Oscilações Exercícios

Transcrição

1 Fuja do Nabo: Física II P Rogério Motisuki Oscilações Exercícios a) A velocidade será nula quando a inclinação da reta tangente for horizontal, pois = Do gráfico, esse ponto é o = 3. b) Para acharmos os parâmetros da equação, precisamos substituir pontos do gráfico. 1: = 0 = 0,5 0,5 = +0 = 0,5 2: = 1 = 0 0 = 0,5+ 0 = 0,5+ = 0,5 c) Continuando o raciocínio do item b, procuramos outro ponto para substituir: 3: = 4 = 0,2 0,2= 0,5 0,5 4 = 0,2 1,5 = = ln $ Portanto % = = 1&'/ Além disso, sabemos que é um amortecimento crítico portanto: ) & = * = 2 = 0,5 $ & = * = 0,25 +/ d) Para acharmos a velocidade, basta derivar a equação horária e substituir = 0: =,, = 2 ++ = =,/ 0,75+0,25 0 = 0,75/

2 a) Do gráfico, 1 = 6 b) Atenção: não é um gráfico de posição. A aceleração é dada por = * 3cos* + 7 Portanto, o valor máximo do gráfico é igual a * 3, onde * = 8 9 = 8 : : 10 = * 3 3 = ;² = 90 ;² > c) Já temos a amplitude e a frequência, só precisamos achar a fase inicial. Como o gráfico que temos é de aceleração, precisamos substituir pontos na expressão certa para achar a fase. 1: = 0 = 5 5 = 10cos7 cos7 = = 2; 3?@ 4; 3 Para decidir entre essas duas fases, temos duas alternativas: substituir um segundo ponto do gráfico, ou analisar a tendência do gráfico. Analisamos quando = 0 e obtivemos duas possibilidades. Olhando no gráfico vemos que o gráfico atinge um ponto de máximo logo após = 0, portanto a fase inicial precisa ser 8 :. Se a fase inicial fosse A8, o gráfico atingiria um ponto de zero em vez de um ponto de máximo. : Logo: = 3cos* +7 = B 8² cosc8 : + 8 : D > d) Derivando e substituindo: = * 3sen* + 7 = : 8 FC8 : D = : : 8 >/ e) É mais fácil calcular a energia potencial máxima do sistema, quando a posição atinge a amplitude, a energia cinética será zero, portanto: Precisamos ainda achar a constante da mola: H I J = * = 8 : & = * = 8² Logo K = IL² = $ 8² : C,B 8² D =,M 8² N :

3 a) Para achar equações diferenciais, precisamos usar o torque ou a força. Como é um problema angular, é muito mais fácil usar o torque. Definindo como positivo o sentido antihorário, o torque exercido pela força peso na barra é: O = P'.- R 3 FS. O momento de inércia em torno daquele ponto O, é dado pelo teorema dos eixos paralelos: T U = T VW +P,² = PR² 12 +P-R 3.² = 7 36 PR² Portanto, temos: O = TX P' R 3 FS = 7 36 PR, S,, S, = 12' 7R b) A partir da equação achada no item a, segue que: * ² = 12' 7R * = ) 12' 7R Portanto: 1 Y = 8 Z [ = 2;H M\ $] c) A solução é da forma: S = 3cos* +7 FS 12' 7R S Temos duas informações para substituir e achar os outros parâmetros o ângulo inicial é S e a velocidade inicial é nula. S ^ = 3>? 7 ^3>? 7 = S ^3 = S 0 = * 3 F7 F7 = 0 7 = 0 S = S cos_) 12' 7R `

4 d) A pergunta é esquisita, pois como não há atrito, a energia mecânica é constante para qualquer ângulo. É mais fácil calcular a energia mecânica quando ou a cinética, ou a potencial for zero. Neste caso, como não temos informações de velocidade sem precisar calcular, o mais simples é calcular a energia potencial no ponto de amplitude máxima: Nesse ponto, a energia potencial gravitacional é: K = P'h, onde h é a distância vertical do centro de massa até a altura de referência. A referência é tomada de forma que a mínima energia gravitacional durante o movimento seja 0. Ou seja, a altura de referência é a mínima atingida pelo centro de massa, quando o ângulo é 0. Quando o ângulo for a amplitude, S, a altura h será: h = R 3 -R 3 coss.= R 3 1 coss Para ângulos pequenos, cos = 1 ², portanto: h R 3 b1 1+S 2 c = R 6 S ² Assim, a energia mecânica da oscilação é: K = 1 6 P'RS ² e) Basta usar o mesmo raciocínio utilizado no item b, porém trocando o momento de inércia e o torque. O torque agora é: O = P'.- R 2 FS. Usando o teorema dos eixos paralelos: T d = T VW +P,² = PR² 12 +P-R PR².² = 2 3 Logo, temos: O = TX P' R 2 FS = 1, S 3 PR,, S, = 3' 2R FS 3' 2R S Assim, da equação diferencial tiramos: * ² = :] * \ = H :] \ Portanto: 1 d = 8 Z [ = 2;H \ :] Usando o resultado do item b, calculamos a razão: 1 d 1 Y = 2;H 2R 3' 2;H 7R 12' = ) = ) 8 7

5 O que é mais importante: Achar a equação diferencial Use seus conhecimentos de mecânica para marcar forças no desenho. Agora decida entre usar torque resultante ou força resultante: Se você quiser achar: ângulo S f O = TX posição f g = P Identificar qual solução usar 4 possibilidades: MHS: Amortecimento subcrítico * > : = 3cos* +7 = 3 cos*+7?f, * = )* 4 Amortecimento crítico * = : Amortecimento supercrítico * < : = 3+i = k3 l +i l m?f, n = ) Achar os outros parâmetros da equação 4 * Para achar 3,i 7 é possível somente com informações do enunciado ou de um gráfico, substituindo nas equações e resolvendo. Para achar * pode ser necessário usar informações de um gráfico também, mas há a possibilidade de serem obtidas através da montagem da equação diferencial. Essa montagem nem sempre é necessária, visto que: * : Frequência angular que o sistema oscilaria caso não tivesse atrito (caso MHS). = p,?f,% é? >?rs>sf, g = % J Calcular a energia da oscilação Numa oscilação: K = K tuv +K wy Geralmente é mais fácil calcular a energia total num ponto onde uma delas é zero, e na maioria dos casos é mais fácil quando é a cinética que é zero. Lembre que a energia cinética é nula nos pontos de amplitude. Calcular outras grandezas do problema físico Período T e frequência f: 1 = $ x = 8 Z