sin + c: P (cos f: f ) sin f + c: 6. P (sin ) cos + c: P (sin f: f) cos f + c: f 7. P tan + c: P tan f + c: cos cos f f 8. P sin cot + c: P sin cot f + c: f! f 9. P p arcsin + c: P p arcsin f + c f! f P p arccos + c: P p arccos f + c: f f. P arctan + c: P arctan f + c: + + f f P arccot + c: P arccot f + c: + + f Há outras primitivas que podem ser calculadas a partir destas, mediante pequenas manipulações envolvendo, por eemplo: os resultados da proposição, que permitem tirar constantes "fora" do integral e decompor uma primitiva numa soma de duas ou mais primitivas; produtos e divisões por constantes de modo a encontrar valores em "falta", mas sem alterar a função; operações com as funções, como dividir o numerador de uma função racional pelo seu denominador, quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. utilização de identidades trigonométricas.

7 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 7 Eemplos:. Funções cuja primitiva é um logaritmo - linha 4 da tabela de primitivas. Este caso surge quando se primitiva um cociente que no denominador tenha uma determinada função e no numerador a sua derivada. Por vezes é necessário "ajustar" as constantes: (a) P P + c (b) P sin P + cos + P ( + P ) + ln ( + )+ sin + cos ( + cos ) P ln j + cos j + cos. Funções cuja primitiva é a potência de uma função - linha da tabela de primitivas. Este caso surge quando se primitiva um produto de uma potência de uma função pela derivada desssa função. Por vezes é necessário ajustar as constantes para se veri car essa situação: (a) P ( 5) 4 P ( 5) ( 5) 4 (b) P ( 5) 4 P ( 5)4 P ( 5) (! 5) 4 ( 5) c ( 5)5 5 + c ( 5)5 + c 5 ln (c) P P ln (ln ) (ln ) + c (d) P :e e: P ( P ) e e. Casos de aplicação de outras fórmulas da tabela: (a) q sin A (cos ) q sin A (cos ) q (cos ) A (cos ) arcsin (cos )

8 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 8 (b) P +! P + p p p! P + p p p! P + p p arctan p (c) P + P + P + C A P + r r + r P +! C A r r! C AA r! r r arctan + c: r! A C A 4. Casos em que se efectua uma decomposição em várias parcelas: (a) P + + P + + P + +

9 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 9 P () P + arctan + c: (b) P + ( + ) P + ( + ) P + + P + P () P + {z } e..a da pg. 7 ln ( + ) + c (c) P + cos cos P ( + cos ) ( cos ) cos P cos cos P sin cos P sin + P sin cot + sin + c 5. Utilização de identidades trigonométricas Sabendo que cos + cos ; torna-se fácil calcular a seguinte primitiva: P (cos ) + cos P cos P + cos P + P cos P + P 4 + sin + c 4

10 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas Primitivação por partes O método de primitivação por partes permite transformar o cálculo de primitivas não imediatas no cálculo de primitivas imediatas ou de primitivas já conhecidas. Pela fórmula de derivação do produto de duas funções, sabe-se que, sendo f e g duas funções de ; (fg) f g + fg Desta fórmula sai que P (fg) P (f g + fg ),, fg P (f g) + P (fg ),, P (fg ) fg P (f g) A última fórmula é, então, utilizada para o cálculo de primitivas não imediatas, habitualmente envolvendo o produto de duas funções. Para a aplicar é necessário escolher, entre as duas funções, uma para ser derivada, que tomará o lugar de "f" e outra para ser primitivada tomando o lugar de "g ": Eemplos:. P (e ) : Fazendo f e g e ; tem-se f e g e : Assim P (e ) {z } {z} e fg fg P (e ) {z } f g e e + c. Por vezes o método também se usa quando só está envolvida uma função, considerando para função g a função constante. P (ln ) P (ln :) Fazendo f ln e g ; tem-se f e g : Assim P (ln :) {z } ln{z :} P : fg fg {z} f g ln : P () ln + c. Para n N, P ( n ln ) :

11 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas Neste caso, f ln, g n ; f e g n+ n + n+ P ( n ln ) ln : {z } {z n + } fg fg ln : n+ n + ln : n+ n + P : n+ n + {z } f g n + P (n ) n+ (n + ) Para facilitar a aplicação do método pode ser usado um esquema no qual gurem as várias funções implicadas no processo como, por eemplo, o seguinte: f! f j g g 4. P (arctan ) P (arctan :) A escolha de f e g é indicada no esquema seguinte: Então, P (arctan ) arctan P + arctan P + arctan ln ( + ) + c f arctan! f + j g g 5. Em certos casos é necessário, no cálculo da mesma primitiva, usar mais de uma vez o processo de primitivação por partes: P (e ( 8 + 5)) Fazemos uma primeira escolha das funções f e g : Fica: f 8 + 5! f 8 j g e g e P (e ( 8 + 5)) e ( 8 + 5) P (e ( 8))

12 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas Para calcular P (e ( 8)) repetimos o processo: f 8! f j g e g e Então: P (e ( 8 + 5)) e ( 8 + 5) P (e ( 8)) e ( 8 + 5) (e ( 8) P (e )) e ( 8 + 5) e ( 8) + e + c e ( + 5) + c Primitivação por substituição Este método baseia-se na regra de derivação da função composta e permite, mais uma vez, transformar primitivas não imediatas em primitivas imediatas ou já conhecidas. Seja f () uma função que pretendemos primitivar e suponhamos que F () é uma primitiva de f () num determinado intervalo real. Se substituirmos por uma função bijectiva u (t) ; como (F (u (t))) F (u (t)) u (t) f (u (t)) u (t) ; temos que (F (u (t))) dt f (u (t)) u (t) dt,, F (u (t)) f (u (t)) u (t) dt: Assim a função F (u (t)) pode ser calculada integrando, em ordem a t; a função f (u (t)) u (t) : Como u (t) é bijectiva, de u (t) ; obtemos t u () : Substituindo em F (u (t)) a variável t por u () ; camos com F (u (u ())) F () ; que é a primitiva pretendida. Vejamos alguns eemplos de aplicação do método: Eemplos:. p e Fazendo d: t p e ; tem-se que ln t + ;

