Capítulo 5 Integral. Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: ( )= ( ), para todo I.

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1 Capítulo 5 Integral 1. Integral Indefinida Em estudos anteriores resolvemos o problema: Dada uma função, determinar a função derivada. Desejamos agora estudar o problema inverso: Dada uma função, determinar uma função tal que ()=(), ou seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada. Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: ()=(), para todo I. Exemplo: Encontre a antiderivada de ()=. Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a - se ()= ã ()= =() () é primitiva de - se ()= + ã ()= =() () é primitiva de - se ()= + ã ()= =() () é primitiva de Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é. Assim, a antiderivada de ()= é uma família de funções que pode ser representada pela equação: ()= +, onde é uma constante Teorema Seja () uma antiderivada de num intervalo. Se () é outra antiderivada de, então: ()=()+, é Cálculo I - h 1

2 O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração indefinida. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função, usamos a notação: () =()+ o que nos diz que a integral indefinida de () é a família de funções dada por ()+, onde ()=(). O sinal é chamado de sinal de integração, a função a ser integrada é chamada de integrando e a diferencial de,, lembra-nos que a operação é executada com respeito à variável independente. A constante é chamada de constante de integração. Uma vez que integração indefinida e diferenciação são processos inversos tem-se: () =(). Tabela de Algumas Integrais Indefinidas () =() Usando a propriedade das funções inversas integração indefinida e diferenciação, podemos, a partir de qualquer fórmula de derivada conhecida, obter uma fórmula correspondente de integral indefinida a qual chamamos de integral imediata. () () () =()+ 1 =+ com 1 ln() com >0 1 = +1 + = ln() + = + () () () =()+ () () () = ()+ () () () =()+ ln( ) 1 1 =ln( )+ 0 Cálculo I - h

3 Exemplos: 1) = 5+1 = 6 + ) = = 5 +1 ) () = () ln() + / 7/ = 7 / + 4) 1 = = += +. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas 1). ()=.() = ) ()± () = () ± () Exemplos: 1) (5 +cos()) =5 + cos() =5 + cos() = (()+ )= = ()+ 5 + = = ()+ = ()+ =5 + ) =(8 ) = = 8 6 / + = = = = 4 / 1 + (8 6 + )= 4 / 1 + Cálculo I - h

4 ) ( 1) = +1 = + 1 = = + 1 = + = = + ( 1) + = Técnicas de Integração: Método da Substituição Seja uma função composta na forma () e primitiva de, ou seja, =. Uma vez que antiderivação e diferenciação são processos inversos tem-se: () =()+ Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se: () = (). () = ()+ Como é uma primitiva de tem-se que ()=(), então: () =(). ()=()+ Método da Substituição, =, ã (()). () =()+ çã: =() = () () =()+ Diretrizes para o método da substituição: 1) Decidir por uma substituição favorável =(). ) Calcular a diferencial = (). ) Transformar o integrando apenas em função de. 4) Calcular a antiderivada envolvendo. 5) Substituir por () na antiderivada. O resultado deve conter apenas a variável. Cálculo I - h 4

5 Exemplos: Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: 1)() = = = () = 1 () = 1 cos()+= 1 cos()+ ) =4 =4 = 4 4 =1 4 = = ln() 4 ln() + ) +4 =+4 = = =1 / = 1 4) ( ) = = = ( ) =cos() = 1 cos() = = 1 ()+=1 ( )+ = 9 += 9 (+4) + 5). = = = () = () = ()+= + Cálculo I - h 5

6 6) 7+ 1 = 7+ = = 1 = = = ) = =( ) = 1 =ln( )+=ln( )+ 8) () = cos() () cos() =() =cos() = cos () cos () =1 =ln( )+=ln( () )+ 9)cos( )( ) =( ) =cos( )( ) = cos( )( ) = = += = + 10) +5 1 = 1 = = = 1 = =++15 =+17 9 = = = = = 9 ( 1) Cálculo I - h 6

7 5. Técnicas de Integração: Integração por Partes Se () e () são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: Integrando ambos os lados: ().() = ().()+ (). () () () = () ()+ () () () ()= () ()+ () () () () =() () () () Integração por Partes =() =() ã çõ á, ã () () =() () () () =() = () =() = () =. Esta fórmula expressa a integral em função de outra integral,. Escolhendo adequadamente e pode ser mais fácil calcular a ª integral do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para e para, em geral pretendemos que seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar. Exemplos: Calcule as integrais indicadas 1) () = = =() = () = cos() = () =.() () =.()+() = = cos()+()+ Cálculo I - h 7

8 ).5 = = =5 = 5 = 5 ln(5) = 5.5 =. ln(5) 5 ln(5) =. 5 ln(5) 1 ln(5).5 = 5. ln(5) 1 ln(5). 5 ln(5) += 5 ln(5) 1 (.(5) 1) ln(5) +=5 ln + (5) ). = = = = = = =1 = ( )= = = = = 4 += ( )+ 4) (4) = = =(4) =(4) = cos(4) 4 =4 =4 () cos () cos (4) = = = (4)= 1 4 cos(4) cos(4) = cos(4)+1 cos (4) 4 mas =4 =4 () (4) cos() = = 4 4 (4)= 1 cos(4)+(4) Cálculo I - h 8