13 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas pelo que, neste caso, a função u (t) ln t + e u (t) t t + : Vamos então efectuar a substituição e integrar, em ordem a t; a função f (u (t)) u (t) : t t t + dt t + dt t + dt arctan t + c: Para obter a primitiva pretendida, basta agora substituir t por u () p e ca: p e d arctan p e + c: e Nota: Para não sobrecarregar os cálculos, muitas vezes não se refere eplicitamente a função u (t) ; pois de facto o que interessa é ter escrito em função de t e t em função de : Para indicar a derivada de u (t) ; comete-se um abuso de linguagem escrevendo d ou simplesmente dt : No caso anterior ter-se-ia: e. e + e d Vamos efectuar a procedimento na seguinte tabela: Assim, t p e 6 ln (t + ) 4 t t + a substituição ln t e resumimos a informação necessária ao ln t 6 t e 4 t t t + t t dt t t + dt t t + dt ln t + + c:

14 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 4 Substituindo t por e ; obtém-se: e e + e d ln e + + c: Primitivação de funções racionais Chama-se função racional uma função que pode ser de nida pelo quociente de dois polinómios. Eemplos:. f () f () Uma função racional é, portanto, representável por um cociente a () em que a () e b () b () são polinómios. Quando o grau de a () é maior ou igual que o grau de b () a função racional pode ser representada na forma a () b () q () + r () b () em que o grau de r () é menor que o grau de b () : De facto, dado que efectuando a divisão de a () por b () se obtém a () q () b () + r () ; em que o grau de r () é menor que o grau de b () ; então a () b () q () b () + r () b () q () + r () b () O problema de primitivar funções racionais arbitrárias reduz-se assim ao de primitivar funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador pois a () b () d q () + r () r () b () d q () d + b () d em que q () d é a primitiva de um polinómio e o grau de r () é menor que o grau de b () : Para primitivar essas funções, vamos decompô-las na soma de funções racionais mais simples, cujas primitivas se inserem na classe das primitivas imediatas. Consideramos, então uma função racional da forma p (), em que o grau de p () é menor q () que o grau de q () : Há dois casos fundamentais: Caso q () decompôe-se num produto de factores de grau : q () ( a ) ( a ) : : : ( a n )

15 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 5 Caso q () tem factores de grau sem raízes. Vamos analisar cada um desses casos: Caso : Este caso tem dois subcasos: (i) a ; a ; : : : ; a n são todos diferentes. Neste caso: em que A i p () q () A + A + + A n a a p (a i ) (a i a ) : : : (a i a i ) (a i a i+ ) : : : (a i a n ) + 4 Eemplo: ( ) ( ) 7 6 (ii) Eistem factores da forma ( a t ) k : Na decomposição de p () ; para além das parcelas q () correspondentes às raizes simples, a cada um desses factores correspondem k parcelas da forma: Eemplo: ( ) Caso : Novamente há dois subcasos: A t a t + A t ( a t ) + + A kt ( a i ) k + ( ) (i) Cada factor quadrático é simples. Neste caso a cada factor de grau dois, sem raizes reais, a + b + c, corrsponde uma parcela da forma: Eemplo: + 5 B + C a + b + c a n ( ) ( + + ) (ii) Eistem factores quadráticos múltiplos, isto é, da forma (a + b + c) k. A cada um desses factores correspondem k parcelas da forma: Eemplo: B + C a + b + c + B + C (a + b + c) + + B k + C k (a + b + c) k + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Em geral, para determinar as constantes que aparecem nos numeradores, usa-se o chamado método dos coe cientes indeterminados, que consiste em igualar p () à soma das q () fracções correspondentes aos factores do denominador, de acordo com os casos eplicitados acima, e efectuar os cálculos para determinar as constantes que têm de gurar nos numeradores, o que passa em geral por resolver um sistema (eemplo abaio), ou então atribuir valores de modo a obter os resultados pretendidos (eemplo abaio).

16 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 6 Eemplos:. Vamos decompor a função racional numa soma de fracções simples: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) A + + B + C +,, ( + ) ( + ) A ( + ) + (B + C) ( + ) ( + ) ( + ), A ( + ) + (B + C) ( + ), (A + B) + ( A + B + C) + (A + C) A + B ><, A + B + C >: A + C, A ; B ; C Portanto. Vamos decompor ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) A + B ( ) + C +,, A ( ) + B ( + ) + C ( ) numa soma de fracções simples: ) 4C ) C 4 ) B ) B ) A + B + C ) A 4 Portanto 4 + ( ) ( + ) ( ) Cálculo de uma primitiva por decomposição em fracções simples: ( + ) ( ) d # e. ( ) ( + ) d 4 + ( ) d + ( ) + d

17 Análise Matemática I - Engenharia Topográ ca - 9/- Notas sobre primitivas 7 ln j j ln j + j 4. Cálculo da primitiva de uma parcela correspondente a um factor quadrático: + + d 4 + d + d + d + d! + d d d + 4 p p C da p p + ln j + j + p arctan p p ln j + j p arctan p p