9 5) ln() =ln() = 1 = = = ln()= ln().1 = = ln() = ln() 4 + 6) ( ) () =() = = =() =()/ ( )()=( ) () = = () = () () = =( ) () () =( ) () cos() += =( ).()+ cos() + 7)() = =() =cos() = = () =() cos () = =() cos () = sen() = = () =() cos() ( sen() () = (() cos()) () = (() cos())+ Cálculo I - h 9

10 6. Integral Definida Seja uma função contínua definida no intervalo,. Dividindo este intervalo em subintervalos de comprimentos iguais, a área da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos retângulos de comprimento e altura, assim: Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo. Define-se a Integral Definida de de para como sendo: lim A integral definida é um número e não uma função. 0 ã 0 á 0 ã 0 á Assim, a integral definida é a área líquida, ou seja, é a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo. y y=f (x) a c d b x Propriedade: Cálculo I - h 10

11 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 ç,,ã çã () r ()= (), é á (,) ()=() Exemplo: Teorema Fundamental do Cálculo Parte çã,, é, =,ã: () =() = () () Normalmente utiliza-se a simbologia () =() () Exemplos: Calcule as integrais definidas indicadas: 1 A função é contínua em [1,. Calculando a antiderivada de () e considerando a constante de integração nula, tem-se: ()= = ( =0) Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se: = () 1 = 1 = = 17,69 ) = ln( 6 ln(6) ln()=ln6 = ln() Cálculo I - h 11

12 = = = ) ( ) Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração nula tem-se: = = = (.) = = = Então (.) = = = ) =( 5) ( )() Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração nula tem-se: = = =() = cos () ( )() = ( ).( cos()) ( cos()).( )= Então, = ( )cos() cos () = ( )cos() ()= = cos()+() ()=() ( )() = ( )()= cos()+() () = = cos()+cos() () cos(0)+0cos(0) (0)= =( 0) ( +0 0)= +=6 Cálculo I - h 1

13 7. Aplicações da Integral Definida: Áreas entre Curvas Vimos que a integral definida representa geometricamente a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo Região Limitada pela Curva e o Eixo x Seja uma função contínua no intervalo [, cujo gráfico encontra-se acima do eixo em [,, isto é, 0 para todo [,. Então, a área () da região que se encontra abaixo da curva do gráfico da função e acima do eixo, limitada lateralmente pelas retas e, é: Seja uma função contínua no intervalo [, cujo gráfico encontra-se abaixo do eixo em [,, isto é, 0 para todo [,. Então, a área () da região que se encontra abaixo do eixo e acima do gráfico da função, limitada lateralmente pelas retas e, é: Exemplos: Encontre a área da região limitada pelo o gráfico da função e o eixo, no intervalo indicado: 1 0,1 Gráfico acima do eixo em 0, 1 á cos 0, Gráfico acima do eixo em 0, á cos sen / 0 sen/ sen (unidade de área) Cálculo I - h 1

14 1 1,1 Gráfico acima do eixo em 1, 1 á , 4 Gráfico abaixo do eixo em 1, 4 á á ,5 9 4, , Gráfico acima do eixo em 1, á á á? - Devemos notar que o cálculo está errado, pois 0 em todo o seu domínio, portanto a integral deveria ser positiva. - O erro acontece porque o Teorema Fundamental do Cálculo aplica-se somente em funções contínuas no intervalo de integração,, logo ele não poderia ser aplicado aqui pois a função é descontínua em 1, pois 0. Cálculo I - h 14

15 7.. Região Limitada por Curvas Os conceitos de Integral Definida podem ser utilizados para a determinação da área de qualquer região plana limitada e fechada. Sejam e funções contínuas no intervalo [, e para todo [,. Então, a área da região limitada superiormente pela curva, inferiormente pela curva ), à direita pela reta e à esquerda pela reta é: Exemplos: 1 Encontre a área da região limitada superiormente por, inferiormente por e lateralmente por 1 e. Inicialmente temos que visualizar a região que se deseja calcular a área fazendo os esboços dos gráficos das funções envolvidas. Observando que em 1,, a área procurada é: Cálculo I - h 15

16 Encontre a área da região limitada pelo gráfico de e 8. De acordo com os esboços dos gráficos, observa-se que a região desejada situa-se abaixo da curva 8 e acima da curva e está limitada lateralmente pelos pontos de interseção entre elas. Assim, os limites de integração são as abscissas destes pontos. As abscissas dos pontos de interseção são obtidas igualando as equações e 8 e resolvendo a equação resultante em relação a Em 0 tem-se 0 e em tem-se 4, portanto os pontos de interseção são 0,0 e,4. A área da região é: Determinar a área da região limitada pelas curvas e 8. Observa-se no esboço traçado que a curva 8 encontra-se acima da curva. Os limites de integração são as abscissas dos pontos de interseção das curvas. Igualando as equações: 8 8 A área da região é: Cálculo I - h 16

17 4 Encontre a área da região limitada pelas curvas e. Limites de integração: Precisamos determinar as abscissas dos pontos de interseção entre as curvas o que pode ser calculado igualando as duas equações Resolvendo a equação Os pontos de interseção são: 1,, 0,0,4. Traçando o gráfico das funções, podemos observar que no intervalo 1, há duas regiões distintas limitas pelas curvas e. No intervalo 1, 0 a curva está acima da curva. A área entre as curvas é: No intervalo 0, a curva está acima da curva. A área entre as curvas é: A área desejada é a soma das áreas das duas regiões. 7.. á Cálculo I - h 17